rappels inégalités

Rappels de 2nde : Nombres et ordres- Détermination des variations de fonctions 1ère S
Les inégalités présentées ci-dessous au sens strict (< et >) sont également valables au sens large (  et )
1- Addition(et soustraction)
1-1 -Additionner un même nombre
Si on additionne un même nombre aux membres d'une inégalité, alors cette inégalité ne change pas de
sens. (Si a<b , alors a+c < b+c)
1-2- Addition entre deux inégalités de même sens
Si a, b, c et d sont quatre nombres réels tels que a<b et c<d, alors a+c<b+d
2-Multiplication (et division par un réel non nul)
2-1-Multiplier (ou diviser) par un nombre
Si on multiplie (ou on divise) les membres d'une inégalité par un même nombre positif, alors cette
inégalité ne change pas de sens. (Si a<b et c>0, alors ac<bc et
a
c
<
b
c
)
Si on multiplie (ou on divise) les membres d'une inégalité par un même nombre négatif, alors cette
inégalité change de sens. (Si a<b et c< 0, alors ac>bc et
a
c
>
b
c
)
2-2- Multiplier deux inégalités de même sens entre nombres positifs entre elles
Si a, b, c et d sont quatre nombres positifs et si a<b et c<d, alors ac<bd
3- Faire « agir » une fonction sur une inégalité.
3-1: Principe
Utiliser les variations connues de certaines fonctions sur un intervalle donné pour déterminer le sens
d'une inégalité. On rappelle que:
 si f est croissante sur un intervalle I et si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b, alors f(a)<f(b).
(faire « agir » une fonction sur une inégalité entre nombres appartenant à un intervalle où la fonction est
croissante ne change pas le sens de cette inégalité)
 si f est décroissante sur un intervalle I et si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b, alors f(a)>f(b).
(faire « agir » une fonction sur une inégalité entre nombres appartenant à un intervalle où la fonction est
décroissante change le sens de cette inégalité)
La connaissance parfaite des variations des fonctions de référence est donc nécessaire

3-2 Exemple d'utilisation avec la fonction carré
Énoncé : On considère deux nombres a et b appartenant à ] - ∞ ; 3] vérifiant a<b .
Comparer
2
a
–
6
2 et
2
b
–
6
2.
Comme a et b sont deux éléments de ] - ∞ ; 3], alors a<b3
Par multiplication par un réel positif : 2a<2b6
En ajoutant -6 aux trois membres 2a–6 < 2b–60
On constate ici que les trois membres sont des éléments de ]- ∞; 0])
Or la fonction carré (f : x 
x
2) est décroissante sur ]- ∞; 0]
donc en l'appliquant aux trois membres de l'inégalité précédente on a :
2
a
–
6
2 >
2
b
–
6
2 0
3-3 Exemple d'utilisation avec la fonction inverse
Énoncé : On considère la fonction f définie sur \ℝ {2} par fx=
3
2
–
x
.
Étudier les variations de f sur ]2; +∞[
Il nous faut donc considérer deux nombres a et b appartenant à ]2; + ∞[ et comparer
f
a
 et
f
b
Soit a et b vérifiant 2<a<b
multiplication par un négatif -2>-a>-b
addition de 2 0> 2 – a > 2 – b
C'est une inégalité entre nombres appartenant à ] – ∞; 0[
Or la fonction inverse est décroissante sur cet intervalle donc :
1
2
–
a
<
1
2
–
b
En multipliant par 3
3
2– a <
3
2–b
Soit
f
a
 <
f
b
On a donc prouvé que si a<b, alors
f
a
 < f(b)
Donc f est croissante sur ]2; +∞[
3-4 Exemple d'utilisation avec a fonction racine carré
Énoncé : Prouver que la fonction g définie sur [4; + ∞ [ par
g
x
=
3
–
2
x
–
4
est décroissante.
Soit u et v vérifiant 4  u <v
Addition de -4 0  u – 4 < v–4
C'est une inégalité entre éléments de [0;+ ∞[
Or la fonction racine carrée (r(x) =
x
) est
croissante sur cet intervalle donc :
0
u
–
4
<
v
–
4
Multiplication par un négatif 0 –2
u
–
4
> –2
v
–
4
Addition de 3 3 3–2
u
–
4
> 3 –2
v
–
4
Soit 3 
g
u
 >
g
v
On a donc prouvé que si u<v,alors
g
u
 >
g
v
Donc g est décroissante sur [4; + ∞[