Rappels de 2nde : Nombres et ordres- Détermination des variations de fonctions 1ère S Les inégalités présentées ci-dessous au sens strict (< et >) sont également valables au sens large ( et ) 1- Addition(et soustraction) 1-1 -Additionner un même nombre Si on additionne un même nombre aux membres d'une inégalité, alors cette inégalité ne change pas de sens. (Si a<b , alors a+c < b+c) 1-2- Addition entre deux inégalités de même sens Si a, b, c et d sont quatre nombres réels tels que a<b et c<d, alors a+c<b+d 2-Multiplication (et division par un réel non nul) 2-1-Multiplier (ou diviser) par un nombre Si on multiplie (ou on divise) les membres d'une inégalité par un même nombre positif, alors cette a b (Si a<b et c>0, alors ac<bc et < ) inégalité ne change pas de sens. c c Si on multiplie (ou on divise) les membres d'une inégalité par un même nombre négatif, alors cette a b inégalité change de sens. (Si a<b et c< 0, alors ac>bc et > ) c c 2-2- Multiplier deux inégalités de même sens entre nombres positifs entre elles Si a, b, c et d sont quatre nombres positifs et si a<b et c<d, alors ac<bd 3- Faire « agir » une fonction sur une inégalité. 3-1: Principe Utiliser les variations connues de certaines fonctions sur un intervalle donné pour déterminer le sens d'une inégalité. On rappelle que: si f est croissante sur un intervalle I et si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b, alors f(a)<f(b). (faire « agir » une fonction sur une inégalité entre nombres appartenant à un intervalle où la fonction est croissante ne change pas le sens de cette inégalité) si f est décroissante sur un intervalle I et si a et b sont deux éléments de I vérifiant a<b, alors f(a)>f(b). (faire « agir » une fonction sur une inégalité entre nombres appartenant à un intervalle où la fonction est décroissante change le sens de cette inégalité) La connaissance parfaite des variations des fonctions de référence est donc nécessaire 3-2 Exemple d'utilisation avec la fonction carré Énoncé : On considère deux nombres a et b appartenant à ] - ∞ ; 3] vérifiant a<b . 2 2 Comparer 2 a – 6 et 2 b – 6 . Comme a et b sont deux éléments de ] - ∞ ; 3], alors Par multiplication par un réel positif : En ajoutant -6 aux trois membres On constate ici que les trois membres sont des éléments de ]- ∞; 0]) Or la fonction carré (f : x x 2 ) est décroissante sur ]- ∞; 0] donc en l'appliquant aux trois membres de l'inégalité précédente on a : a<b3 2a<2b6 2a–6 < 2b–60 2 a – 62 > 2 b – 62 0 3-3 Exemple d'utilisation avec la fonction inverse Énoncé : On considère la fonction f définie sur ℝ\ {2} par f x = 3 . 2– x Étudier les variations de f sur ]2; +∞[ Il nous faut donc considérer deux nombres a et b appartenant à ]2; + ∞[ et comparer f a et f b Soit a et b vérifiant multiplication par un négatif addition de 2 C'est une inégalité entre nombres appartenant à ] – ∞; 0[ Or la fonction inverse est décroissante sur cet intervalle donc : En multipliant par 3 Soit 2<a<b -2>-a>-b 0> 2 – a > 2 – b 1 1 < 2 – a 2 –b 3 3 < 2 – a 2 –b f a < f b On a donc prouvé que si a<b, alors f a < f(b) Donc f est croissante sur ]2; +∞[ 3-4 Exemple d'utilisation avec a fonction racine carré Énoncé : Prouver que la fonction g définie sur [4; + ∞ [ par Soit u et v vérifiant Addition de -4 C'est une inégalité entre éléments de [0;+ ∞[ Or la fonction racine carrée (r(x) = x ) est croissante sur cet intervalle donc : Multiplication par un négatif Addition de 3 Soit On a donc prouvé que si u<v,alors g u > g v Donc g est décroissante sur [4; + ∞[ g x=3 – 2 x – 4 est décroissante. 4 u <v 0 u – 4 < v–4 0 u – 4 < v – 4 0–2 u – 4 > –2 v – 4 3 3–2 u – 4 > 3 –2 v – 4 3 g u > g v