EXERCICES D`ALGÈBRE : ÉNONCÉS

Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
EXERCICES D'ALGÈBRE : ÉNONCÉS
C. Picaronny
1
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
C. Picaronny
Exercices du cours d'algèbre
2
E.N.S. de Cachan
Chapitre 1
Combinatoire
1.1 Coecients binomiaux et théorie des ensembles
Exercice 1
Justier à l'aide de la théorie des ensembles les égalités suivantes :
1. ∀n ∈ N \ {0}, ∀m ∈ N, 0 6 m 6 n,
2. ∀n ∈ N \ {0},
n
m
=
n
n−m
n X
n
= 2n .
i
i=0
3. Le triangle de Pascal : ∀n ∈ N, ∀m ∈ N, 1 6 m 6 n,
n
n
n−1
=
+
m
m−1
m−1
4. ∀n ∈ N \ {0},
n−1
[X
[n
2] 2 ]
X
n
n
=
.
2i
2i + 1
i=0
i=0
5. Convolution de Van der Monde :
l+m
k
min (l,k)
=
X
i=max (0,k−m)
l
i
m
k−i
.
Exercice 2
Dans un ensemble de cardinal n, combien y-a t'il de couples (F, G), où F et G sont deux parties de E telles
que F ∩ G = ∅ ? Combien y-a t'il de paires {F, G} où F et G sont deux parties de E telles que F ∩ G = ∅ ?
1.2 Théorie des graphes
Exercice 3
Soit E un sous-ensemble de {1, ..., n}. On note SE le sous-groupe de Sn formé par les permutations qui xent
tous les points de {1, ..., n} \ E . Soit (i, j) une transposition de Sn . Démontrer que :
< SE , (i, j) >= {
SE × < (i, j) > si i ∈
/ E et j ∈
/E
SE∪{j} si i ∈ E et j ∈
/E
3
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 4
Soit X une famille de transpositions dans Sn . On note GX le graphe dont l'ensemble des sommets est l'ensemble
{1, ..., n} et dont l'ensemble des arêtes est {(i, j) | (i, j) ∈ X}. Montrer que X est une partie génératrice du
groupe symétrique Sn si et seulement si GX est connexe.
Exercice 5
Montrer qu'une partie génératrice du groupe symétrique Sn formée de transpositions contient au moins n − 1
transpositions.
Exercice 6
n couples (2n personnes) se retrouvent à l'occasion d'une soirée. Certains se serrent la main en arrivant,
d'autres non. Deux conjoints ne se serrent pas la main. On demande à chaque personne combien de mains elle
a serrées et on obtient toutes les réponses possibles : 0, 1, 2...., 2n − 2.
1. Montrer qu'une personne qui a serré 2n − 2 mains est mariée avec une qui n'en a serrée aucune, et que
ce couple est alors unique.
2. Doit i < n − 1. Montrer qu'une unique personne a serré i mains et qu'elle est mariée avec celle qui en a
serrée 2(n − 1) − i si i < n − 1, et que deux conjoints d'un même couple ont serré chacun n-1 mains.
1.3 Principe d'inclusion-exclusion (formule du crible)
Exercice 7
Soit Dn le nombre de dérangements de Sn (Un dérangement est une permutation sans point xe). On considère
la série génératrice :
∞
X
Dn n
X .
S(X) =
n!
n=0
1. (a) Montrer à l'aide de la formule du crible que :
Dn = n! −
n! n!
n!
+
+ ... + (−1)n .
1!
2!
n!
(b) En déduire que Dn est équivalent à e−1 n!.
Pn
2. (a) Montrer l'égalité n! = i=0 Cni Dn−i .
(b) En déduire légalité :
S(X)eX =
1
.
1−X
(c) Retrouver ainsi la première formule exprimant Dn .
Exercice 8
On note Sn,k le nombre de surjections d'un ensemble à n éléments dans un ensemble à k éléments.
1. Exprimer Sn,k en utilisant la formule du crible (une application est non surjective si elle n'atteint pas au
moins un certain i dans {1, ..., k} ...).
2. En déduire un équivalent de
Sn,k
kn
lorsque n tend vers +∞. Comment interpréter ce résultat ?
1.4 Exemples de séries génératrices
Exercice 9
Nombres de Bell.
On note Bn le nombre de partitions (ou le nombre de relations d'équivalence) d'un ensemble à n éléments.
On pose B0 = 1. Soit T la série génératrice :
T =
C. Picaronny
∞
X
Bn n
X .
n!
n=0
4
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
1. En classant les partitions de {1, ..., n} selon la taille k de la classe de n, montrer légalité :
Bn =
n
X
(n−1
k−1 )Bn−k .
k=1
2. Montrer que T vérie léquation diérentielle T 0 = eX T . En déduire que :
T (X) = ee
X
−1
.
3. Exprimer Bn en fonction des Sn,k (nombre de surjections d'un ensemble à n éléments dans un ensemble
à k éléments).
1.5 La formule de Burnside
Exercice 10
1. Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni E . Soit k le nombre d'orbites de cette opération. Si
g ∈ G, on note Fix(g) le sous-ensemble de E formé par les éléments xes par g . Démontrer la formule
de Burnside :
1 X
|Fix(g)|.
k=
|G|
g∈G
2. Démontrer que le nombre de colorations d'un collier à n perles avec m couleurs est
(seules les rotations du collier sont considérées ici).
1
n
P
d|n
ϕ(d)mn/d
3. Déterminer le nombre de colorations du dodécaèdre avec deux couleurs : on commencera par énumérer
les éléments du groupe des déplacements du dodécaèdre (isomorphe à A5 ) selon leur nature géométrique.
(96)
C. Picaronny
5
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
C. Picaronny
Exercices du cours d'algèbre
6
E.N.S. de Cachan
Chapitre 2
Théorie des groupes nis
La lettre p désigne un nombre premier.
2.1 Les petits groupes nis.
Le but des exercices suivants est de déterminer les classes d'isomorphisme des groupes d'ordre ≤ 15. Pour
cela, on commence par étudier certaines classes particulières de groupes nis.
Exercice 11 (Les groupes abéliens.)
Rappeler le théorème de décomposition des groupes abéliens nis. En déduire les classes d'isomorphisme des
groupes abéliens d'ordre ≤ 15.
Exercice 12
[Les p-groupes abéliens élémentaires]
1. Soit G un groupe abélien. On considère la loi externe :
Z×G → G
(n, x)

x + x + · · · + x,


|
{z
}



n fois
0
7
→
n.x =


−x − x − · · · − x


{z
}
 |
−n
si n > 0
si n = 0
si n < 0
fois
Montrer qu'elle munit naturellement G d'une structure de Z-module. Montrer que les sous-modules de
G sont ses sous-groupes.
2. Soit P un p-groupe abélien tel que :
∀x ∈ P, xp = 1 (P est d'exposant p).
Montrer que la structure de Z-module sur P se factorise naturellement en une structure de Z/pZ-espace
vectoriel ; montrer que, pour cette structure de Z/pZ-espace vectoriel sur P , les sous-espaces vectoriels
sont les sous-groupes de P .
3. Montrer l'équivalence : P est un p-groupe abélien d'exposant p si et seulement si P est isomorphe à un
produit direct de Z/pZ.
4. Soit P un groupe isomorphe à un produit direct de Z/pZ. Montrer qu'il en est de même de tous ses
sous-groupes et tous ses quotients.
Exercice 13
Soit G un groupe ni. On suppose que Aut(G), le groupe de ses automorphismes, agit transitivement sur
G \ {1}. Démontrer qu'il existe un nombre premier p tel que G est un p-groupe abélien élementaire.
7
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
2.2 Les p-groupes
Exercice 14
1. Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non trivial.
2. Montrer qu'un p-groupe a des sous-groupes distingués de tous les ordres possibles.
Exercice 15
Soit G un groupe tel que ∀g ∈ G, g 2 = 1. Montrer que G est abélien.
Exercice 16
Soit G un groupe et soit H un sous-groupe d'indice 2 de G.
1. Soit K un sous-groupe de G. Montrer que K ⊂ H ou K ∩ H est d'indice 2 dans K .
2. En déduire que si H est simple et d'ordre > 2, G n'admet aucun autre sous-groupe d'indice 2.
3. En déduire que si |G| = 2n, avec n impair, G a au plus un sous-groupe d'indice 2.
Exercice 17
[Un petit lemme utile.]
Soit G un groupe ni. Soit H un sous-groupe de G contenu dans le centre de G. Montrer que H est
distingué. On suppose que G/H est un groupe cyclique. Montrer qu'alors G est abélien.
Exercice 18
[Groupes
d'ordre
p2 .] Montrer que tout groupe d'ordre p2 est abélien.
2p (p impair).)
Soit G un groupe d'ordre 2p. On se propose de démontrer qu'il est soit cyclique (Z/2pZ), soit diédral (D2p ).
Exercice 19 (Groupes d'ordre
1. Montrer que G admet un unique p-sous-groupe de Sylow qu'on note S . Donc S est isomorphe à Z/pZ et
distingué dans G.
2. Soit x un élément d'ordre 2 dans G (existence ?).
(a) Montrer que G =< S, x >.
(b) Montrer que l'automophisme intérieur déni par x sur G, restreint à S , est, soit l'identité sur S ,
soit le morphisme s → s−1 (utiliser le fait que le groupe des automorphismes de S est un groupe
cyclique d'ordre p − 1).
Dans le premier cas, montrer que G est isomorphe à Z/pZ × Z/2Z et donc, G est cyclique. Dans le
second, reconnaître le groupe diédral.
Remarque : Dans cette question, on montre en fait que le groupe < S, x > est produit semi-direct
de S par < x > et on cherche les produits semi-directs de Z/pZ par Z/2Z.
pq (p et q impairs tels que p < q et p ne divise pas q − 1).)
On se propose de montrer qu'un tel groupe est cyclique.
Soit G un tel groupe. Montrer qu'il admet un unique q -sous-groupe de Sylow, noté S isomorphe à Z/qZ. Soit
x un élément d'ordre p dans G. Montrer que x normalise S , puis centralise S . En déduire que G est isomorphe
à Z/pZ × Z/pZ. Conclure.
Remarque : Encore une fois on montre en fait que le groupe < S, x > est produit semi-direct de S par < x >
et on montre le seul produit semi-direct de Z/qZ par Z/pZ est le produit direct.
Exercice 20 (Groupes d'ordre
8.)
Soit G un groupe non abélien d'ordre 8. On note Z(G) son centre.
Exercice 21 (Les groupes non abéliens d'ordre
1. Montrer que Z(G) est d'ordre 2 et que le quotient G/Z(G) est isomorphe à (Z/2Z)2 .
2. Montrer que G contient au moins un élément d'ordre 4.
C. Picaronny
8
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
3. Montrer que tout sous-groupe d'ordre 4 de G est distingué dans G. Soit H un sous-groupe cyclique
d'ordre 4.
1er cas : il existe un élément x d'ordre 2 qui n'est pas dans H . Montrer alors que G =< H, x > et que
l'automophisme intérieur déni par x sur G, restreint à H ne peut être que le morphisme h → h−1 . En
déduire que G est un groupe diédral.
2nd cas : tout élément x qui n'est pas dans H est d'ordre 4. Montrer qu'alors G contient un unique
élément d'ordre 2 qui engendre son centre ; on le note -1. On note i un générateur de H et j un élément
de G − H . On pose k = ij . Montrer que i2 = j 2 = k 2 = −1. On note alors i3 = −i, j 3 = −j, k 3 = −k .
Ecrire la table de multiplication de G. Ce groupe est appelé le groupe des quaternions et note H8 .
12.)
Soit G un groupe d'ordre 12. Soit t (resp. d) son nombre de 3-sous-groupes (resp. 2-sous-groupes) de Sylow.
Exercice 22 (Les groupes d'ordre
1. Montrer que t ∈ {1, 4} et que d ∈ {1, 3}, puis, en comptant les éléments que t = 1 ou d = 1.
2. On suppose t = 1 et d = 1. Montrer que G est isomorphe à Z/12Z ou à Z/6Z × Z/2Z.
3. On suppose t = 1 et d = 4. Montrer que G est produit semi-direct non direct de son 3-sous-groupe de
Sylow par un 2-sous-groupe de Sylow. Montrer qu'on obtient ainsi deux classes d'isomorphisme possibles
pour G, dont l'une est le groupe diédral.
4. On suppose t = 4 et d = 1. En faisant opérer G sur l'ensemble de ses 3-sous-groupes de Sylow, montrer
que G est isomorphe au group alterné A4 .
Remarque : On peut aussi raisonner comme précédemment en montrant que G est produit semi-direct
de son 2-sous-groupe de Sylow par un 3-sous-groupe de Sylow, puis étudier ces produits.
Exercice 23
Dresser la table des classes d'isomorphisme des groupes d'ordres ≤ 15.
30)
On se propose de démontrer qu'il y a exactement 4 classes d'isomorphisme de groupes d'ordre 30, précisément :
Z/30Z, Z/5Z × D6 , Z/3Z × D10 , D15 .
Exercice 24 (Les groupes d'ordre
1. Montrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme entre deux groupes parmi les quatre cités ci-dessus (compter les
éléments d'ordre 2 dans chacun des cas).
On rappelle les deux résultats :
(i) Un groupe d'ordre 15 est cyclique.
(ii) Soient G un groupe ni et H un sous-groupe cyclique de G. On suppose quíl existe un élément d'ordre
2, soit x, telque : x ∈
/ H et ∀h ∈ H, xhx = h−1 ; alors G est isomorphe au groupe diédral D2|H| .
Soit G un groupe d'ordre 30. Soit p ∈ {3, 5} ; on note kp le nombre de p sous-groupes de Sylow de G.
a) Démontrer que k3 ∈ {1, 10} et k5 ∈ {1, 6}
b) Démontrer que le cas k3 = 10 et k5 = 6 est impossible en comptant le nombre deléments d'ordre 3 et
d'ordre 5.
c) Soient p, q tels que {p, q} = {3, 5}. On suppose que kp = 1 et kq 6= 1. Soit H le p-sous-groupe de Sylow
de G et K un q -sous-groupe de Sylow de G.
i) Montrer que le sous-groupe < H, K > est un groupe d'ordre 15. En déduire qu'il est cyclique et qu'il
contient 8 éléments d'ordre 15.
ii) Montrer que G contient kq sous-groupes d'ordre 15. Justier que l'intersection de deux tels sousgroupes distincts est H .
iii) Montrer que G contient 8kq éléments d'ordre 15.
iv) Obtenir ainsi une contradiction.
On a ainsi obtenu que G contient un unique 5-sous-groupe de Sylow, noté S , un unique 3-sous-groupe de
Sylow, noté T , et donc un unique sous-groupe d'ordre 15 < S, T >, produit direct de S et T . Soient x un
élément d'ordre 2 dans G, s un générateur de S , et t un générateur de T .
0) Justier que G =< S, T, x >.
i) Justier que xtx = t ou xtx = t2 = t−1 .
C. Picaronny
9
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
ii) Justier que xsx = s ou xsx = s4 = s−1 (en posant xsx = si , montrer que i2 ≡ 1 mod [5]).
iii) cas 1 : xtx = t et xsx = s ; démontrer que G est isomorphe à Z/30Z.
cas 2 : xtx = t−1 et xsx = s ; démontrer que < T, x > est isomorphe à D6 puis que G est isomorphe à
Z/5Z × D6 .
cas 3 : xtx = t et xsx = s4 = s−1 ; démontrer que < S, x > est isomorphe à D10 puis que G est isomorphe
à Z/3Z × D10 .
cas 4 : xtx = t−1 et xsx = s4 = s−1 ; démontrer que ∀h ∈< S, T >, xhx = h−1 et en déduire que G est
isomorphe à Z/15Z.
Autre méthode :
0) Justier que G =< S, T, x >, puis que G est produit semi-direct de < S, T > par < x >.
i) Démontrer que Aut(Z/15Z) est isomorphe au produit direct Aut(Z/3Z) × Aut(Z/5Z).
ii) En déduire qu'il y a exactement trois automorphismes d'ordre 2 de < S, T > :
ψ1 tel que ∀s ∈< S >, ψ1 (s) = s et ∀t ∈ T, ψ1 (t) = t−1 ,
ψ2 tel que ∀s ∈< S >, ψ2 (s) = s−1 et ∀t ∈ T, ψ2 (t) = t,
ψ3 tel que ∀s ∈< S >, ψ3 (s) = s−1 et ∀t ∈ T, ψ3 (t) = t−1 .
iii) Retrouver les quatre cas ci-dessus.
Exercice 25 (Le théorème de la base de Burnside.)
Soit p un nombre premier. Le but de cet exercice est de démontrer le théorème suivant :
Théorème [Burnside] : Soit P un p-groupe ni. Alors toutes les parties génératrices minimales de P ont le
même cardinal.
On commence par rappeler quelques propriétés des p-groupes. Soit P un p-groupe non trivial. Il a des sousgroupes distingués de tous les ordres possibles (cf. exercice 14).
1.
Le normalisateur d'un sous-groupe propre d'un p-groupe le contient strictement : Soit Q un
sous-groupe propre de P . On note NP (Q) son normalisateur dans P , i.e. NP (Q) = {x ∈ P |xQx−1 = Q}.
Soit y ∈ P . Montrer que {x ∈ Q | xyQ = yQ} = Q ∩ yQy −1 .
On fait opérer Q par translation à gauche sur l'ensemble des classes à gauche P/Q. Montrer que les
seules orbites de cardinal 1 sont celles de la forme yQ, avec y ∈ NP (Q). En déduire qu'il y a exactement
|NP (Q)/Q| orbites de cardinal 1.
En écrivant l'équation aux classes, montrer que Q est strictement contenu dans son normalisateur.
2. Les sous-groupes maximaux d'un p-groupe sont les sous-groupes d'indice p : En déduire que les
sous-groupes propres de P , maximaux pour l'inclusion, sont distingués dans P , puis que les sous-groupes
propres de P , maximaux pour l'inclusion, sont exactement les sous-groupes d'indice p.
3. Le sous-groupe de Frattini d'un p-groupe : On appelle sous-groupe de Frattini de P , et on note
Φ(P ), l'intersection de tous les sous-groupes maximaux de P . Soit Q un sous-groupe distingué de P .
Montrer l'équivalence : Φ(P ) ⊂ Q si et seulement si le groupe quotient P/Q est isomorphe à un produit
direct de Z/pZ.
(a) Soit x1 , ..., xn des éléments de P . Montrer que la famille {x1 , ..., xn } engendre P si et seulement si la famille {x1 Φ(P ), ..., xn Φ(P )} engendre P/Φ(P ) (On utilisera le fait que, si la famille
{x1 , ..., xn } n'engendre pas P , elle est contenue dans un sous-groupe maximal Q et qu'alors la
famille {x1 Φ(P ), ..., xn Φ(P )} est, elle aussi, contenue dans un sous groupe maximal du quotient).
(b) En remarquant que la structure de groupe de P/Φ(P ) dénit naturellement une structure de Z/pZespace vectoriel, conclure.
(c) Montrer que le résultat montré est faux en général, si on ne se restreint pas à la classe des p-groupes
(penser aux groupes symétriques, cf .)).
Exercice 26
Soit P un groupe d'ordre p3 . On suppose P non abélien.
1. Démontrer que Z(P ), le centre de P , est d'ordre p et que P/Z(P ) est isomorphe à (Z/pZ)2 .
2. On suppose que P est d'exposant p (i.e. ∀x ∈ P, xp = 1). Démontrer que Z(P ) = Φ(P ), Φ(P ) désignant
le sous-groupe de Frattini de P .
3. En déduire le sous-groupe de Frattini du groupe formé par les matrices (3, 3) triangulaires supérieures,
à coecients dans Fp , et dont tous les coecients diagonaux sont égaux à 1.
C. Picaronny
10
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
2.3 Les groupes symétriques
Exercice 27
Soit G un sous-groupe abélien de Sn . On suppose que G agit transitivement sur {1, ..., n}. Quel est l'ordre de
G ? Donner un exemple d'un sous-groupe.
Exercice 28
[Les
parties génératrices de
Sn .]
1. Montrer que Sn est engendré par les transpositions (1, 2), (2, 3), ..., (n − 1, n).
2. Montrer que Sn est engendré par les transpositions (1, 2), (1, 3), ..., (1, n).
3. En déduire les parties génératrices correspondantes du groupe alterné An .
4. Montrer que An est engendré par les carrés des éléments de Sn .
Exercice 29 (S4 ,
A4 )
1. Déterminer tous les éléments de S4 , leurs classes de conjugaison, leurs centralisateurs. Pour ceux de A4 ,
comparer avec A4 .
2. Déterminer tous les sous-groupes de S4 , leurs classes de conjugaison, leurs normalisateurs. Pour ceux de
A4 , comparer avec A4 .
3. Reconnaître pour ces deux groupes, les classes d'isomorphisme et le nombre des sous-groupes de Sylow.
Exercice 30 (S5 ,
A5 )
1. Déterminer tous les éléments de S5 , leurs classes de conjugaison, leurs centralisateurs. Pour ceux de A5 ,
comparer avec A5 .
2. Déterminer tous les sous-groupes de S5 , leurs classes de conjugaison, leurs normalisateurs. Pour ceux de
A5 , comparer avec A5 .
3. Reconnaître pour ces deux groupes, les classes d'isomorphisme et le nombre des sous-groupes de Sylow.
Exercice 31
Montrer que A5 est un groupe simple (Si H est sous-groupe distingué non trivial de A5 , il contient un élément
d'ordre 2, 3 ou 5 et donc sa classe de conjugaison. Utiliser cet argument pour montrer que l'ordre de H est
> 30).
Exercice 32
Montrer qu'un groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5 (montrer qu'un tel groupe possède 10 3-sousgroupes de Sylow et 6 5-sous-groupes de Sylow ; en déduire qu'il ne contient pas d'élément d'ordre 6 ou 10 et
qu'un 2-sous-groupe de Sylow de G est le centralisateur de chacun de ses éléments d'ordre 2. On en déduira le
nombre de 2-sous-groupes de Sylow de G.).
Exercice 33
Soit G un groupe d'ordre 60 qui contient exactement :
15 éléments d'ordre 2,
20 éléments d'ordre 3,
24 éléments d'ordre 5.
Montrer que G est isomorphe à A5 (on peut utiliser 5).
Exercice 34
Soit σ une permutation
Pnde Sn . On note ki le nombre de cycles de longueur i dans une décomposition en cycles
disjoints de σ . Ainsi i=1 iki = n. Exprimer en fonction des ki :
L'ordre du centralisateur de σ dans Sn ,
Le cardinal de la classe de conjugaison de σ dans Sn ,
L'ordre du centralisateur de σ dans An ,
Le cardinal de la classe de conjugaison de σ sous láction par conjugaison de An .
On commencera par traiter deux cas particuliers :
1. σ est un cycle de longueur p,
2. σ est un produit de q cycles disjoints de longueur p,
C. Picaronny
11
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
3. le cas général.
Exercice 35
Soit G un sous-groupe de Sn . On suppose que G est d'indice n dans Sn . Montrer que G est isomorphe à Sn−1 .
(faire opérer Sn sur le quotient Sn /G).
Exercice 36
Soit H un sous-groupe d'ordre 20 de S5 (existence ?). En faisant opérer S5 par translation sur son quotient
S5 /H , construire un sous-groupe d'indice 6 de S6 qui ne xe aucun élément de {1, ..., 6} (cette situation est
exceptionnelle, cf. les automorphismes de Sn , par exemple dans le livre de Perrin).
Exercice 37
Montrer que An ne contient aucun sous-groupe isomorphe à Sn−1 (pour n ≥ 3).
Exercice 38
Ecrire un algorithme qui calcule la signature d'une permutation donnée. Quelle est la complexité ?
2.4 Une caractérisation des groupes cycliques.
Exercice 39
On se propose ici de montrer le résultat suivant RMS [ ? ?] :
Théorème : Soit n un entier naturel premier avec ϕ(n). Alors tout groupe d'ordre n est cyclique.
Il existe une preuve plus rapide qui utilise le transfert (cf. Cours d'algèbre de D. Perrin, dans les exercices
du chapitre 1). On propose ici une preuve qui n'utilise pas cette notion. La preuve se fait par l'absurde. On
considère un entier n premier avec ϕ(n) tel qu'il existe un groupe G d'ordre n et non cyclique. On suppose n
minimal pour cette propriété. On rappelle que le groupe des automorphismes d'un groupe cyclique d'ordre p
premier est un groupe cyclique d'ordre ϕ(p) = p − 1.
1.
2.
3.
Montrer qu'un entier m est premier avec ϕ(m) si et seulement si il se décompose
comme un produit de nombres premiers distincts deux à deux, m = p1 p2 ...pk , tels que pi ne divise pas
pj − 1 lorsque i 6= j . En déduire que tous les diviseurs de n vérie la même propriété.
Les entiers concernés.
G. Montrer que tous les sous-groupes propres et les quotients
non triviaux de G sont des groupes cycliques. Montrer que l'ordre d'un sous-groupe de G est premier
avec son indice dans G.
Les sous-groupes et les quotients de
G est simple. Soit H un sous-groupe distingué de G. On suppose G 6= H 6= {1}. Soit y un
élément de G tel que yH engendre G/H (cf. 2). On note d l'ordre de y dans G. Comme yH est d'ordre
|G/H|, d est un multiple de |G/H|. Soit e tel que d = e|G/H|.
Le groupe
(a) Montrer que y e est d'ordre |G/H| et que y e H est d'ordre |G/H| (remarquer que |G/H| et e sont
premiers entre eux).
(b) Montrer alors que y e centralise H (remarquer que l'ordre de y e est premier avec l'ordre du groupe
des automorphismes de H ). En déduire que G est le produit direct de H et du sous-groupe engendré
par y e , i.e ; G est cyclique (ce qui est une contradiction).
4.
Le groupe G a une unique classe de conjugaison de sous-groupes maximaux. Soit H un sousgroupe maximal (au sens de l'inclusion) de G et soit K un sous-groupe de G. Montrer les propriétés
suivantes :
H = NG (H) (H est son propre normalisateur dans G),
G =< H, K > si K 6⊂ H ,
K ∩ H est un sous-groupe distingué de G si K 6⊂ H , (penser au fait qu'un groupe abélien normalise
tous ses sous-groupes).
K ∩ H = {1} ou K ⊂ H .
[ un système de représentants dans G du quotient
Si H est un sous-groupe de G, on désigne par G/H
G/H . Soient H et K deux sous-groupes maximaux non conjugués dans G. Montrer que :
gHg −1 ∩ kHk −1 = {1} lorsque kH 6= gH , ∀g, k ∈ G,
C. Picaronny
12
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
gHg −1 ∩ kKk −1 = {1}, ∀g, k ∈ G,
−1
∪g∈G (gHg −1 \ {1}) = tg∈G/H
\ {1}) et
[ (gHg
−1
∪g∈G (gKg −1 \ {1}) = tg∈G/K
\ {1}),
[ (gKg
∪g∈G (gHg −1 \ {1}) ∩ ∪g∈G (gKg −1 \ {1}) = ∅.
En comptant les éléments de (∪g∈G (gHg −1 \ {1})) ∪ (∪g∈G (gKg −1 \ {1})), aboutir à une contradiction.
5.
Conclusion
Soit p un diviseur premier de |G|. Montrer que tout élément d'ordre p est dans un sous-groupe maximal
de G et en déduire la contradiction cherchée.
C. Picaronny
13
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
C. Picaronny
Exercices du cours d'algèbre
14
E.N.S. de Cachan
Chapitre 3
Réseaux
Exercice 40
Soit G un sous-groupe non nul de (R, +). Démontrer que G est soit dense dans R, soit un réseau de R (c'est
à dire de la forme aZ, avec a ∈ R∗ .
Exercice 41
Soient L et L0 deux réseaux du R-espace vectoriel Rn . On suppose que L ⊂ L0 .
1. Démontrer qu'il existe un entier naturel non nul d tel que dL0 ⊂ L ⊂ L0 .
2. Démontrer que :
[L0 : L] =
3. En déduire l'équivalence :
vol(L)
vol(L')
L = L0 ⇔ vol(L) = vol(L').
Exercice 42
Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. On se propose de montrer que p est la somme de deux carrés
d'entiers.
i) Montrer que (−1) est un carré dans Fp ; en déduire qu'il existe un entier u tel que p divise u2 + 1.
On considère dans R2 :
L = {(x, y) ∈ Z2 | y ≡ ux [p] }.
ii) Justier que L est un réseau de R2 . En exhiber une base et calculer son volume.
iii) Démontrer que x2 + y 2 est un entier multiple de p, pour tout (x, y) ∈ L.
iv) Démontrer
que L intersecte non trivialement la boule euclidienne ouverte centrée en l'origine et de
√
rayon 2p en utilisant le théorème de Minkowski.
v) Conclure
Exercice 43
Soit p un nombre premier impair. On se propose de montrer que p est la somme de quatre carrés d'entiers.
i) Montrer que (−1) est une somme de deux carrés dans Fp ; en déduire qu'il existe deux entiers u et v tels
que p divise u2 + v 2 + 1.
On considère dans R2 :
L = {(x, y, z, t) ∈ Z4 | z ≡ ux + vy [p] ; et zt ≡ −vx + uy [p]}.
ii) Justier que L est un réseau de R2 . En exhiber une base et calculer son volume.
iii) Démontrer que x2 + y 2 + z 2 + t2 est un entier multiple de p, pour tout (x, y, z, t) ∈ L.
iv) Démontrer
que L intersecte non trivialement la boule euclidienne ouverte centrée en l'origine et de
√
rayon 2p en utilisant le théorème de Minkowski.
v) Conclure
vi) En déduire que tout entier naturel est la somme de quatre carrés d'entiers.
15
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 44
On note E le R-espace vectoriel Rn et E ∗ son dual. Soit L un réseau de E . On dénit :
L∗ = {λ ∈ E ∗ | λ(L) ⊂ Z}.
1. Démontrer que L∗ est un réseau de E ∗ . Plus précisément, on montrera que L∗ est le groupe abélien libre
engendré par la base duale d'une base de L.
2. En déduire l'égalité :
vol(L)vol(L∗ ) = 1.
3. Démontrer que L∗∗ = L.
4. Soient L et M deux réseaux de E .
(a) A quelle condition L + M est-il aussi un réseau ? Montrer alors que L ∩ M est un réseau de E .
Montrer aussi que L∗ + M ∗ est un réseau de E ∗ .
(b) On suppose cette condition vériée. Montrer que (L + M )∗ = L∗ ∩ M ∗ et (L ∩ M )∗ = L∗ + M ∗ .
5. On considère E = Rn muni de sa structure euclidienne. On identie ainsi E et E ∗ grace au produit
scalaire. Soit L un réseau. si {e1 , ..., en } est une base de L, on note Gram = ((ei , ej )) 1 ≤ i ≤ n la
1≤j≤n
matrice de Gram de ces vecteurs. Justier l'équivalence :
L = L∗ ⇔ Gram ∈ GLn Z.
6. On considère E = Rn muni de sa structure euclidienne. On identie ainsi E et E ∗ grace au produit
scalaire. Soit α > 0. Donner un exemple de réseau L tel que L∗ = αL. Quel est le volume d'un tel
réseau ?
Exercice 45
Quel est le groupe des isométries anes conservant le réseau Z2 ? Quel est le groupe des isométries anes
conservant le réseau Z ⊕ Zj ? Dans les deux cas, on cherchera le sous-groupe des translations conservant le
réseau et on utilisera ce sous-groupe pour décomposer le groupe comme produit semi-direct.
Exercice 46
On note d la distance euclidienne sur l'espace ane euclidien R2 . On considère une application f : R2 → R2 ,
telle que :
∀A, B ∈ R2 , d(A, B) = 1 ⇒ d(f (A), f (B)) = 1.
1. Soient A, B dans R2 . En considérant l'intersection des deux cercles de rayon 1 de centres respectifs A et
B , montrer que d(A, B) 6 2 ⇒ d(f (A), f (B)) 6 2.
On suppose que d(A, B) < 2. Soient C et D les deux points d'intersection des deux cercles de rayon
1 de centres
√ respectifs A et B . Calculer la distance d(C,
√ D) en fonction de d(A, B). En déduire que
d(A, B) = 3 ⇒ d(f (A), f (B)) = 0 ou d(f (A), f (B)) = 3.
√
√
2. Soient A, B dans R2 . tels que d(A, B) = √ 3. En considérant un point C tel que d(A, C) = 3 et
d(B, C) = 1, justier que d(f (A), f (B)) = 3.
3. Soient A, B dans R2 . soit n un entier naturel. Démontrer : d(A, B) 6 n ⇒ d(f (A), f (B)) 6 n.
4. Soient A0 , B0 , C0 dans R2 , sommets d'un triangle équilatéral de cotés de longueur 1. Montrer qu'il existe
une isométrie ane σ telle que σf xe les trois points A0 , B0 , C0 . En déduire que σf xe le réseau
{A0 + β A0~B0 + γ A0~C0 , (β, γ) ∈ Z2 }. En déduire les propriétés suivantes :
(a) ∀n ∈ N, ∀A, B ∈ R2 , d(A, B) = n ⇒ d(f (A), f (B)) = n.
(b) ∀A, B, C ∈ R2 , alignés et tels que d(A, B) ∈ N et d(A, C) ∈ N, les points f (A), f (B), f (C) sont
alignés.
5. Soit > 0 et soient A, B ∈ R2 tels que d(A, B) = . On pose 0 = d(f (A), f (B)).
(a) Montrer que qu'il existe un entier naturel non nul N et un point O tels que d(O, A) = N et
d(O, B) = N .
C. Picaronny
16
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
(b) On considère la demi-droite d'origine O passant par A (respectivement B ), notée DA (respectivement
DB ). Sur la demi-droite DA (respectivement DB ), on note An (respectivement Bn ), le point tel que
d(O, An ) = nN (respectivement d(O, Bn ) = nN ), pour tout entier naturel non nul n ; on a ainsi
A1 = A et B1 = B .
i. Pour n ∈ N, quelle est la distance d(An , Bn ) ?
ii. En déduire que 0 6 .
iii. Justier que f est continue.
p
6. Soit > 0 tels qu'il existe p
a, b dans N vériant = |a − b (3)|. Soient A, B, C ∈ R2 tels que d(A, B) = ,
{d(A, C), d(B, C)} = {a, b (3)}. On pose 0 = d(f (A), f (B)).
7. Montrer que 0 > .
8. En conclure que f est une isométrie.
9. Démontrer que ce résultat est faux en dimension 1 (il est par contre vrai en dimension > 3).
C. Picaronny
17
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
C. Picaronny
Exercices du cours d'algèbre
18
E.N.S. de Cachan
Chapitre 4
Arithmétique
Exercice 47
On suppose que deux nombres entiers m et n ont un P.G.C.D. égal à 20. Quel peut-être le P.G.C.D. de m3 et
n4 ?
Exercice 48
Soient m et n deux entiers naturels non nuls et soit d leur P.G.C.D.. Montrer que le P.G.C.D. de 2m − 1 et
2n − 1 est 2d − 1.
Exercice 49
On note {Fn }n∈N la suite de Fibonacci. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et soit d leur P.G.C.D..
Montrer que le P.G.C.D. de Fm et Fn est Fd (on montrera l'égalité Fn = Fm+1 Fn−m + Fm Fn−m−1 , pour tout
m ≤ n).
Exercice 50
Montrer qu'il existe au moins un vendredi 13 chaque année (et même entre mars et octobre, ce qui permet
de ne pas avoir à considérer les années bissextiles comme un cas particulier). Quel est le nombre maximal de
vendredis 13 dans une année ?
Exercice 51
Déterminer toutes les années du vingt-et-unième siècle pour lesquelles le jour de Noël sera un dimanche.
Exercice 52
Justier les critères de divisibilité usuels (par 2, 3, 5, 9, 11).
Exercice 53
Justier la preuve par 9 d'une opération (addition, multiplication, division) d'entiers. Que peut-elle détecter
exactement ?
Exercice 54
Déterminer le nombre de zéros situés à la n de l'écriture en base 10 du nombre 100!.
Exercice 55
Montrer qu'un entier 8n + 7 ne peut être somme de trois carrés d'entiers. En déduire qu'un entier 4l (8n + 7)
ne peut être somme de trois carrés d'entiers.
Exercice 56
Déterminer le plus petit nombre multiple de 19 dont l'écriture en base 10 ne comporte que des 1.
Exercice 57
Montrer qu'un nombre de la forme mn − 1 avec m et n entiers naturels, m ≤ 2 et n ≤ 1 ne peut être premier
que si m = 2 et n est premier (voir les nombres Mersenne ci-dessous)
19
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 58
Montrer qu'un nombre de la forme 2n + 1 où n est un entier naturel ≤ 1, ne peut être premier que si n est
k
une puissance de 2. Montrer qu'un diviseur premier de 22 + 1 est de la forme 2k+2 m + 1 (voir les nombres de
Fermat ci-dessous).
Exercice 59 (2. Les nombres parfaits)
Un nombre est dit parfait s'il est egal à la somme de ses diviseurs stricts (dans N).
Soit n un entier pair pouvant se décomposer sous la forme 2k−1 (2k − 1), avec 2k − 1 nombre premier (dit
de Mersenne). Montrer que n est parfait.
a.
Soit n un entier parfait pair. Montrer que n peut se décomposer sous la forme 2k−1 (2k − 1) où 2k − 1 est
un nombre premier (cf. les nombres de Mersenne).
b.
Soit n un entier pair pouvant se décomposer sous la forme 2k−1 (2k −1), avec 2k −1 nombre premier. Montrer
que n est parfait.
c.
Une conjecture célèbre voudrait qu'il n'existe pas de nombres parfaits impairs. N'y réechissez pas trop cette
année !
Exercice 60 (3. Les nombres de Fermat)
n
Les nombres de Fermat sont les entiers de la forme fn = 22 + 1. Calculer f1 , f2 , f3 , f4 , f5 . Démontrer que
f1 , f2 , f3 , f4 sont premiers et que f5 ne l'est pas (démontrer qu'il est divisible par 641).
Fermat avait conjecturé que ces nombres étaient premiers. A l'heure actuelle, on ne connait pas de nombres
de Fermat premiers, mis à part les quatre premiers.
Exercice 61 (4. Les nombres de Mersenne)
Les nombres de Mersenne sont les entiers de la forme mp = 2p − 1 où p est un nombre premier.
Soit q un diviseur premier d'un nombre de Mersenne mp . Montrer que p divise q − 1. En déduire un
algorithme permettant de trouver le plus petit facteur premier d'un nombre de Mersenne.
4a.
211 − 1 est-il premier ? 213 − 1 est-il premier ?
Les nombres de la forme 2k − 1 sont appelés nombres de Mersenne. On en connait une quarantaine de
4b.
premiers mais on conjecture qu'il en existe une innité. Le plus grand nombre premier connu est souvent un
nombre de Mersenne (pour lesquels il existe des algorithmes de tests de primalité plus ecaces, comme le
montre l'exercice ; cf. aussi le test de Lucas).
Exercice 62 (Les nombres de Carmichael)
Les nombres de Carmichael sont les entiers n on premier tels que an−1 ≡ 1, pour tout entier a premier avec n.
Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
Montrer qu'un nombre de Carmichael est sans facteur carré et produit d'au moins trois nombres premiers
distincts. Pour cela, on utilisera la classe d'isomorphisme des groupes Z/nZ∗ . Montrer aussi qu'un entier
n est de Carmichael si et seulement si p − 1 divise n − 1, pour tout diviseur premier p de n.
Montrer que 561 est le plus petit nombre de Carmichael.
Montrer que n = (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) est de Carmichael si et seulement si les trois nombres
(6k + 1), (12k + 1), (18k + 1) sont premiers.
Déterminer tous les nombres de Carmichael de la forme 3pq et 5pq , p,q premiers.
Exercice 63
Un algorithme probabiliste de primalité [Lehmann] :
Soit p un entier. On veut tester s'il est premier. On lui applique l'algorithme suivant :
On choisit un nombre aléatoire a < p.
p−1
On calcule b = a 2 mod p.
C. Picaronny
20
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Si b ∈
/ {1, −1}, alors p n'est pas premier.
Si b ∈ {1, −1}, alors la probabilité pour que p soit premier est 12 .
Justier cette probabilité et expliquer comment obtenir la primalité de p avec une probabilité supérieure à un
nombre xé dans ]0, 1[.
Les tests de primalité utilisés par Maple sont probabilistes.
C. Picaronny
21
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
C. Picaronny
Exercices du cours d'algèbre
22
E.N.S. de Cachan
Chapitre 5
Théorie des anneaux
Exercice 64
Décrire les idéaux et les quotients d'un produit cartésien de deux anneaux A × B . Un produit A × B peut-il
être principal ?
Exercice 65
Soit π la surjection canonique d'un anneau A sur un quotient A × I . Etablir à l'aide de π une bijection entre
l'ensemble des idéaux de A contenant I et l'ensemble des idéaux de A/I .
Exercice 66
1. Soit A un anneau factoriel. Soit p ∈ A \ {0}. Montrer que p est irréductible si et seulement si l'idéal (p)
est maximal dans l'ensemble des idéaux principaux de A.
2. En déduire, lorsque A est principal, que p est irréductible si et seulement si A/(p) est un corps.
Exercice 67
On considère le sous-anneau de C : Z[i] = {a + ib ; a, b ∈ Z}.
On utilisera la norme sur Z[i], c'est à dire l'application N : Z[i] → N dénie par N (z) = z z̄ = a2 + b2 ,
∀z = a + ib ∈ Z[i]. On montrera qu'elle est multiplicative.
1. Déterminer le groupe Z[i]? formé par les éléments inversibles de Z[i].
2. Montrer que l'anneau Z[i] est Euclidien.
3. Soit a + bi dans Z[i] tel que a2 + b2 est un nombre premier. Montrer que a + bi est un élément irréductible
de Z[i].
4. soit p un nombre premier. Montrer que les deux anneaux Z[i]/pZ[i] et Fp [X]/(X 2 + 1) sont isomorphes
(indication : Etablir précisement un isomorphisme entre Z[i]/pZ[i] et Z[X]/(p, X 2 +1) et un isomorphisme
entre Z[X]/(p, X 2 + 1) et Fp [X]/(X 2 + 1)).
5. soit p un nombre premier. Déduire de ce qui précède que p est un élément irréductible de Z[i] si et
seulement si X 2 +1 est un polynôme irréductible de Fp [X]. Justier alors que p est un élément irréductible
de Z[i] si et seulement si p ≡ 3, [4].
6. Le théorème des deux carrés. Soit n un entier naturel.
(a) On suppose qu'il existe deux entiers a, b tels que n = a2 + b2 . Soit p un diviseur premier de n dont
la multiplicité dans n est impaire. Montrer que −1 est un carré modulo p et en déduire que p = 2
ou p ≡ 1, [4].
(b) Réciproquement, on suppose que tous les diviseurs premiers de n congrus à 3 modulo 4 ont une
multiplicité paire dans n. Montrer alors qu'il existe deux entiers a, b tels que n = a2 + b2 .
(c) Lorsque n est somme de deux carrés, étudier selon la décomposition de n en nombres premiers le
nombre d'entiers a, b tels que n = a2 + b2 .
23
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 68
Un exemple d'anneau non factoriel
√
√
On considère le sous-anneau de C suivant : Z[i 5] = {a + ib 5 ; a, b ∈ Z}
√
√
1. Déterminer le groupe Z[i 5]? formé par les éléments inversibles de Z[i 5].
√
√
2. Montrer que 3 et 2 + i 5 sont des éléments irréductibles de Z[i 5]. Sont-ils associés ?
√
√
√
3. Que peut-on déduire de l'égalité 32 = (2 + i 5)(2 − i 5) pour l'anneau Z[i 5] ?
√
√
4. Montrer que 3 et 2 + i 5 ont un p.g.c.d. mais pas de p.p.c.m. dans Z[i 5].
Exercice 69
Le théorème de Ramanujan-Ragel
La preuve de ce théorème provient du livre Algebraic Number Theory de Stewart and Tall.
On note α le nombre complexe
√
1+i 7
2
et on considère le sous-anneau de C :
Z[α] = {P (α) ; P ∈ Z[X]}.
Pour z ∈ Z[α], on pose N (z) = z z̄ où z̄ désigne, comme à l'accoutumée, le conjugué de z .
Montrer que α est racine d'un polynôme unitaire du second degré à coecients dans Z qu'on déterminera.
En déduire que Z[α] = {a + bα ; a, b ∈ Z}.
A (i).
Montrer que z̄ ∈ Z[α] lorsque z ∈ Z[α]. Expliciter N (a + bα) en fonction des entiers a, b. En déduire
que N (Z[α]) ⊂ N.
A (ii).
A (iii).
Déterminer le groupe des inversibles Z[α]? .
Montrer : ∀z ∈ Z[α], ∀y ∈ Z[α] non nul, il existe q, r dans Z[α] tels que z = qy + r avec N (r) < N (y).
Qu'en déduit-on pour l'anneau Z[α] ?
√
A (vi). Montrer que α , ᾱ, i 7 sont des éléments irréductibles non associés dans Z[α].
A (iv).
B.
On se propose de déterminer toutes les solutions entières de l'équation x2 + 7 = 2n , (x, n) ∈ Z × N.
On suppose n pair et x positif ; soit m dans N tel que n = 2m. Montrer que x = 2m − 1 = 7 − 2m ; en
déduire les solutions dans ce cas.
B (i).
B (ii).
On suppose n = 3 ; déterminer les éventuelles solutions.
On suppose
n impair et > 3 ; Soit m l'entier > 1 tel que n = m + 2. On remarque que m est impair.
√
On pose γ = x+i2 7 dans Z[α].
√
B (iii) a. Montrer que le p.g.c.d. de γ et γ̄ est 1 ou i 7. En déduire l'existence de µ et ν dans {−1, 1} tels
√
7 n−2
que γ = µ( 1+νi
)
.
2
√
m−1 ∼
B (iii) b. En écrivant i 7 = γ − γ̄ , montrer que µν = −1. En déduire que −2
= m modulo 7 (on utilisera
la formule du binôme).
B (iii).
B (iii) c.
En constatant que 23 ≡ 1 modulo 7, montrer que m est congru à 3, 5, 13 modulo 42.
On se propose de montrer que m = 3, 5, 13. On raisonne par l'absurde : soient m1 et m2 distincts
et congrus modulo 42 tels qu'il existe x1 , x2 deux entiers tels que (x1 , m1 + 2) et (x2 , m2 + 1) soient solutions
de l'équation ci-dessus. Soit l le
grand entier tel que 7l divise m1 − m2 .
√ plus
m1
m2
m1 −m2
Montrer que α ≡ α (1 + i 7)
, [7l+1 ].
√
√ k
√
Montrer par√récurrence sur k que (1 + i 7)7 ≡ 1 + i7k 7, [7k+1 ]. En déduire que (1 + i 7)m1 −m2 ≡ 1 +
i(m1 − m2 ) 7, [7l+1 ].
√
Montrer alors que αm1 ≡ αm2 + i 7(m1 − m2 )/2m2 , [7l+1 ].
√
Déduire de l'égalité αm1 − ᾱm1 = αm2 − ᾱm2 qu'on justiera (cf. B (iii) b.), i(m1 − m2 ) 7 ≡ 0[7l+1 ]. Montrer
qu'on obtient ainsi une contradiction.
B (iii) d.
B (iv).
Donner toutes les solutions.
C. Picaronny
24
E.N.S. de Cachan
Chapitre 6
Corps nis
Exercice 70
Détermine un générateur du groupe multiplicatif de F11 .
Exercice 71 (Critéres d'irréductibilité.)
1. Ecrire tous les polynômes irréductibles (resp. irréductibles unitaires, resp. irréductibles unitaires) de
degré ≤ 5 (resp ≤ 3, , resp. ≤ 2) de F2 [X] (resp.F3 [X], resp. F5 [X]). Combien y-a t'il de polynômes
irréductibles unitaires de degré 4 dans F3 [X] ? de degré 3 dans F5 [X] ?
2. En déduire la décomposition en irréductibles des polynômes X 5 + X 2 + 1, X 5 + X 2 + X + 1 et X 4 +
X 3 + X 2 + X + 1 dans F2 [X] (resp. F3 [X] , resp.F5 [X]).
3. Décomposer en irréductibles les polynômes X 4 + X , X 8 + X , X 16 + X , X 32 + X dans F2 [X], X 9 − X ,
X 27 −X dans F3 [X]. Pour chaque irréductible apparaissant ainsi, donner l'ordre de ses racines (lorsqu'elles
sont non nulles).
4. Soit p un nombre premier. Montrer que le polynôme X p − X − 1 est irréductible modulo p (Si x est une
i
racine de ce polynôme dans une extension, montrer que xp = x + i.)
Exercice 72
2
Calcul des symboles de Legendre ( −1
p ) et ( p ).
Soit q une puissance d'un nombre premier p.
1. Dénombrer le nombre de carrés d'éléments de Fq .
2. Soit x ∈ F?q . Montrer que x est un carré si et seulement si x
q−1
2
= 1. En déduire la valeur de ( −1
p ).
2
3. Montrer que le polynôme X 4 + 1 n'est pas irréductible modulo p (montrer que X 4 + 1 divise X p − X)
et en déduire qu'il a une racine dans Fp2 .
Si y est une racine de X 4 + 1 dans Fp2 , montrer que (y + y −1 )2 = 2. En étudiant la valeur de (y + y −1 )p
selon le reste de p modulo 8, en déduire la valeur de ( p2 ).
4. A propos de formes quadratiques. Montrer que toute forme quadratique de rang 2 sur un Fq -espace
vectoriel représente tout élément de Fq ? (i.e. avec des notations évidentes, ∀c ∈ F?q , ∃v tel que Q(v) = c ;
on mettra Q sous forme de carrés et on montrera que si a et b sont non nuls, l'équation ax2 + by 2 = c
admet une solution en comptant les éléments des ensembles {ax2 ; x ∈ Fq} et {c − by 2 ; y ∈ Fq }). En
déduire que toute forme quadratique de rang ≥ 3 sur un Fq -espace vectoriel admet un vecteur isotrope
(on peut aussi déduire ce résultat du théorème de Chevalley cf. Cours d'arithmétique de J.-P. Serre).
Exercice 73
Soit k un corps. On considère l'application de k[X1 , . . . , Xn ] dans l'algèbre des applications de k n dans k , notée
F(k n , k), qui envoie un polynôme sur sa fonction polynomiale.
5a.
Montrer que cette application est un morphisme d'algèbres.
5b.
Montrer que cette application est injective lorsque k est un corps inni.
25
Préparation à l'agrégation 2009/2010
5c.
Exercices du cours d'algèbre
Montrer que le noyau de cette application est l'idéal (X1q − X1 , . . . , Xnq − Xn ) lorsque k = Fq .
5d. Montrer que cette application est surjective lorsque le corps k est ni (si k = Fq , on considerera les
fonctions des polynômes du type 1 − (X − a)q−1 pour construire les fonctions indicatrices des points de Fnq ).
Exercice 74
Soit k un corps de caractéristique nulle. Montrer qu'une matrice M à coecients dans k telle que Tr(M i ) =
0, pour tout entier i > 0, est nilpotente (utiliser les sommes de Newton pour démontrer que le polynôme
caractéristique de M est X n où n est la taille de la matrice).
Soit p un nombre premier. Exhiber une matrice non nilpotente M à coecients dans Fp telle que Tr(M i ) = 0
pour tout entier i > 0.
Exercice 75
Déterminer les ordres de GLn (Fq ), SLn (Fq ), P GLn (Fq ), P SLn (Fq ).
En faisant opérer GLn (k) sur P n (k), l'espace projectif (l'ensemble des droites de k n ), montrer qu'il existe un
plongement de P GL2 (Fq ) dans le groupe symétrique Sq+1 . Déterminer les classes d'isomorphisme des groupes
GL2 (Fq ), SL2 (Fq ), P GL2 (Fq ) et P SL2 n(Fq ) lorsque q = 2 ou 3.
Exercice 76
L'algorithme de Berlekamp.
Soit P dans Fp [X] de degré d. On pose V = Fp [X]/(P ) et W = {f ∈ V |f p = f }.
Montrer que h 7→ hp − h est un endomorphisme de V et en déduire que W est un sous-espace vectoriel de
V . Expliquer comment on peut calculer la matrice de h 7→ hp − h sur la base {1, X, ..., X d−1 } et en déduire
W.
8a.
Supposons que P soit non divisible par le carré d'un irréductible. Soit P = P1 ...Pk la décomposition
Q
en irréductibles de P dans Fp [X]. En utilisant le lemme chinois, montrer que W est isomorphe à i {f ∈
Fp [X]/(Pi )|f q = f }. En remarquant que Fp [X]/(Pi ) est un corps, et que {f ∈ Fp [X]/(Pi )|f p = f } en est un
sous-corps de cardinal p, montrer que dimW = k . En déduire un critère d'irréductibilité.
8b.
On remarque que les polynômes constants sont dans W . On suppose k > 1. Montrer qu'il existe h non nul
dans V et H relevant h dans Fp [X] tel que : deg H < deg P et H non constant. On calcule Hi =p.g.c.d.(H−i,
Q P ),
∀i ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Montrer que les polynômes Hi sont premiers entre eux deux à deux et que P = i Hi .
Que peut-on en déduire ?
8c.
8d.
Ecrire un algorithme qui permet la factorisation de P .
Dans le cas général, on pose P == P1α1 ...Pkαk la décomposition en irréductibles de P dans Fp [X]. Quitte
à renuméroter ces polynômes, on peut supposer qu'il existe l ≥ k tel que, pour tout i ≤ l, αi n'est pas un
multiple de p et pour i > l, αi est un multiple de p. On pose Q = P/p.g.c.d ;(P, P 0 ) ; Montrer que Q = P1 ...Pl .
On applique l'algorithme précédent à Q. Expliquer comment on peut calculer α1 , ..., αl . En déduire qu'on peut
αl+1
calculer le polynôme R déni par R = Pl+1
...Pkαk . Justier qu'il existe S un polynôme tel que R = S p et
p
expliquer comment calculer S (si a = b , comment exprimer b en fonction de a ?). Ecrire un algorithme qui
permet la factorisation de P .
8e.
Fq ⊂ Fqn .)
On note G le groupe de Galois de cette extension, c'est à dire l'ensemble des automorphismes de corps de Fqn
dont la restriction à Fq est égale à l'identité.
Exercice 77 ( Groupe de Galois de l'extension
1. Soit P un polynôme à coecients dans Fq et soit α dans Fqn . Montrer que P (α)q = P (αq ). En déduire
que si α est une racine de P , αq est aussi une racine de P .
2. Soit P un polynôme irréductible dans Fq [X] de degré n. Soit α une racine de P dans Fqn . Montrer que
n−1
l'ensemble des racines de P dans Fqn est exactement {α, αq , ..., αq } (on montrera que n est le plus
n
petit entier tel que αq = α).
3. Soit σ l'application dénie de Fqn dans Fqn par σ(ξ) = ξ q , ∀ξ ∈ Fqn . Montrer que σ ∈ G ( σ est appelé
un automorphisme de Frobénius) et déterminer son ordre.
4. Soit τ un élément de G. Montrer que τ est une puissance de σ (si α ∈ Fqn vérie Fq [α] = Fqn , montrer
que τ (α) est de la forme σ i (α)).
C. Picaronny
26
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
5. Montrer que le groupe G est le groupe cyclique d'ordre n engendré par σ .
6. Ecrire précisément la correspondance de Galois.
Exercice 78
Soit d un entier premier avec p.
1. Démontrer que le polynôme X d − 1 est scindé sur le corps ni Fp si et seulement si p ≡ 1[d].
2. Plus généralement, si φd est le d-ième polynôme cyclotomique, on note ϕ̄d sa réduction modulo p. Justier
qu'une racine de ϕ̄d dans une extension susamment grande de Fp est est une racine primitive d'ordre
d. En déduire le degréd'un corps de décomposition de ϕ̄d sur Fp .
C. Picaronny
27
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
C. Picaronny
Exercices du cours d'algèbre
28
E.N.S. de Cachan
Chapitre 7
Algèbre linéaire et groupes classiques
Soit k un corps commutatif. On désigne par Mm,n (k) l'algèbre des matrices à m lignes et n colonnes à
coecients dans k .
7.1 Dimension d'un espace vectoriel, bases
Exercice 79
Soit n un entier naturel. On se propose de décrire les sous-espaces vectoriels de l'algèbre de matrices Mn (k)
ne contenant que des matrices de rang ≤ 1.
Soit E un sous-espace vectoriel de Mn (k) ne contenant que des matrices de rang ≤ 1.
1. Montrer que toute matrice M de rang 1 peut se décomposer sous la forme CL où C ∈ Mn,1 \ {0} et
LC ∈ M1,n \ {0}. Décrire le noyau et l'image de M en fonction des vecteurs C et L. Discuter l'unicité
d'une telle décomposition.
2. Soient C, C 0 (respectivement L, L0 ) dans Mn,1 (respectivement M1,n ). Montrer que la matrice CL + C 0 L0
est de rang au plus égal à 1 si et seulement si les vecteurs C, C 0 ou les vecteurs L, L0 sont liés.
3. Montrer qu'il existe C0 dans Mn,1 tel que E ⊂ C0 M1,n ou L0 dans M1,n tel que E ⊂ Mn,1 L0 . En déduire
que la dimension de E est inférieure ou égale à n.
4. Montrer qu'il existe une droite D de k n tel que E ⊂ {M | Im(M ) ⊂ D} ou un hyperplan H de k n tel
que E ⊂ {M | H ⊂ Ker(M )}.
Exercice 80
On suppose le corps k inni. Soient p ≤ n deux entiers naturels. On se propose de montrer que les sous-espaces
vectoriels de l'algèbre de matrices Mn (k) ne contenant que des matrices de rang ≤ p sont de dimension au
plus égale à np.
Soit E un sous-espace vectoriel de Mn (k) ne contenant que des matrices de rang ≤ p et contenant une
matrice de rang p.
Ip 0
(i). On suppose que E contient la matrice
.
0 0
A B
a. Soit M =
dans E (A est une matrice (p, p)). Montrer que D = O puis que CB = 0 (on écrit que
C D
les bordants dela matrice
p sont nuls,
A + λI
pour tout λ.
0
0
A B
A
B
b. Soient M =
et M 0 =
(A, A0 étant des matrices (p, p)) dans E . Montrer que C 0 B+CB 0 =
C 0
C0 0
0.
29
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
A B
c. Soit M =
dans E (A est une matrice (p, p)). On considère la forme linéaire αM : Mp,n −→ k dénie
C D
0
0
par : soit (A , B ) ∈ Mp,n avec A0 matrice (p, p), αM (A0 , B 0 ) = Tr(CB 0 ). Déterminer le noyau de l'application
?
α : E −→ Mp,n
dénie par α(M ) = αM .
A B
d. Soit φ l'application qui envoie la matrice M =
dans E sur (A, B) (A matrice (p, p)). Déterminer
C D
le noyau de φ. Montrer que α(Ker(φ)) est orthogonal à Im(φ). En déduire que dim(E) ≤ np.
(ii).
Traiter le cas général.
remarque : Il existe une preuve relativement plus facile de ce résultat lorsque k = R. On utilise dans ce cas le
fait que la forme bilinéaire (X, Y ) → T r(XY ) est dénie positive. On peut trouver cette preuve par exemple
dans le livre de problèmes de concours de Francinou-Gianella-Taieb-Tosel (Scopos).
Exercice 81
Montrer que le sous-espace de Mn (k) engendré par les matrices nilpotentes est l'hyperplan formé par les
matrices de trace nulle. Quel est le sous-espace engendré par les matrices inversibles ?
Exercice 82
On se propose de montrer que tout automorphisme de l'algèbre Mn (k) est un automorphisme intérieur. On
note {Ei,j }(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,n} la base canonique de Mn (k). Soit φ un automorphisme de l'algèbre Mn (k). On
note Fi,j = φ(Ei,j ), ∀(i, j) ∈ {1, ..., n} × {1, ..., n}.
1. Déterminer Fi,j Fk,l , ∀(i, j), (k, l) ∈ {1, ..., n} × {1, ..., n}.
Pn
2. Montrer que id = i=1 Fi,i . Montrer que les Fi,i sont des projecteurs de rang égal à 1.
3. Soit b1 un vecteur directeur de l'image de F1,1 , et bi = Fi,1 (b1 ), pour tout i dans {2, ..., n}. Montrer que
b1 , ..., bn est une base de k n . Calculer Fi,j (bk ), ∀i, j, k ∈ {1, ..., n}.
4. Soit e1 , ..., en la base canonique de k n . Soit P la matrice inversible dénie par bi = P ei , ∀i ∈ {1, ..., n}.
Montrer que Fi,j = P Ei,j P −1 , ∀i, j ∈ {1, ..., n}.
5. Conclure.
7.2 Polynôme minimal et polynôme caractéristique
Exercice 83
Soient (P, Q) ∈ k[X]2 . Donner une condition nécessaire et susante sur (P, Q) pour qu'il existe une matrice
à coecients dans k ayant P comme polynôme minimal et Q comme polynôme caractéristique.
Exercice 84
Soit k ⊂ K une extension de corps. Soit M ∈ Mn (k) . Montrer que les polynômes minimal et caractéristique
de M sont les mêmes dans Mn (k) et dans Mn (K) (en ce qui concerne le polynôme minimal, deux méthodes :
Soit on utilise une base de K sur k et on décompose les coecients du polynôme minimal de M dans Mn (K),
soit on exprime le degré du polynôme minimal de M en fonction des coecients de M ).
C. Picaronny
30
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 85
Soit (M, N ) ∈ M2 (k)2 (respectivement M3 (k)2 ). Montrer directement (sans utiliser les invariants de similitude) que M et N sont semblables si et seulement si elles ont mêmes polynômes minimal et caractéristique.
Déterminer les classes de similitude. Donner un exemple de deux matrices dans M4 (k)2 non semblables mais
ayant mêmes polynômes minimal et caractéristique.
Exercice 86
Soit E un k -espace vectoriel de dimension nie. Soit u un endomorphisme de E . On suppose qu'il existe
deux sous-espaces u-stables F et G tels que E = F ⊕ G. Déterminer le polynôme minimal (respectivement,
caractéristique) de u en fonctions des polynômes minimaux (respectivement, caractéristiques) des restrictions
de u à F et à G.
Exercice 87
Soit E un k -espace vectoriel de dimension nie. Soit u un endomorphisme de E de polynôme minimal πu et
de polynôme caractéristique χu .
a. Soit P un polynôme dans k[X]. Montrer que le polynôme minimal de la restriction de u à kerP (u) est le
p.g.c.d. de P et de πu .
b. Lorsque P , dans k[X], est un diviseur non constant de πu , montrer que kerP (u) 6= {0}.
c. Montrer l'équivalence : kerP (u) 6= {0} si et seulement si P et πu ne sont pas premiers entre eux.
d. Retrouver ainsi le fait que πu et χu ont les mêmes diviseurs irréductibles.
Exercice 88
Soient E un k -espace vectoriel de dimension nie et u un endomorphisme de E .
a. Soit P un diviseur du polynôme minimal de u. Montrer qu'il existe un sous-espace stable F sur lequel la
restriction de u admet P comme polynôme minimal.
b. Soit P un diviseur du polynôme caractéristique de u . Montrer qu'il existe un sous-espace stable F sur
lequel la restriction de u admet P comme polynôme caractéristique.
Exercice 89
On suppose ici que k est le corps R ou C. Montrer que l'ensemble des matrices dont le polynôme minimal est
égal au polynôme caractéristique est un ouvert de l'algèbre de matrices Mn (k). Est-il dense ? Est-il connexe ?
Exercice 90
Soient A, B dans Mn (k). Montrer que χAB = χBA . A-t'on πAB = πBA ? Que dire lorsque les matrices ne sont
pas carrées ?
7.3 Endomorphismes diagonalisables
Exercice 91
On suppose k = C. Montrer que la matrice (n, n) ci-dessous est diagonalisable :
C. Picaronny
31
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre













0
0
0
···
···
···
0
0
···
0
0
0
0 0 1
..
. 0 0
.. .. ..
. . .
0 0 0
0
···
···
1
..
.
···
0
..
.
0
···
..
.
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
..
.
..
.
..
.







.





0
Etendre ce résultat à toute matrice de permutation.
Exercice 92
Soient E un k -espace vectoriel de dimension nie et u un endomorphisme diagonalisable de E . Calculer les
dimensions de k[u] et de C(u) = {v ∈ L(E) / uv = vu} en fonction du nombre de valeurs propres de u et de
leurs multiplicités. Etudier le cas d'égalité.
Exercice 93
Soient E un k -espace vectoriel de dimension nie et u un endomorphisme diagonalisable de E . Si F est un
sous-espace stable, montrer que la restriction de u à F diagonalisable.
Montrer que des endomorphismes diagonalisables de E commutant deux à deux sont simultanément diagonalisables (commencer par un nombre ni).
Exercice 94
Soit G un sous-groupe abélien ni de GLn (C) . Montrer que les éléments de G sont simultanément diagonalisables ; en déduire une majoration de l'ordre de G en fonction de son exposant (le p.p.c.m. des ordres de ses
éléments). Est-ce encore vrai si G est un sous-groupe abélien ni de GLn (R) ? si G est un sous-groupe abélien
ni de GLn (k) où k est un corps algébriquement clos de caractéristique non nulle ?
Exercice 95
En étudiant les sous-groupes d'exposant 2 des groupes linéaires, montrer que les groupes GLn (k) et GLm (k)
ne sont pas isomorphes lorsque n 6= m (k désigne ici un corps de caractéristique diérente de 2).
Exercice 96 (Un théorème de Burnside :)
Soit G un sous-groupe d'exposant ni de GLn (C). Alors G est un groupe ni. La preuve suit celle de la RMS
[89-90, vol 5].
Montrer que l'ensemble Tr(G), ensemble des traces des éléments de G est un ensemble ni. Montrer que le
seul élément de G de trace égale à n est Id (on remarquera que les éléments de G sont diagonalisables).
a.
b. Soit {g1 , ..., gr } une base de V ect(G) contenue dans G (existence ?). On considère l'application qui envoie
un élément g de G sur le r-uplet (Tr(g −1 gi ))i∈{1...r} ). Soient g et h deux elèments de G qui ont la même image.
Montrer que pour tout k dans G, on Tr(g −1 k) =Tr(h−1 k) et en déduire que g = h, en considérant le cas k = g .
c.
Conclure.
Exercice 97
Montrer que l'adhérence des matrices diagonalisables dans Mn (R) est l'ensemble des matrices trigonalisables :
commencer par borner les racines d'un polynôme en fonction des coecients de ce polynôme.
Exercice 98
Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dont les valeurs propres sont toutes de multiplicité 1
est dense dans Mn (C) ; en déduire le théorème de Hamilton-Cayley dans Mn (C) (toute matrice annule son
polynôme caractéristique).
On considère la matrice (n, n) générique M = (Xi,j ) à coecients dans Z[Xi,j (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 ] (algèbre
de polynômes à n2 variables). Démontrer avec ce qui précède qu'elle vérie le théorème de Hamilton-Cayley
C. Picaronny
32
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
2
(un certain polynôme de Z[Xi,j (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 ] dénit une fonction polynômiale nulle sur Zn , il faut en
déduire qu'il est nul).
En déduire le théorème d'Hamilton-Cayley pour toute matrice à coecients dans un anneau commutatif
quelconque.
Exercice 99
On considère une matrice stochastique M dont
Pn tous les coecients sont strictement positifs, c'est à dire
M = (mi,j ) dans Mn (R) telle 0 < mi,j < 1 et l=1 mi,l = 1, ∀i, j ∈ {1, ..., n}.
Montrer que M admet la valeur propre 1 et déterminer le sous-espace propre correspondant.
Soit λ une autre valeur propre, éventuellement complexe, de M . Montrer que |λ| < 1. Montrer alors que la
suite {M p }p∈N converge vers une matrice de projecteur de rang 1.
Soit L cette limite. Montrer que L est stochastique. Calculer l'image de L.
Calculer cette limite lorsque M est supposée bi-stochastique, c'est à dire qu'on a, de plus,
∀j ∈ {1, ..., n}.
Pn
l=1
ml,j = 1,
: Les matrices réelles à coecients positifs ont des propriétés de réduction particulières : Théorème
de Perron-Frobenius (cf. par exemple, les livres de H. Minc). Cet exercice est un cas particulier, on n'utilise
pas le théorème.
Remarque
7.4 Sous-espaces stables.
Exercice 100
Soit u un endomorphisme cyclique sur un espace vectoriel E de dimension nie. Soit F un sous-espace u-stable.
Montrer que uF (endomorphisme induit par U sur F ) est un endomorphisme cyclique.
Exercice 101
Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension nie. Montrer qu'un sous-espace vectoriel F
de E est u-stable si et seulement si F ⊥ est tu-stable.
En déduire que lorsque k = C, u admet des sous-espaces stables de toutes les dimensions possibles (on peut
aussi déduire cela de la trigonalisation). Que devient ce résultat lorsque k = R ? Que devient ce résultat lorsque
k = R et la dimension de E est impaire ?
Exercice 102
Montrer que lorsque k = Q, on peut trouver des endomorphismes simples dans toutes les dimensions.
7.5 Réduction de Jordan
Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension nie. On note πu son polynôme minimal.
Exercice 103
Les sous-espaces caractéristiques de u. Soit P un diviseur irréductible de µu .
a.
Montrer que pour tout entier i, si kerP i (u) = kerP i+1 (u), alors kerP i+1 (u) = kerP i+2 (u).
En déduire l'existence d'un plus grand entier m tel que la suite {0} ⊂ kerP (u) ⊂ kerP 2 (u) ⊂ ... kerP m−1 (u) ⊂
kerP m (u) soit strictement croissante.
b.
c.
Montrer que m est la multiplicité de P dans πu .
C. Picaronny
33
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 104 (Décomposition de Dunford.)
Soit u un endomorphisme dont le polynôme minimal est scindé.
Montrer que E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Montrer que sur le sous-espace
caractéristique Eλ relatif à la valeur propre λ, on a uEλ = λId + nλ où nλ est un endomorphisme nilpotent
de Eλ . En déduire que l'on peut décomposer u = d + n où d est un endomorphisme diagonalisable et n un
endomorphisme nilpotent tels que dn = nd.
(i).
(ii). Supposons que u = d + n où d est un endomorphisme diagonalisable et n un endomorphisme nilpotent
tels que dn = nd. Montrer que les sous-espaces propres de d sont stables par n. En déduire qu'un sous-espace
propre de d est contenu dans un sous-espace caractéristique de u, puis qu'il y a égalité. Montrer ainsi que le
couple (d, n) est unique.
On suppose que k est un corps parfait. Soit M ∈ Mn (k). Soit K une extension de k dans laquelle le polynôme
minimal de M est scindé. Soient D, N dans Mn (K) tels que D est une matrice diagonalisable, N une matrice
nilpotente et DN = N D. Montrer que D, N ∈ Mn (k). Comment énoncer la décomposition de Dunford dans
ce cas ?
Remarque : Cette dernière question sort du programme dans la mesure où elle exige d'utiliser le groupe de
Galois de l'extension k ⊂ K . Néanmoins, il est facile de vous la poser en prenant k = R et K = C. Essayez
donc d'y rééchir au moins dans ce cas là !
Montrer que la solution (d, n) construite en (i). a la propriété
supplémentaire quw d et n sont des polynômes en u. Soit alors (d0 , n0 ) une éventuelle autre solution. Montrer
que d et d0 commutent et en déduire que d−d0 est diagonalisable. Montrer que n et n0 commutent et en déduire
que n0 − n est nilpotent. Conclure.
(iii). Une autre preuve de l'unicité :
Exercice 105 (Réduction d'un endomorphisme nilpotent.)
On suppose u nilpotent et on applique ce qui précède au polynôme P = X . On suppose m ≥ 2 (i.e. u 6= 0).
a.
Montrer la suite d'inclusions strictes : {0} = um (E) ⊂ um−1 (E) ⊂ . . . ⊂ u(E) ⊂ E
On choisit une base de keru adaptée à la ltration um−1 (E)∩keru ⊂ . . . ⊂ u(E)∩keru ⊂ keru. On note B
cette base. Soit b dans B . On note ib L
l'entier tel que b ∈ uib (E) et b ∈
/ uib +1 (E). Soit alors yb tel que b = uib (yb ).
On se propose de montrer que E = b∈B < yb >u , où < yb >u désigne le sous-espace cyclique engendré par
yb .
b.
(i).
Soit b dans B . Montrer que la dimension de < yb >u est égale à ib .
En déduire que
Pm−1
Pm−1
i
− dim(keru ∩ ui+1 (E) = i=0 dim(keru ∩ ui (E)).
b∈B dim < yb >u =
i=0 i(dim(keru ∩ u (E))P
En déduire (à l'aide du théorème du rang) que b∈B dim< yb >u = dim(E).
(ii).
P
(iii).
Montrer que les sous-espaces cycliques engendrés par les yb , lorsque b parcourt B , sont en somme directe.
(iv).
Conclure.
c. En déduire l'existence de la réduite de Jordan de u. Montrer l'unicité (à l'ordre des blocs diagonaux près).
Déduire le même résultat de l'existence des invariants de similitude.
d. Montrer l'existence et l'unicité de la réduite de Jordan d'un endomorphisme dont le polynôme minimal est
scindé.
Exercice 106 (Classes de similitude des endomorphismes nilpotents.)
a. Démontrer que l'ensemble des classes de similitudes des endomorphismes nilpotents d'un espace vectoriel
Pn
de dimension n est en bijection avec l'ensemble des n-uplets d'entiers naturels (l1 , ..., ln ) tels que i=1 ili = n.
b.
5?
Combien y a-t'il de classes de similitude d'endomorphismes nilpotents d'un espace vectoriel de dimension
Combien y a-t'il de classes de similitude de carrés d'endomorphismes nilpotents d'un espace vectoriel de
dimension 5 ?
c.
C. Picaronny
34
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 107
Démontrer que l'ensemble des endomorphismes nilpotents est connexe.
7.6 Invariants de similitude
Exercice 108
Quels sont les invariants de similitude
d'une homothétie ?
d'un endomorphisme diagonalisable ayant toutes ses valeurs propres de multiplicité 1 ?
d'un projecteur ?
d'un bloc de Jordan ?
Exercice 109
Soit Q ∈ k[X] non nul et soit q son degré. Montrer que {1 + (Q), X + (Q), . . . , X q−1 + (Q)} est une base de
k[X]/(Q). Quels sont les invariants de similitude de l'endomorphisme de k[X]/(Q) qui envoie la classe d'un
polynôme P modulo (Q) sur la classe de XP modulo (Q) ?
Exercice 110
(adapté d'un problème du concours d'entrée à l'E.N.S. de Cachan)
n
(i). Soit (a1 , · · · , an ) dans k et soit


0
0
··· 0
a1
1
0
··· 0
a2 



.. 
.
.
..
.. 0
C = 0
. 


0 · · ·
1 0 an−1 
0 ···
0 1
an
Soit σ = (s1 , · · · , sn ) dans k n ; on considère la matrice

0
0


Sσ =  0

0
s1
0
0
···
···
0
s1
0
s1
s2
···
sn−2
sn−1
s1
s2
..
.






sn−1 
sn
Montrer qu'il existe un unique σ = (s1 , s2 , · · · , sn ) dans k n tel que s1 = 1 et tel que la matrice Sσ C est
symétrique.
En déduire qu'il existe une matrice symétrique inversible T et une matrice symétrique R telles que C = T R.
(ii).Soit M ∈ Mn (k) . Montrer qu'il existe une matrice symétrique inversible T et une matrice symétrique R
telles que M = T R.
En déduire qu'il existe une matrice symétrique inversible T telle que M = T tM T −1 .
(iii).Retrouver
(iv).
le fait qu'une matrice M est semblable à sa transposée en utilisant ses invariants de similitude.
Dans cette partie, on suppose que k est un corps de caractéristique diérente de 2 et tel que :
∀a ∈ k , ∃b ∈ k / a = b2 .
a.
Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de k n .Montrer qu'il existe x dans k n tel que B(x, x) =
1. En déduire qu'il existe une base (x1 , · · · , xn ) de k n dans laquelle la matrice de B est la matrice In .
b. Montrer que dans Mn (k) , toute matrice est semblable à une matrice symétrique.
Donner un exemple de matrice symétrique non diagonalisable dans Mn (C) .
C. Picaronny
35
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 111
Quels sont les invariants de similitude

2
 0

 0

 0

 0

 0

 0

 0

 0

 0
0
de la matrice
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−2
−4
−1
2
0
1
2
1
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0









.








Exercice 112
Quels sont les invariants de similitude de la matrice






2
6
6
1
−2
−1
−4
−5
−1
2
0
3
6
2
−2


.


7.7 Endomorphismes normaux
Exercice 113
Montrer que deux endomorphismes normaux sont semblables si et seulement si ils ont le même polynôme
caractéristique.
Exercice 114
Dans Mn (R) :
Montrer que l'exponentielle dénit un homéomorphisme de l'ensemble des matrices symétriques sur l'ensemble
des matrices symétriques dénies positives.
Montrer que l'exponentielle d'une matrice antisymétrique est une matrice orthogonale de déterminant 1 .
Montrer qu'une matrice orthogonale de déterminant 1 est l'exponentielle d'une matrice antisymétrique. Estelle unique ?
Exercice 115
Adapter l'exercice précédent dans Mn (C) .
Exercice 116
Montrer que toute matrice complexe est unitairement trigonalisable.
Exercice 117
On note On (R) le groupe orthogonal euclidien, Sn (R)>0 l'ensemble des matrices symétriques dénies positives,
Tn (R)>0 le groupe des matrices triangulaires supérieures dont les coecients diagonaux sont tous strictement
positifs.
a.
Montrer que
On (R) × Sn (R)>0
(V, S)
→
7→
GLn (R)
VS
est un homéomorphisme.
C. Picaronny
36
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
b.
Montrer que
Exercices du cours d'algèbre
On (R) × Tn (R)>0
(V, T )
→ GLn (R)
7
→
VT
est un homéomorphisme.
On note Un (C) le groupe unitaire, Hn (C)>0 l'ensemble des matrices hermitiennnes dénies positives, Tn (C)>0
le groupe des matrices triangulaires supérieures dont les coecients diagonaux sont tous des réels strictement
positifs.
c.
Montrer que
Un (C) × Hn (C)>0
(U, H)
→ GLn (C)
7
→
UH
Un (C) × Tn (C)>0
(U, T )
→ GLn (C)
7
→
UT
est un homéomorphisme.
d.
Montrer que
est un homéomorphisme.
Exercice 118
Montrer que On (R) admet deux composantes connexes et les déterminer. En déduire les composantes connexes
de GLn (R).
Montrer que Un (C) est connexe. En déduire la connexité de GLn (C).
Exercice 119
On se propose de démontrer ici la simplicité du groupe SO3 (R). Tr désigne l'application trace sur l'algèbre
des matrices (3, 3) à coecients réels.
Soit N un sous-groupe distingué et connexe de SO3 (R). On suppose N 6= {id}. Soit I = Tr(N ).
Montrer que I est intervalle de R contenu dans [−1, 3].
(ii). Montrer que I est de la forme (a, 3] avec a < 3 (le symbole ( désigne un crochet ouvert ou fermé).
π
(iii). En déduire que N contient une rotation d'angle
n pour un entier n assez grand.
(iv). En déduire que N contient un renversement puis que N = SO3 (R).
a.
(i).
Soit N un sous-groupe distingué de SO3 (R). On suppose N 6= {id} mais on ne le suppose plus connexe.
Soit N0 la composante connexe de N qui contient id.
(i). Montrer que N0 est un sous-groupe de N distingué dans SO3 (R) (il s'agit d'utiliser la continuité des
applications produit, passage a l'inverse et des automorphismes intérieurs ).
(ii). Montrer que toutes les composantes connexes de N sont homéomorphes à N0 .
(iii). Montrer que N0 6= {id} (montrer que si N0 = {id}, toute composante connexe est réduite à un point ;
déduire alors de la connexité de SO3 (R), l'existence d'un élément central distinct de id ).
(iv). En déduire que N = N0 = SO3 (R).
b.
c.
Utiliser la même méthode pour démontrer la simplicité de P SU2 (C).
d. Question subsidiaire :
Calculer les ensembles Tr(SOn (R)) et Tr(On (R)) pour tout entier naturel n ≥ 1.
7.8 Le groupe linéaire et ses sous-groupes
Certains des exercices de cette section sont dans le chapitre sur la diagonalisation et d'autres dans le chapitre
sur les endomorphismes normaux.
Exercice 120
Montrer que l'application de SLn (Z) dans SLn (Z/pZ) qui envoie une matrice sur sa réduction modulo p
coecient par coecient est surjective (utiliser une partie génératrice judicieuse)
C. Picaronny
37
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 121
Montrer que SLn (R) est connexe (plusieurs méthodes sont possibles : étudier la décomposition polaire d'une
matrice de déterminant 1, le déduire du fait que GL+
n (R) est connexe, ou en exhibant un chemin continu
ramenant une transvection sur l'identité).
Exercice 122
Montrer que On (R) est un sous-groupe compact maximal de GLn (R) (En fait, tout sous-groupe compact
maximal de GLn (R) est conjugué au groupe orthogonal Euclidien ; ce résultat est plus dicile à obtenir, voir
Mneimé et Testard).
Exercice 123
Soit f une application continue de Mn (C) dans C telle que f (AB) = f (BA), ∀A, B ∈ Mn (C).
Montrer que deux matrices ayant même polynôme caractéristique ont même image par f (pour se donner une
idée, on peut commencer par montrer qu'une matrice nilpotente a la même image par f que la matrice nulle).
En déduire qu'il n'existe pas une norme sur Mn (C) xe sur chaque classe de similitude.
Exercice 124
Montrer que SL2 (F3 ) est un groupe d'ordre 24 non isomorphe au groupe symétrique S4 .
Exercice 125
Montrer que le groupe orthogonal Euclidien n'est pas contenu dans un hyperplan de Mn (R).
7.9 La continuité des racines des polynômes à coecients complexes
Exercice 126
Soient X et Y deux espaces localement compacts et soit f une bijection continue de X sur Y . On suppose
que f −1 envoie un compact de Y sur un compact de X . Soit y ∈ Y et soit V un voisinage compact de y ;
montrer que f −1 (V ) est un voisinage compact de f −1 (y) . En déduire que f est un homéomorphisme.
Exercice 127
Montrer que le groupe symétrique Sn opère sur Cn par
σ.(α1 , . . . , αn ) = (ασ−1 (1) , . . . , ασ−1 (n) )
∀σ ∈ Sn , ∀(α1 , . . . , αn ) ∈ Cn . On note Cn /Sn l'espace quotient, π la surjection canonique de Cn sur Cn /Sn
et on munit cet espace de la topologie quotient ( V est un ouvert de Cn /Sn si et seulement si π −1 (V ) est un
ouvert de Cn ). Montrer que Cn /Sn est un espace localement compact.
n
Remarque : On peut montrer que C /Sn est en fait un espace métrisable, car les classes d'équivalence sont
fermées (nies !) ; c'est néanmoins inutile pour ce qu'on veut démontrer.
On considère l'application :
φ
:
n
Cn
→ XQ
+ Cn−1 [X]
(α1 , . . . , αn ) 7→
(X − αi )
Montrer que l'application φ est une surjection continue telle que pour tout compact K de X n + Cn−1 [X] ,
φ−1 (K) est un compact de Cn (commencer par exhiber une majoration des racines d'un polynôme unitaire en
fonction de ses coecients).
Montrer que φ se factorise à travers Cn /Sn et que l'application ainsi obtenue de Cn /Sn dans X n + Cn−1 [X]
notée φ̄ est une bijection continue ; montrer que pour tout compact K de X n + Cn−1 [X] , φ̄−1 (K) est un
compact de Cn /Sn et conclure que φ̄ est un homéomorphisme.
Soit P un polynôme unitaire ayant toutes ses valeurs propres distinctes. Montrer que φ dénit un homéomorphisme d'un ouvert de Cn sur un voisinage ouvert de P dans X n + Cn−1 [X].
Le théorème de Gershgörin
C. Picaronny
38
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Exercices du cours d'algèbre
Exercice 128
Soit M = (mi,j ) ∈ Mn (C) . Pour t ∈ [0, 1] , on considère la matrice M (t) = (mi,j (t)) ∈ Mn (C) dénie par
mi,j (t) = tmi,j si i 6= j et mi,i (t) = mi,iP
. Montrer que toutes les valeurs propres des matrices M (t) sont
contenues dans F = ∪Bf (mi,i , ri ) où ri = j6=i |mi,j | .
On note Fi la composante connexe de F contenant mi,i ; montrer que (cf. notations de l'exercice ci-dessus)
φ̄−1 (det(XI − M (t))) est contenue dans π(F1 × . . . × Fn ) pour tout t ∈ [0, 1].
Montrer que chaque composante connexe de F contient exactement autant de valeurs propres de M comptées
avec leurs multiplicités que de mi,i comptés aussi avec leurs multiplicités.
C. Picaronny
39
E.N.S. de Cachan