Correction - Classe B/L

Khˆagne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Int´egrales impropres
10.1 D´eterminer si les int´egrales suivantes sont convergentes, et le cas ´ech´eant, calculer leur valeur :
1. Z+∞
0
e−tdt.
2. Z1
0
dt
√1−t
3. Z+∞
1
t
(1 + t2)2dt
4. Z0
−∞
te−t2dt
5. Z+∞
0
1dt
6. Z+∞
2
1
3tdt
7. Z+∞
0
te−tdt
8. Z+∞
0
dt
1 + t2
1. Convergence de Z+∞
0
e−tdt.
La fonction t7→ e−test continue sur [0,+∞[, on a donc a priori uniquement un probl`eme en +∞.
Soit x > 0. Alors Zx
0
e−tdt =−e−tx
0
=−e−x+e0= 1 −e−x−→
x→+∞1
L’int´egrale Z+∞
0
e−tdt est donc convergente et on a : Z+∞
0
e−tdt = 1.
2. Convergence de Z1
0
dt
√1−t
La fonction t7→ 1
√1−test continue sur [0,1[, on a donc a priori uniquement un probl`eme en 1.
Soit x∈[0,1[. Alors
Zx
0
dt
√1−t=−2Zx
0
−1
2√1−tdt =−2√1−tx
0
=−2√1−x−√1= 2 −√1−x−→
x→12
L’int´egrale Z1
0
dt
√1−test donc convergente et on a : Z1
0
dt
√1−t= 2.
3. Convergence de Z+∞
1
t
(1 + t2)2dt
La fonction t7→ t
(1 + t2)2est continue sur [1,+∞[, on a donc a priori uniquement un probl`eme en +∞.
Soit x>1. Alors
Zx
1
t
(1 + t2)2dt =1 2Zx
1
2t
(1 + t2)2dt =1 2−1 1 + t2x
1
=−1
2(1 + x2)+1 4−→
x→+∞
1
4
L’int´egrale Z+∞
1
t
(1 + t2)2dt est donc convergente et on a : Z+∞
1
t
(1 + t2)2dt =1 4.
2011-2012 Lyc´ee du Parc 1/16

Khˆagne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Int´egrales impropres
4. Convergence de Z0
−∞
te−t2dt
La fonction t7→ te−t2est continue sur ] − ∞,0], on a donc a priori uniquement un probl`eme en −∞.
Soit x∈]− ∞,0]. Alors
Z0
x
te−t2dt =−1
2Z0
x
(−2t)e−t2dt =−1
2e−t20
x
=−1
2+1 2e−x2−→
x→−∞ −1
2
L’int´egrale Z0
−∞
te−t2dt est donc convergente et on a : Z0
−∞
te−t2dt =−1
2.
5. Convergence de Z+∞
0
1dt
La fonction t7→ 1 est continue sur [0,+∞[, on a donc a priori uniquement un probl`eme en +∞.
Soit x>0. Alors
Zx
0
1dt =tx
0
=x−→
x→+∞+∞
L’int´egrale Z+∞
0
1dt est donc divergente.
6. Convergence de Z+∞
2
1
3tdt
La fonction t7→ 1
3t=1
etln(3) =e−tln(3) est continue sur [2,+∞[, on a donc a priori uniquement un
probl`eme en +∞.
Soit x>2. Alors
Zx
2
1
3tdt =−1 ln(3) Zx
2
(−ln(3))e−tln(3)dt =−1
ln(3)e−tln(3)x
2
=− e−xln(3) −e−2 ln(3)
ln(3) !−→
x→+∞
e−2 ln(3)
ln(3)
L’int´egrale Z+∞
2
1
3tdt est donc convergente et on a : Z+∞
2
1
3tdt =1 9 ln(3).
7. Convergence de Z+∞
0
te−tdt
La fonction t7→ te−test continue sur [0,+∞[, on a donc a priori uniquement un probl`eme en +∞.
Soit x > 0. Calculons Zx
0
te−tdt.
On pose 
u(t) = t
v0(t) = e−tet 
u0(t) = 1
v(t) = −e−t. Les fonctions uet v´etant de classe C1sur [0, x], on peut faire
une int´egration par parties :
Zx
0
te−tdt =−te−tx
0−Zx
0−e−tdt =−xe−x+−e−tx
0
=−x
ex−e−x+ 1 −→
x→+∞1
L’int´egrale Z+∞
0
te−tdt est donc convergente et on a : Z+∞
0
te−tdt = 1.
2011-2012 Lyc´ee du Parc 2/16

Khˆagne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Int´egrales impropres
8. Convergence de Z+∞
0
dt
1 + t2
La fonction t7→ 1
1 + t2est continue sur [0,+∞[, on a donc a priori uniquement un probl`eme en +∞.
Soit x > 0. Alors : Zx
0
1
1 + t2dt =Arctan(t)x
0
= Arctan(x)−→
x→+∞
π
2
L’int´egrale Z+∞
0
dt
1 + t2est donc convergente et on a : Z+∞
0
dt
1 + t2=π 2.
10.2 D´eterminer si les int´egrales suivantes sont convergentes :
1. Z+∞
0r2t+ 3
5t3+ 3t2+ 7dt
2. Z+∞
0
t−5
t2+ 4t+ 4dt
3. Z+∞
0
ln(t)
t2+ 1dt
4. Z+∞
0
e−t2dt
5. Z+∞
0
2 + ln(t)
t+ 4 dt
6. Z2
1
1
t2−tdt
7. Z+∞
0
sin(t)
t2dt.
8. Z1
0
1
√t3+ 3t2+tdt
9. Z+∞
1
ln 1 + 1
t2dt
10. Z+∞
1
ln(t)
t2dt.
11. Z1
0
ln(t)
t−1dt.
12. Z+∞
0
cos(t)
√et−1dt
1. Convergence de Z+∞
0r2t+ 3
5t3+ 3t2+ 7dt
La fonction u:t7→ 5t3+ 3t2+ 7 est continue et d´erivable sur [0,+∞[ (fonction polynˆomiale) et ∀t>
0, u0(t) = 15t2+ 6t= 3t(5t+ 2) >0. La fonction uest donc croissante et puisque u(0) = 7, elle est
strictement positive sur [0,+∞[ et ne s’annule donc jamais sur [0,+∞[.
La fonction f:t7→ r2t+ 3
5t3+ 3t2+ 7 est donc continue et positive sur [0,+∞[ comme compos´ee de fonctions
continues. Il y a a priori uniquement un probl`eme en +∞.
Or; 2t+ 3
5t3+ 3t2+ 7 ∼
t→+∞
2t
5t3=2 5t2
donc
f(t) = r2t+ 3
5t3+ 3t2+ 7 ∼
t→+∞r2
5
1
t
Donc par le th´eor`eme d’´equivalence des fonctions positives, les int´egrales R+∞
1f(t)dt et R+∞ 1
1
tdt sont de
mˆeme nature. Or, Z+∞
1
dt
tdiverge (Int´egrale de Riemann). On en d´eduit donc que
Z+∞
1
f(t)dt diverge
Puisque l’int´egrale Z1
0
f(t)dt converge (int´egrale sur un segment d’une fonction continue) et que Z+∞
1
f(t)dt
diverge, on conclut que :
Z+∞
0r2t+ 3
5t3+ 3t2+ 7dt diverge
2011-2012 Lyc´ee du Parc 3/16

Khˆagne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Int´egrales impropres
2. Convergence de Z+∞
0
t−5
t2+ 4t+ 4dt
La fonction f:t7→ t−5
t2+4t+4 =t−5 (t+2)2est continue sur [0,+∞[.
Sur [5,+∞[, la fonction fest continue et positive, et on a
f(t) = t−5
t2+ 4t+ 4 ∼
t→+∞
t
t2=1 t
Puisque Z+∞
5
1
tdt diverge (Int´egrale de Riemann), on en d´eduit par le th´eor`eme d’´equivalence des fonc-
tions positives que l’int´egrale Z+∞
5
f(t)dt diverge ´egalement.
Puisque l’int´egrale Z5
0
f(t)dt converge (int´egrale sur un segment d’une fonction continue) et que Z+∞
5
f(t)dt
diverge, on conclut que :
Z+∞
0
f(t)dt diverge
3. Convergence de Z+∞
0
ln(t)
t2+ 1dt
La fonction f:t7→ ln(t)
t2+1 est continue sur ]0,+∞[. On a a priori un probl`eme en 0 et en +∞.
•Etude de Z1
0
ln(t)
t2+ 1dt.
La fonction f:t7→ ln(t)
t2+1 est continue et n´egative sur ]0,1]. De plus,
f(t) = ln(t)
t2+ 1 ∼
t→0
ln(t)
1= ln(t)
et Z1
0
ln(t)dt converge, donc par th´eor`eme d’´equivalence des fonctions n´egatives, l’int´egrale Z1
0
ln(t)
t2+ 1dt
converge ´egalement.
•Etude de Z+∞
1
ln(t)
t2+ 1dt.
La fonction f:t7→ ln(t)
t2+1 est continue et positive sur [1,+∞[. De plus,
f(t) = ln(t)
t2+ 1 ∼
t→0
ln(t)
t2
donc par th´eor`eme d’´equivalence des fonctions n´egatives, l’int´egrale Z+∞
1
ln(t)
t2+ 1dt est de mˆeme nature
que l’int´egrale Z+∞
1
ln(t)
t2dt.
Cherchons un α > 1 tel que ln(t)
t2=o1 tα:
ln(t)
t2=o1 tα⇐⇒ tαln(t) t2−→
t→+∞0⇐⇒ ln(t)
t2−α−→
t→+∞0⇐⇒ 2−α > 0⇐⇒ α < 2
Il suffit de choisir un α∈]1,2[, par exemple α=3
2.
ln(t)
t2=o1
t3/2
2011-2012 Lyc´ee du Parc 4/16

Khˆagne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Int´egrales impropres
Or, Z+∞
1
1
t3/2dt converge (Int´egrale de Riemann), donc par th´eor`eme de n´egligeabilit´e de fonctions
positives, on en d´eduit que Z+∞
1
ln(t)
t2dt converge, et enfin par ´equivalence de fonctions positives, on
en d´eduit que Z+∞
1
ln(t)
t2+ 1dt converge ´egalement.
•Puisque Z1
0
f(t)dt et Z+∞
1
f(t)dt convergent, on en d´eduit donc que
Z1
0
ln(t)
t2+ 1dt converge
4. Convergence de Z+∞
0
e−t2dt
La fonction t7→ e−t2est continue et positive sur [0,+∞[.
De plus,
t2e−t2=t2
et2−→
t→+∞0 =⇒e−t2=o1
t2
Puisque Z+∞
1
1
t2dt converge (Int´egrale de Riemann), on en d´eduit par n´egligeabilit´e de fonctions positives
que l’int´egrale Z+∞
1
e−t2dt converge.
Puisque l’int´egrale Z1
0
e−t2dt ne pose pas de probl`eme (int´egrale d’une fonction continue sur le segment
[0,1]), par somme on a que :
Z+∞
0
e−t2dt converge
5. Convergence de Z+∞
0
2 + ln(t)
t+ 4 dt
La fonction t7→ 2 + ln(t)
t+ 4 est continue sur ]0,+∞[, on a donc a priori des probl`emes en 0 et en +∞
•Etude de Z1
0
2 + ln(t)
t+ 4 dt.
La fonction t7→ 2+ln(t)
t+4 est continue sur ]0,1] (mais pas forc´ement positive) et
2 + ln(t)
t+ 4 ∼
t→0+|ln(t)|
4
Or, Z1
0|ln(t)|dt converge, donc par th´eor`eme d’´equivalence des fonctions positives, l’int´egrale Z1 0
2 + ln(t)
t+ 4 
dt
converge et donc l’int´egrale Z1
0
2 + ln(t)
t+ 4 dt converge ´egalement.
•Etude de Z+∞
1
2 + ln(t)
t+ 4 dt.
La fonction t7→ 2+ln(t)
t+4 est continue sur [1,+∞[ et positive, et
2 + ln(t)
t+ 4 ∼
t→+∞
ln(t)
t
2011-2012 Lyc´ee du Parc 5/16