Une Nouvelle Technique de Recalage d`Images avec

Une Nouvelle Technique de Recalage d’Images avec des Contraintes aux Bords
Libres : Application aux Mammographies
A New Image Registration Technique With Free Boundary Constraints :
Application To Mammography
F. Richard L. Cohen
MAP 5, universit´e Paris 5
CEREMADE, universit´e Paris 9
UFR de math´ematiques et informatique, 45 rue des Saints P`eres, 75270 Paris Cedex 06
[email protected]
R´ esum´ e
Dans des travaux r´
ecents, nous avons propos´
eun mod`
ele de
mise en correspondance d’images bas´
e sur les niveaux de
gris pour le recalage des mammographies. Contrairement
aux mod` eles habituels, ce dernier permet de ne s’int´ eresser
qu’` a une r´ egion d’int´ erˆ et dans les images et de mettre en
jeu des contraintes tir´ ees d’informations sur les contours
de ces r´ egions. Celles-ci sont inscrites dans les conditions
aux bords du probl` eme de minimisation. Ceci empˆ eche la
correction d’´ eventuelles erreurs de pr´ etraitement et peut
parfois perturber le recalage pr` es des contours. Dans cet
article, nous pr´ esentons un nouveau mod` ele qui n’a pas
ces d´ efauts : le probl` eme est d´ efini avec des conditions aux
bords libres et l’´ energie ` a minimiser est compl´ et´ ee par un
terme de segmentation qui permet le recalage correct de
la r´ egion d’int´ erˆ et au niveau des contours. Nous construi-
sons ´ egalement un algorithme de r´ esolution du probl` eme et
le mettons en œuvre de mani` ere multigrille avec la m´ ethode
des ´ el´ ements finis. Pour finir, nous appliquons cet algo-
rithme aux mammographies.
Mots Clef
Minimisation d’´energie, m´ethode variationnelle, EDP,
´el´ements finis, multigrille, mise en correspondance
d’images, recalage d’images, mod`ele d´eformable, mam-
mographie.
Abstract
In a recent work, we proposed an image-matching model
based on grey-level values for the mammogram registra-
tion. Contrary to the usual models, it allows to focus on a
region of interest in the images and to bring into play some
constraintsbased onthe region contours.These constraints
are expressed via the boundary conditions of the minimiza-
tion problem. This prevents possible corrections of the pre-
processing faults during the matching process and may so-
metimes disrupts the registration near the contours. In this
paper, we present a new image-matching model which does
not have these drawbacks : the problem is defined with free
boundary conditions and the minimization energy is com-
pleted with a segmentation term which allows to register
correctly the regions of interest near the contours. We also
design a resolution algorithm and give a multigrid imple-
mentation. We apply this algorithm to the mammograms.
Keywords
Energy minimization, variational method, PDE, finite ele-
ments, multigrid, image matching, image registration, de-
formable model, mammography
1 Introduction
Dans cet article, nous nous int´eressons au probl`eme de re-
calage d’images. Notre objectif est le recalage des paires
bilat´erales et temporelles de mammographies. Comme
nous pouvons le constater en lisant l’´etude compl`ete dans
[1], de nombreux travaux concernant le probl`eme du reca-
lage d’images ont ´et´e effectu´es depuis le d´ebut des ann´ees
80. Toutefois, le recalage des mammographiques reste un
probl`eme ouvert dont l’enjeu en d´etection automatique du
cancer est majeur [2, 3]. La plupart des techniques de
recalage des mammographies ne s’appuient que sur les
contours des seins [2, 3, 4, 5, 6] et, mˆeme si certaines
d’entre elles sont non-rigides, elles ne parviennent pas `a
recaler de mani`ere satisfaisante l’int´erieur des seins. Dans
[7, 8, 9, 10], les auteurs ont essay´e de recaler de mani`ere
pr´ecise l’int´erieur des seins avec la technique de Bookstein
[11] utilis´ee avec des points d’encrage internes. Cependant,
en suivant cette approche, les auteurs se sont heurt´es aux
difficult´es li´ees `a l’extraction des points d’encrage internes
dans les mammographies.

Dans des travaux r´ecents [12, 13, 14], F. Richard et C. Graf-
figne ont propos´e un mod`ele de mise en correspondance
d’images pour le recalage des mammographies. Leur ap-
proche ne repose pas sur l’utilisation des points d’encrage
internes. Elle s’apparente davantage aux approches bas´ees
sur les niveaux de gris ([15, 16, 17, 18, 19]) qu’`a celles
bas´ees sur les points d’encrage du type de celle de Book-
stein. Cependant, elle diff`ere ´egalement de ces approches
classiques. En effet, l’optique de l’approche n’est pas de
mettre en correspondance des images enti`eres mais exclu-
sivement des r´egions d’int´erˆet dans les images. Aussi le
mod`ele unifie-t-il dans un mˆeme cadre variationnel deux
approches : une premi`ere fond´ee sur la segmentation des
r´egions d’int´erˆet et une autre bas´ee sur les niveaux de gris.
Plus pr´ecis´ement, F. Richard et C. Graffigne posent un
probl`eme de minimisation d’´energie sur la r´egion du sein
et avec des conditions aux bords (de Dirichlet) qui sont
d´eriv´ees d’une mise en correspondance pr´eliminaire des
contours des seins. Dans [12, 14], ils montrent que cette
approche sp´ecifique permet d’am´eliorer les temps de cal-
culs et la pr´ecision du recalage. Cependant, les condi-
tions aux bords de Dirichlet exercent des contraintes trop
fortes et peuvent parfois empˆecher un recalage correct
des seins pr`es des contours. De plus, ´etant donn´ees que
ces conditions sont fixes, les ´eventuelles impr´ecisions des
pr´etraitements (segmentation des mammographies et mise
en correspondance des contours des seins) ne peuvent
pas ˆetre corrig´ees pendant la mise en correspondance des
images. La qualit´e de la mise en correspondance d´epend
donc de celle des pr´etraitements.
Dans cet article, nous introduisons un mod`ele qui est
´egalement destin´e `a la mise en correspondance de r´egions
d’int´erˆet dans les images et qui n’a pas les d´efauts
pr´ec´edemment ´evoqu´es. Afin d’assouplir les contraintes
aux bords et de pouvoir modifier la localisation et la mise
en correspondance des contours pendant le traitement, nous
utilisons des conditions aux bords libres. Nous compl´etons
´egalement l’´energie `a minimiser par un terme de segmenta-
tion qui permet de recaler correctement les seins au niveau
des contours.
Dans la partie 2, nous pr´esentons cette nouvelle approche et
formulons le probl`eme de minimisation d’´energie. Dans la
partie 3, nous d´erivons l’´energie et d´ecrivons un algorithme
de descente de gradient pour la r´esolution num´erique du
probl`eme. Nous proposons ensuite de mettre en œuvre cet
algorithme en suivant une approche multigrille reposant
sur la m´ethode des ´el´ements finis. Dans la partie 4, nous
commentons l’application de cet algorithme aux couples
de mammographies.
2 Pr´ esentation Du Probl` eme
2.1 Le Mod` ele Classique
Le cadre variationnel classique du probl`eme de la mise
en correspondance d’images est le suivant [15, 16, 17,
18, 19] : soient un ensemble connexe et ouvert de
et et deux images d´efinies par interpolation sur .
Soit un espace form´e d’applications r´eguli`eres d´efinies
de `a valeurs dans lui-mˆeme. Notons la transform´ee
g´eom´etrique de par l’´el´ement de :
´
Etablir une correspondance entre et consiste `a trou-
ver un ´el´ement qui est aussi r´egulier que possible et tel
que la transform´ee est “similaire” `a . Ceci est exprim´e
sous la forme d’un probl`eme inverse [15, 16, 17, 18, 19] :
Mod` ele 1 Minimiser dans une ´ energie ayant la
forme suivante :
avec certaines conditions aux bords de . Dans cette
´
energie, est ´
egale ` a et est la norme qua-
dratique usuelle sur .
Cette ´energie comprend deux termes. Le second terme
d´epend des images. Il s’agit d’un terme de mise en cor-
respondance qui est d’autant plus faible que les images
et sont similaires. Le premier terme r´egularise le
probl`eme et assure que ce dernier a une solution dans
un espace d’applications hom´eomorphes. En g´en´eral, ce
terme est construit `a partir d’´energies de d´eformations de la
m´ecanique des milieux continus. Dans cet article, nous pre-
nons l’´energie de l’´elasticit´e lin´earis´ee [20]. Celle-ci peut
se d´efinir `a partir de la forme bilin´eaire suivante :
(1)
Nous avons not´e le produit scalaire usuel de
et l’op´erateur suivant :1
(2)
o`u et sont deux r´eels positifs et est le tenseur des
d´eformations lin´earis´e :
Sur la figure 1, nous avons un exemple d’application du
mod`ele 1 aux mammographies; cet exemple sera com-
ment´e dans la partie 4.
2.2 Mise en correspondance de r´ egions avec
des conditions aux bords fixes
Contrairement au pr´ec´edent, le mod`ele de cette partie
s’attache exclusivement `a la mise en correspondance de
r´egions d’int´erˆet dans les images.
Le cadre est le suivant [12, 13, 14] : supposons que les
images et contiennent toutes les deux une unique
1Soit une matrice , ´egal `a . Soit une
application r´eguli`ere d´efinie de `a valeurs dans un ensemble de matrices
, la valeur de au point de est un vecteur de taille qui
a pour composante .
2

(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
FIG. 1 – (a) L’image , (b) l’image transform´ee apr`es
l’application de l’algorithme du mod`ele 1, (c) l’image ,
(d) la diff´erence en valeur absolue entre les images et ,
(e) la diff´erence en valeur absolue entre les images et ,
(f) l’image par l’application du domaine maill´e
.[noir=fortes diff´ erences, blanc=faibles diff´ erences]
r´egion d’int´erˆet qui est localis´ee respectivement sur les en-
sembles ouverts et connexes et de . Notons et
les fronti`eres respectives de et . Supposons que
nous connaissons une mise en correspondance des contours
et . Notons (ou ) la fonction qui associe
les coordonn´ees de `a celles de . De mani`ere `a ne
prendre en consid´eration que les r´egions d’int´erˆet, nous ne
d´efinissons pas le probl`eme de minimisation sur (voir
partie 2.1) mais sur un espace compos´e d’applications
r´eguli`eres d´efinies de `a valeurs dans . Le probl`eme
inverse est formul´e comme suit [12, 13, 14] :
Mod` ele 2 Minimiser dans une ´ energie ayant la
forme suivante :
avec les conditions aux bords de Dirichlet non-homog` enes
suivantes :
Les termes de l’´energie ont les mˆemes d´efinitions et
jouent les mˆemes rˆoles que ceux de l’´energie du mod`ele
1. Toutefois, ils ne sont pas d´efinis sur le domaine entier
mais seulement sur la r´egion d’int´erˆet . De plus, les
conditions aux bords sont sp´ecifiques aux r´egions d’int´erˆet
et permettent de prendre en compte des informations pro-
venant de la mise en correspondance de leurs contours. Des
algorithmes de r´esolution num´erique de ce probl`eme sont
propos´es dans [12, 13, 14].
2.3 Mise en correspondance de r´ egions avec
des conditions aux bords libres
Dans le mod`ele pr´ec´edent, d’importantes contraintes re-
latives `a la r´egion d’int´erˆet des images sont introduites
dans le mod`ele par le biais des conditions aux bords.
Ces derni`eres conditions exercent cependant une contrainte
trop forte `a proximit´e des contours. Pour assouplir cette
contrainte, nous proposons ici un mod`ele pour lequel les
conditions aux bords sont libres.
Pour avoir des conditions aux bords libres, nous ne
d´efinissons pas le probl`eme de minimisation sur (voir
partie 2.2) mais sur un espace compos´e d’applications
r´eguli`eres d´efinies de `a valeurs dans . Autrement dit,
les applications restent d´efinies sur la r´egion d’int´erˆet
de mais peuvent prendre leurs valeurs en dehors de la
r´egion d’int´erˆet de .
Le probl`eme inverse est le suivant :
Minimiser dans une ´ energie ayant la forme sui-
vante :
avec des conditions aux bords libres sur la fronti` ere de .
3

Comme dans les mod`eles 1 et 2, l’´energie comporte
les termes de mise en correspondance et de r´egularisation.
Elle poss`ede en outre un terme qui est exprim´e en fonc-
tion des valeurs de niveaux de gris de l’image . Il s’agit
d’un terme de segmentation qui contraint les points de l’en-
semble qui ne sont pas l’image par d’un point de l’en-
semble `a ˆetre des coordonn´ees du fond de l’image .
Remarque 1 La fonction est r´eguli`ere. Supposons
qu’une segmentation de l’image puisse ˆetre obtenue de
mani`ere robuste par seuillage, c’est `a dire qu’il existe une
valeur telle que
´
equivaut ` aest sur le fond de l’image
Nous pouvons alors prendre comme fonction une ver-
sion liss´ee de la fonction qui vaut sur et
sur . La valeur de en un point de peut s’in-
terpr´eter comme la probabilit´e qu’a un site de ne pas ˆetre
sur le fond de l’image lorsque est ´egal `a .
Dans le cas o`u la segmentation n’est pas sˆure, nous pou-
vons estimer ces probabilit´es pour construire . Dans l’ap-
plication aux mammographies, nous estimons cette proba-
bilit´e par rapport `a la segmentation de : la valeur de en
est ´egale au nombre de pixels qui sont sur le domaine
et pour lesquels vaut rapport´e au nombre
total de pixels pour lesquels vaut .
Remarque 2 A la diff´erence du mod`ele 2, nous n’avons
pas besoin de segmentation pr´ealable de la r´egion d’int´erˆet
de pour d´efinir le probl`eme de minimisation pr´ec´edent.
La r´esolution du probl`eme peut mˆeme servir `a trouver
une bonne segmentation de l’image : pour obtenir le
contour de la r´egion d’int´erˆet de , il suffit de prendre
l’image de par l’application qui r´ealise un
minimum. Dans le probl`eme de minimisation, l’inconnue
est analogue `a un contour actif [21, 22].
Remarque 3 Pour que le probl`eme du mod`ele pr´ec´edent
soit d´efini, nous supposerons que est un sous-espace
de l’espace de Sobolev . Nous supposerons
´egalement que
Lorsque ces derni`eres conditions sont remplies, nous re-
marquons que
De ce fait, le probl`eme de minimisation pr´ec´edent est
´equivalent au probl`eme suivant :
Mod` ele 3 Minimiser dans une energie ayant la forme
suivante :
(3)
avec des conditions aux bords libres sur la fronti` ere de .
3 R´ esolution du probl` eme
Pour la r´esolution num´erique du probl`eme de minimisation
du mod`ele 3, nous construisons un algorithme de descente
de gradient. Dans la partie 3.1, nous d´erivons l’´energie et
exprimons cet algorithme sous la forme d’une EDO (Equa-
tion Diff´erentielle Ordinaire). Dans la partie 3.2, nous
proposons de discr´etiser spatialement l’EDO en nous ap-
puyant sur la m´ethode de Galerkin. Dans la partie 3.3, nous
d´ecrivons une m´ethode pour initialiser l’EDO. Dans la par-
tie 3.4, nous pr´esentons une mise en œuvre multigrille de
l’EDO.
3.1 Algorithme de descente de gradient
La d´eriv´ee de l’´energie (´equation 3) au point de est
la suivante : pour tout dans
Puisque
le gradient de l’´energie pour le produit scalaire
est donn´e par :
(4)
o`u est l’op´erateur d´efini dans l’´equation 2 et est la
fonction suivante :
(5)
De ce qui pr´ec`ede, nous d´eduisons que la descente de gra-
dient de l’´energie peut ˆetre exprim´ee sous la forme de
l’EDO suivante :
Algorithme 1 (descente de gradient)
(6)
o` u sera pr´ ecis´ e dans la partie 3.3 et, ` a chaque temps ,
est la solution de l’´ equation suivante :
(7)
avec .
4

3.2 Discr´ etisation de l’algorithme
Pour la mise en œuvre de l’algorithme 1, nous discr´etisons
l’´equation 7 avec la m´ethode de Galerkin [23]. Dans
un premier temps, nous remarquons que l’´equation 7 est
formellement ´equivalente `a l’´equation variationnelle sui-
vante :
(8)
o` u est d´ efini dans l’´ equation 5. Nous choisissons un es-
pace qui est inclus dans et engendr´e par une famille
finie de fonctions `a support compact (not´ee ).
Pour approcher la solution de l’´equation 8, nous cherchons
une solution de l’´equation variationnelle approch´ee dans
l’espace , c’est `a dire :
La solution de cette ´equation a la forme suivante :
(9)
o`u les coefficients sont solution du syst`eme lin´eaire sui-
vant :
(10)
Pour construire les espaces d’approximation , nous fai-
sons la partition du domaine en carr´es de taille fixe.
Nous d´efinissons comme ´etant l’espace des fonctions
sur l’ensemble du domaine et polynˆomiales sur chacun
des carr´es de la partition.
Remarque : Pour ˆetre partitionn´e, le domaine peut
ˆetre l´eg`erement modifi´e pr`es de ses fronti`eres. Ceci peut
produire des erreurs de segmentation. Cependant, ces
derni`eres sont prises en compte dans le mod`ele 3 par le
biais de l’estimation de la fonction (voir la partie 2.3).
3.3 Initialisation de l’algorithme
Contrairement au mod`ele 2, la mise en correspondance
des contours des r´egions d’int´erˆet n’est pas utilis´ee dans
la construction du mod`ele 3. Cependant, il est int´eressant
de l’exploiter pour obtenir une meilleure initialisation de
l’EDO. Aussi d´efinissons-nous les d´eplacements de
l’´equation 6 comme les solutions du probl`eme du mod`ele
2 quand est ´egal `a z´ero. Comme cela est montr´e dans
[12, 13, 14],
o`u est d´efini dans la partie 2.2 et est la solution dans
du probl`eme variationnel suivant :2
2L’espace est compos´e d’applications r´eguli`eres d´efinies de `a
valeurs dans qui sont nulles sur .
Selon la m´ethode de Galerkin (cf. partie 3.2), peut ˆetre
approch´e par les d´eplacements suivants :
(11)
o`u les coefficients sont solution du syst`eme lin´eaire
suivant :
(12)
3.4 Mise en œuvre multigrille
Pour r´eduire les temps de calcul et parvenir `a une
meilleure minimisation de l’´energie, nous proposons de
mettre en œuvre l’algorithme de mani`ere multigrille avec
une strat´egie de type “ plus grossier au plus fin ”. Nous
d´efinissons une suite de sous-espaces ayant les
propri´et´es d´ecrites dans le partie 3.2 et ´etant emboˆıt´es :
Nous discr´etisons l’EDO par rapport au param`etre de
temps et obtenons le sch´ema de r´esolution suivant :
Algorithme 2 (Mise en œuvre multigrille) Comme cela
est d´ ecrit dans la partie 3.3, nous initialisons l’EDO
comme suit :
o` u est d´ efini dans le partie 2.2 et est la solution
des ´ equations 11 et 12 dans l’espace .
it´ eration ( ) :
o` u est un r´
eel positif petit et est la solution dans
des ´ equations 9 et 10 avec ´
egal ` a.
4 Application aux mammographies
La paire de mammographies bilat´erales qui est montr´ee
sur les figures 2 (a) et (f) provient de la base de donn´ees
MIAS [24]. En comparant les deux images et en observant
leur diff´erence en valeur absolue (figure 3 (a)), nous re-
marquons qu’elles ont de nombreuses asym´etries impor-
tantes (dues notamment `a des diff´erences de forme des
seins). En regardant ensuite l’image (figure 2 (a)) et
sa transform´ee g´eom´etrique apr`es initialisation (figure
2 (b)), nous nous rendons compte que l’´etape d’initialisa-
tion modifie la forme du sein et la position du t´eton dans
l’image .3Comme nous pouvons le constater sur la fi-
gure 3 (b), ces modifications ont pour effet de corriger
non seulement les asym´etries pr`es des contours mais aussi
certaines diff´erences internes. Toutefois, en raison d’un
manque de pr´ecision r´esultant du pr´etraitement (segmen-
tation des mammographies et mise en correspondance des
3Dans toutes les exp´eriences que nous pr´esentons, les param`etres des
diff´erents mod`eles ( , , et ) ont ´et´e choisis empiriquement mais ne
sont pas chang´es de l’application d’un mod`ele `a l’autre.
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