Nombres premiers

Nombres premiers
Marc de Crisenoy
Les parties II et III sont ind´ependantes.
I] G´en´eralit´es.
D´ef. 1. Un nombre premier est un entier naturel p≥2 v´erifiant:
∀x∈N∗(x|p=⇒(x= 1 ou x=p)).
Ex. 2. 2,3,5,7,11,13,19,23 sont des nombres premiers.
Rq. 3. Soit p∈N. On suppose que p≥2. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) pest premier, ii) ∀x, y ∈N∗(xy =p=⇒(x= 1 ou y= 1)).
Exo. 4. Soit p∈N. On suppose que p≥2. Montrer que les assertions suivantes sont
´equivalentes: i) pest premier, ii) ∀x∈N∗((x|pet x2≤p) =⇒x= 1).
Lemme 5. Soit p∈N. On suppose que p≥2. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) pest un nombre premier, ii) Div(p)∩N={1, p}, iii) Div(p) = {−1,1,−p, p}.
Notation 6. On note Pl’ensemble des nombres premiers.
Rq. 7. Soient p, q ∈ P. On suppose que p6=q. Alors pet qsont premiers entre eux.
Prop. 8. Soient n∈Zet p∈ P. Alors pest premier avec nssi p-n.
Cor. 9. Soient a, b ∈Zet p∈ P. On suppose que p|ab. Alors p|aou p|b.
Plus g´en´eralement:
Cor. 10. Soit k∈N∗. Soient a1, . . . , ak∈Z. Soit p∈ P.
On suppose que p|a1. . . ak. Alors il existe i∈ {1, . . . , k}tel que p|ai.
Cor. 11. Soient k∈N∗,a∈Zet p∈ P. On suppose que p|ak. Alors p|a.
Th´eo. 12. Soit n∈Z. On suppose que n /∈ {−1,1}.
Alors nposs`ede un diviseur premier.
Indication de preuve. Consid´erer D={y∈N|y≥2 et y|n}. Montrer que Dposs`ede
un plus petit ´el´ement (pour l’ordre usuel de N). On le note p. Montrer que pest premier.
Cor. 13. Soient u, v ∈Z. Alors uet vsont premiers entre eux ssi il n’existe pas de nombre
premier les divisant tous les deux.
Plus g´en´eralement:
1

Cor. 14. Soit k∈N∗. Soient u1, . . . , uk∈Z. Alors u1, . . . , uksont premiers entre eux
dans leur ensemble ssi il n’existe pas de nombre premier les divisant tous.
Th´eo. 15. Pest infini.
Indication de preuve. Par l’absurde, supposer que Pest fini. Consid´erer 1 + Y
p∈P
p.
II] D´ecompositions en produit de nombres premiers.
1) Des faits combinatoires tr`es simples.
Les r´esultats qui suivent sont valables dans des contextes g´en´eraux, mais nous nous contentons
de les ´enoncer dans celui dont nous avons besoin.
a) Un lemme de classement.
Lemme 16. Soit r∈N∗. Soient x1, . . . , xr∈Z.
Alors il existe une permutation τde {1, . . . , r}telle que xτ(1) ≤. . . ≤xτ(r).
b) Un lemme de regroupement.
Lemme 17. Soient Iet Jdeux ensembles finis non vides.
Soit (ai)i∈Iune famille d’entiers relatifs index´ee par I.
Soit (bj)j∈June famille d’entiers relatifs index´ee par J. On suppose cette famille injective.
On suppose que ∀i∈I∃j∈J bj=aiet que ∀j∈J∃i∈I ai=bj.
Alors il existe une famille d’entiers naturels non nuls (mj)j∈Jtelle que Y
i∈I
ai=Y
j∈J
bmj
j.
Indications.
Pour tout j∈J, on note Ej={i∈I|ai=bj}. V´erifier que (Ej)j∈Jest une partition de I.
Pour tout j∈J, on note mjle cardinal de Ej. Conclure.
Cor. 18. Soient Iet Jdeux ensembles finis non vides.
Soit (ai)i∈Iune famille d’entiers relatifs index´ee par I.
Soit (bj)j∈June famille d’entiers relatifs index´ee par J.
On suppose que ∀i∈I∃j∈J bj=ai.
Alors il existe une famille d’entiers naturels (mj)j∈Jtelle que Y
i∈I
ai=Y
j∈J
bmj
j.
Indication.
Justifier qu’il existe J0⊂Jtel que (bj)j∈J0soit injective et d’image ´egale `a celle de (ai)i∈I.
2) Existence de d´ecompositions en produit de nombres premiers.
Th´eo. 19. Soit n∈Z. On suppose que n≥2.
Alors il existe k∈N∗et p1, . . . , pk∈ P tels que n=p1. . . pk.
Indication de preuve: faire une r´ecurrence ”forte”.
Cor. 20. Soit n∈Z. On suppose que n≥2.
2

Alors il existe k∈N∗et p1, . . . , pk∈ P v´erifiant p1≤. . . ≤pktels que n=p1. . . pk.
Cor. 21. Soit n∈Z. On suppose que n≥2. Alors il existe `∈N∗,q1, . . . , q`∈ P
deux `a deux distincts et m1, . . . , m`∈N∗tels que n=qm1
1. . . qm`
`.
Indications.
Il existe k∈N∗et p1, . . . , pk∈ P tels que n=p1. . . pk. On note `le cardinal de {p1, . . . , pk}.
Soient q1, . . . , q`tels que {q1, . . . , q`}={p1, . . . , pk}.q1, . . . , q`sont deux `a deux distincts.
Cor. 22. Soit n∈Z. On suppose que n≥2.
Alors il existe `∈N∗,q1, . . . , q`∈ P v´erifiant q1< . . . < q`et m1, . . . , m`∈N∗tels que
n=qm1
1. . . qm`
`.
3) Unicit´e dans les d´ecompositions en produit de nombres premiers.
Notation 23. Soit m∈Z. On note DivP(m) l’ensemble des diviseurs premiers de m.
Lemme 24. Soit m∈N∗. Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. On suppose que m=p1. . . pk.
Alors DivP(m) = {p1, . . . , pk}.
Th´eo. 25.
Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. On suppose que p1≤. . . ≤pk.
Soit `∈N∗. Soient q1, . . . , q`∈ P. On suppose que q1≤. . . ≤q`.
On suppose que p1. . . pk=q1. . . q`. Alors k=`et ∀i∈ {1, . . . , k}pi=qi.
Indications. Par r´ecurrence sur k. Supposer l’assertion vraie au rang k. Pour montrer l’assertion
au rang k+ 1, commencer par montrer que pk+1 =q`.
Cor. 26. Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. Soit `∈N∗. Soient q1, . . . , q`∈ P.
On suppose que p1. . . pk=q1. . . q`.
Alors k=`et il existe une permutation σde {1, . . . , k}telle que ∀i∈ {1, . . . , k}pi=qσ(i).
Indication.
Utiliser deux fois le lemme de classement.
Lemme 27. Soit m∈N∗. Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. Soient m1, . . . , mk∈N.
On suppose que m=pm1
1. . . pmk
k.
a) On suppose que m1, . . . , mk≥1. Alors DivP(m) = {p1, . . . , pk}.
b) DivP(m)⊂ {p1, . . . , pk}.
c) On suppose que p1, . . . , pksont distincts deux `a deux. Alors pour tout i∈ {1, . . . , k}, on a:
pi∈DivP(m)⇐⇒ mi≥1.
Indication.
c) sens =⇒. Soit i∈ {1, . . . , k}. Montrer que (mi= 0 =⇒pi/∈DivP(m)).
Th´eo. 28. Soient m, n ∈N∗. Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P.
On suppose que p1, . . . , pksont distincts deux `a deux. Soient m1, . . . , mk∈Net n1, . . . , nk∈N.
On suppose que m=pm1
1. . . pmk
ket que n=pn1
1. . . pnk
k. Alors:
1)a) m|nssi ∀i∈ {1, . . . , k}mi≤ni, b) m=nssi ∀i∈ {1, . . . , k}mi=ni,
3

2) met nsont premiers entre eux ssi ∀i∈ {1, . . . , k}mi= 0 ou ni= 0.
Indications.
1)a) sens =⇒. Il existe q∈Ztel que n=mq. Soit i∈ {1, . . . , k}. Raisonner par l’absurde
(supposer que mi> ni), simplifier par pni
i, obtenir une contradiction.
2) Montrer par double implication que met nne sont pas premiers entre eux ssi il existe
i∈ {1, . . . , k}tel que mi≥1 et ni≥1. Puis conclure.
Cor. 29.
Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. On suppose que p1< . . . < pk. Soient m1, . . . , mk∈N∗.
Soit `∈N∗. Soient q1, . . . , q`∈ P. On suppose que q1< . . . < q`. Soient n1, . . . , n`∈N∗.
On suppose que pm1
1. . . pmk
k=qn1
1. . . qn`
`.
Alors k=`et ∀i∈ {1, . . . , k}pi=qiet mi=ni.
Indications.
Montrer que {p1, . . . , pk}={q1, . . . , q`}. En d´eduire que k=`et que ∀i∈ {1, . . . , k}pi=qi.
Conclure.
Cor. 30.
Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. On suppose que p1, . . . , pksont distincts deux `a deux.
Soient m1, . . . , mk∈N∗.
Soit `∈N∗. Soient q1, . . . , q`∈ P. On suppose que q1, . . . , q`sont distincts deux `a deux.
Soient n1, . . . , n`∈N∗.
On suppose que pm1
1. . . pmk
k=qn1
1. . . qn`
`.
Alors k=`et il existe une unique permutation σde {1, . . . , k}telle que ∀i∈ {1, . . . , k}pi=
qσ(i)et mi=nσ(i).
Indication.
Utiliser deux fois le lemme de classement.
4) D´ecomposition en facteurs premiers des diviseurs, pgcd et ppcm.
Prop. 31. Soit n∈N∗. Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. On suppose que p1, . . . , pk
sont distincts deux `a deux. Soient n1, . . . , nk∈N. On suppose que n=pn1
1. . . pnk
k. Alors:
a) ∀(d1, . . . , dk)∈ {0, . . . , n1} × . . . × {0, . . . , nk}pd1
1. . . pdk
k|n,
b) ∀d∈Div(n)∩N∗∃!(d1, . . . , dk)∈ {0, . . . , n1} × . . . × {0, . . . , nk}tq d=pd1
1. . . pdk
k,
c) l’application de {0, . . . , n1} × . . . × {0, . . . , nk}dans Div(n)∩N∗qui `a (d1, . . . , dk) associe
pd1
1. . . pdk
kest une bijection,
d) na exactement (n1+ 1) . . . (nk+ 1) diviseurs entiers naturels.
Indications.
b) Soit d∈Div(n)∩N∗. Si d= 1, le r´esultat est clair. On suppose que d≥2.
i) Justifier que DivP(d)⊂ {p1, . . . , pk}.
ii) Justifier qu’il existe `∈N∗et q1, . . . , q`∈ P tels que d=q1. . . q`.
iii) {q1, . . . , q`}⊂{p1, . . . , pk}donc (par regroupement) il existe d1, . . . , dk∈Ntels que
d=pd1
1. . . pdk
k.
iv) Justifier que ∀i∈ {1, . . . , k}di≤ni.
Cor. 32. Soient m, n ∈N∗.
4

Soit k∈N∗. Soient p1, . . . , pk∈ P. On suppose que p1, . . . , pksont distincts deux `a deux.
Soient m1, . . . , mk∈Net n1, . . . , nk∈N.
On suppose que m=pm1
1. . . pmk
ket que n=pn1
1. . . pnk
k.
Alors: a) m∧n=
k
Y
i=1
pmin{mi,ni}
i, b) m∨n=
k
Y
i=1
pmax{mi,ni}
i.
III] Valuation p-adique.
La valuation p-adique est un outil tr`es puissant, qui contient l’existence et l’unicit´e de la
d´ecomposition en facteurs premiers.
Lemme 33. Soit n∈Z\ {0}. Soit d∈Z\ {−1,0,1}. On note E={k∈N|dk|n}.
Alors Eposs`ede un plus grand ´el´ement (pour l’ordre usuel de N); il est unique, on le note v.
i) dv|n, ii) ∀k∈N(dk|n⇐⇒ k≤v), iii) E={0, . . . , v}, iv) d|nssi v≥1.
iv) Il existe un et un seul k∈Ntel que dk|net dk+1 -n, c’est v.
v) Notons qle quotient de npar dv. On a n=dvqet d-q.
De plus ∀(k, n0)∈N×Z(n=dkn0et d-n0) =⇒(k, n0) = (v, q).
Indications.
Pour montrer que Eest major´e, on peut observer que |d| ≥ 2 et se souvenir que ∀k∈N2k≥k.
D´ef. et notation 34. Soit pun nombre premier.
a) Soit n∈Z\ {0}. On appelle valuation p-adique de n, et l’on note vp(n), le plus grand
´el´ement de {k∈N|dk|n}.
b) Le a) permet de d´efinir une application vp:Z\ {0} → N, on l’appelle la valuation p-adique.
Rq. 35. Soit pun nombre premier. Alors:
a) ∀k∈Nvp(pk) = k, b) ∀k∈N∀q∈ P \ {p}vp(qk) = 0.
Rq. 36. Soit pun nombre premier. Alors vp(Z\ {0}) = N.
Rq. 37. Soient n∈Z\ {0}et p∈ P. Alors vp(−n) = vp(n).
Prop. 38. Soient m, n ∈Z\ {0}. Soit p∈ P. Alors vp(mn) = vp(m) + vp(n).
Plus g´en´eralement:
Rq. 39. Soit r∈N∗. Soient n1, . . . , nr∈Z\ {0}. Soit p∈ P.
Alors vp(n1. . . nr) = vp(n1) + . . . +vp(nr).
Rq. 40. Soit r∈N. Soit n∈Z\ {0}. Soit p∈ P. Alors vp(nr) = rvp(n).
Rq. 41. Soit n∈N∗. Alors n= 1 ⇐⇒ ∀p∈ P vp(n) = 0.
Prop. 42. Soient m, n ∈Z\ {0}. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) met nsont premiers entre eux, ii) ∀p∈ P (vp(m) = 0 ou vp(n) = 0).
Indication.
Montrer l’´equivalence des n´egations.
5