Annales sur les nombres premiers

Terminales S - Spécialité/Annales sur les nombres premiers
255. Exercices non-classés :
Exercice 3631
Les trois parties I,II,III peuvent être traitées indépendam-
ment les unes des autres.
Partie I
Soit : E={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}.
Déterminer les paires {a;b}d’entiers distincts de Etels que
le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.
Partie II
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3.
1. L’entier (n−1)! est-il pair ?
2. L’entier (n−1)!+1 est-il divisible par un entier naturel
pair ?
3. Prouver que l’entier (15−1)!+1 n’est pas divisible par 15.
4. L’entier (11−1)!+1 est-il divisible par 11 ?
Partie III
Soit pun entier naturel non premier (p⩾2).
1. Prouver que padmet un diviseur q(1< q <p)qui divise
(p−1)!
2. L’entier qdivise-t-il l’entier (p−1)!+1 ?
3. L’entier pdivise-t-il l’entier (p−1)!+1 ?
Exercice 5302
Le but de cet exercice est de démontrer par l’absurde qu’il
existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n−1, où
nest un élément de N∗(ensemble des entiers naturesl non
nuls).
1. Soit El’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1
où nest un élément de N∗.
Montrer que Ea au moins deux éléments.
2. On suppose Efini. Soit Ple produit de tous les éléments
de Eet X=4P−1.
a. Trouver un minorant de X.
b. Montrer que Xn’est pas divisible par 2, et en déduire
que tout facteur premier de Xest soit de la forme
4n+1, soit de la forme 4n−1où nest un élément de
N∗.
c. Montrer que Xpossède au moins un facteur premier
de la forme 4n−1où nest un élément de N∗
3. En considérant un facteur premier pde Xde la forme
4n−1, la définition de Pet la relation X=4P−1, achever
la démonstration par l’absurde.
Exercice 6928
Pour tout entier naturel nnon nul, on appelle S(n)le nombre
égal à la somme des diviseurs positifs de n.
1. Vérifier que S(6) = 12 et calculer S(7).
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel nsupérieur
ou égal à 2,S(n)⩾1+n
b. Quels sont les entiers naturels ntels que S(n)=1+n?
3. On suppose dans cette question que ns’écrit p×qoù p
et qsont des nombres premiers distincts.
a. Démontrer que : S(n) = (1 + p)(1 + q).
b. On considère la proposition suivante :
“Pour tous entiers naturels net mnon nuls distincts,
S(n×m)=S(n)×S(m)”
Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
4. On suppose dans cette question que l’entier ns’écrit pk,
où pest un nombre premier et kun nombre entier naturel
non nul.
a. Quels sont les diviseurs de n?
b. En déduire que : S(n) = 1−pk+1
1−p.
5. On suppose dans cette question que ns’écrit p13×q7, où
pet qsont des nombres premiers distincts.
a. Soit mun entier naturel.
Démontrer que mdivise nsi, et seulement si, il existe
deux nombres entiers set tavec 0⩽s⩽134 et 0⩽t⩽7
tels que m=ps×qt.
b. Démontrer que :S(n) = 1−p14
1−p×1−q8 1−q
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