Feuille d`exercices

Licence — MIMP — Semestre 1
Math 11A : Fondements de l’algèbre
Exercices
Septembre 2013

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Table des matières
Chapitre I. Vocabulaire de théorie des ensembles 3
1 Logique .................................. 3
2 Ensembles................................. 5
3 Applications - Injections - Surjections - Bijections . . . . . . . . . . . 6
4 Dénombrement .............................. 8
5 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chapitre II. Arithmétique dans Z 10
1 Divisibilité................................. 10
2 Equations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Congruences................................ 11
Chapitre III. Groupes 12
1 Groupes et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Morphismes................................ 13
Chapitre IV. Nombres complexes 14
1 Représentations de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Formuled’Euler.............................. 14
3 Racines de nombres complexes et résolution d’équations . . . . . . . 15
4 Interpretation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Racinesn-ième .............................. 16

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Chapitre I. Vocabulaire de théorie des ensembles
1. Logique
Exercice 1. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose :
⇔,⇒,⇐.
(1) x∈R, x2= 4 . . . . . . x = 2 ;
(2) z∈C, z =z . . . . . . z ∈R;
(3) x∈R, x =π . . . . . . e2ix = 1.
Exercice 2. Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les
yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
Exercice 3. [Le missionnaire et les cannibales] Les cannibales d’une tribu se pré-
parent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect
de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de
décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie,
le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le
missionnaire pour sauver sa vie ? (d’après Cervantès)
Exercice 4. Ecrire la négation des assertions suivantes, où P, Q, R, S sont des pro-
positions.
1) P⇒Q,
2) Pet non Q,
3) Pet (Qet R),
4) Pou (Qet R),
5) (Pet Q)⇒(R⇒S).
Exercice 5. Soit fune application de Rdans R. Nier, de la manière la plus précise
possible, les énoncés qui suivent (on ne demande pas de démontrer quoi que ce soit,
juste d’écrire la négation d’un énoncé) :
1. Pour tout x∈Rf(x)≤1.
2. L’application fest croissante.
3. L’application fest croissante et positive.
4. Il existe x∈R+tel que f(x)≤0.
Réécrire ensuite les phrases et leur négation à l’aide de quantificateurs.

4CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES
Exercice 6. Soient les quatre assertions suivantes :
(a)∃x∈R,∀y∈R, x +y > 0 ; (b)∀x∈R,∃y∈R, x +y > 0 ;
(c)∀x∈R,∀y∈R, x +y > 0 ; (d)∃x∈R,∀y∈R, y2> x.
(1) Les assertions a,b,c,dsont-elles vraies ou fausses ?
(2) Donner leur négation.
Exercice 7. Nier les assertions suivantes :
1) tout triangle rectangle possède un angle droit ;
2) dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
3) pour tout entier x, il existe un entier ytel que, pour tout entier z, la relation
z < x implique la relation z < x + 1 ;
4) ∀ε > 0,∃α > 0,|x−7/5|< α ⇒ |5x−7|< ε.
Exercice 8. Dire, en justifiant, si les phrases suivantes sont vraies ou fausses et écrire
leur négation :
1. (∀x∈R)(∃n∈N)/(x≤n).
2. (∃M∈R)/(∀n∈N)(|un| ≤ M).
3. (∀x∈R)(∀y∈R)(xy =yx).
4. (∀x∈R)(∃y∈R)/(yxy−1=x).
5. (∀ε > 0)(∃N∈N)/(∀n≥N)(|un|< ε).
Exercice 9. Soit f, g deux fonctions de Rdans R. Traduire en terme de quantifica-
teurs les expressions suivantes :
1. fest majorée ;
2. fest bornée ;
3. fest paire ;
4. fest impaire ;
5. fne s’annule jamais ;
6. fest périodique ;
7. fest croissante ;
8. fest strictement décroissante ;
9. fn’est pas la fonction nulle ;
10. fn’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ;
11. fatteint toutes les valeurs de N;
12. fest inférieure à g;
13. fn’est pas inférieure à g.
Exercice 10. Montrer par récurrence :
1. ∀n∈N∗,1 + 2 + ··· +n=n(n+1)
2;
2. ∀n∈N∗,12+ 22+··· +n2=n(n+1)(2n+1)
6.

2. ENSEMBLES 5
2. Ensembles
Exercice 1. Montrer par contraposition les assertions suivantes, Eétant un en-
semble :
1. ∀A, B ∈ P(E) (A∩B=A∪B)⇒A=B,
2. ∀A, B, C ∈ P(E) (A∩B=A∩Cet A ∪B=A∪C) ⇒B=C.
Exercice 2. Soient Eun ensemble et A,B,Ctrois parties de E. Montrer que
(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A).
Exercice 3.x,y,zétant des nombres réels, résoudre le système :
(x−1)(y−2)z= 0
(x−2)(y−3) = 0
Représenter graphiquement l’ensemble des solutions.
Exercice 4. Soit Aune partie de E, on appelle fonction caractéristique de Al’ap-
plication fde Edans l’ensemble à deux éléments {0,1}, telle que :
f(x) = n0 si x /∈A
1 si x ∈A
Soit Aet Bdeux parties de E,fet gleurs fonctions caractéristiques. Montrer
que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on
déterminera :
1−f;fg ;f+g−fg.
Exercice 5. Donner la liste des éléments de P(P({1,2})).
Exercice 6. Soient A, B ⊂E. Résoudre les équations en l’inconnue X⊂E
1. A∪X=B.
2. A∩X=B.