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Les ensembles usuels de nombres
Nous pouvons nous demander combien il y a de moutons dans un troupeau. Dans la vie courante, nous
cherchons toujours le nombre d’objets, le nombre de situations, le nombre de ... Ainsi il semblerait que le fait
de compter est une action vieille comme le monde. Ainsi, nous énonçons: un mouton, …, dix moutons.
Le troupeau contient dix moutons, dix est un entier et mouton est un objet du troupeau. Onze, douze etc.
sont des entiers qui ont été déterminés par la répétition de l’objet mouton. Les entiers naturels se présentent à
l’intuition sous ces aspects et permettent d’exprimer la quantité d’objets que comporte une collection. Au
début de l’humanité, compter c’était mettre en correspondance les objets à compter des éléments de
référence : doigts, entailles sur des bâtons, jetons en terre, etc. , puis de façon plus abstraites, avec des signes
gravés sur des tablettes d’argile. En formalisant ce cheminement, nous allons construire une théorie
axiomatique des entiers naturels en utilisant le langage des ensembles.
Plan
I) Construction de l’ensemble des entiers naturels
A) Axiome de Péano
B) L’addition, la multiplication et propriétés subséquentes
C) Relations d’ordre dans l’ensemble des entiers naturels, unicité de
II) Construction de 
A) Structure algébrique de 2/
B) L’anneau et propriétés premières
C) Relation d’inégalité dans
III) Construction de 
A) Axiome de 2/
B) Le corps et propriétés
C) Relations d’ordre dans
IV) Les nombres décimaux et les nombres réels
A) L’anneau des nombres décimaux
B) Représentation décimale illimité
C) Application à la construction de

I) Construction de l’ensemble des entiers naturels
Les axiomes de Péano permettent une construction des entiers naturels.
A) Axiomes de Péano
Définition
Péano postule l’existence d’un triplet (0, , S), où est un ensemble, 0 un élément particulier de , et
S :
une application qui vérifient les axiomes suivants :
- Pour tout n , il existe un unique n* appelé successeur tel que n* = S(n). Donc, S est injective, c’est-
à-dire pour tout couple (m, n) 2, on a
m* = n* implique m = n.
- Pour tout n , S(n) 0. L’image de S est *.
- Axiome de récurrence : si A contient 0 et telle que n A entraîne S(n) A, alors on a = A.
L’ensemble s’appelle ensemble des entiers naturels. L’élément 0 s’appelle zéro. L’application
S :
s’appelle application successeur. Par définition, cette application est injective. Pour n* , l’élément n
s’appelle le prédécesseur de n*. Zéro est l’unique élément n’ayant pas de prédécesseur. On note
S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, S(3) = 4, S(4) = 5, S(6) = 7, S(7) = 8, S(8) = 9, S(9) = 10...
Théorème
Si (n) est une propriété dépendant du nombre entier naturel n telle que les deux assertions suivantes soient
vérifiées :
i- (0) est vrai
ii- Si (n) est vrai, alors (S(n)) est vrai
Alors (n) est vrai pour tout entier naturel n.
Preuve
Soit A l’ensemble de tous les entiers naturels n tels que (n) soit vrai. Alors 0 est élément de A en vertu de
l’hypothèse i- et si n A, alors n* A en vertu de l’hypothèse ii-. Puisque A est un ensemble vérifiant les
axiomes de Péano, on a = A. Cela signifie bien que pour un entier naturel n quelconque (n) est vrai.
Théorème
i) Soit x . Pour tout y , il existe une application unique x : vérifiant
- x(0) = x
- y , x(S(y)) = S( x(y)).
ii) Soit x . Pour tout y , il existe une application unique p : vérifiant
- p(x, 0) = 0.
- y , p(x, S(y)) = p(x, y) (x).

iii) Il existe une et une seule application, notée +, de dans vérifiant
1)(S,
)(S)(S,,
0,
nnn
qpqpqp
nnn
.
iv) Il existe une unique application, notée , ou . , ou sans symbole, de dans vérifiant
pqpqpqp
nn
)1(,,
00,
.
Preuve
i)
Unicité
Pour x fixé quelconque dans , considérons deux application x : et x : deux applications
vérifiant
- x(0) = x(0) = 0.
- y , x(S(y)) = S( x(y)) et x(S(y)) = S( x(y)).
Supposons par récurrence que x(n) = x(n) = c, alors
x(S(n)) = S( x(n)) x(n*) = S( x(n)) = d.
De même,
x(S(n)) = S( x(n)) x(n*) = S( x(n)).
Comme x(n) = x(n) = c et par injectivité de S, on a
S( x(n)) = S( x(n)) = d x(n*) = x(n*).
Par application du théorème de récurrence, on a
x(n) = x(n)
pour tout n, donc x = x.
Existence
Pour montrer l’existence d’une telle application x, on peut montrer l’existence d’un élément x(y) pour
tout y . Posons
A = {y / x(y) existe et x(S(y)) = S( x(y))}.
Il est clair que 0, 1 A puisque x(0) = x existe et
x(S(0)) = x(1) = S( x(0)) = S(x) = x*.
Supposons que n A et montrons que n* A. Pour cela, il suffit de vérifier que x(n*) existe. Par définition
x(n*) = x(S(n)).
Or on a
x(S(n)) = S( x(n))
par récurrence. Comme x(n) , il existe un unique x(n)* tel que S( x(n)) = x(n)*. On en déduit de
là l’existence de x(n*). Donc n* A. L’axiome de récurrence montre que A = .
ii)

Unicité
Pour x fixé quelconque dans , considérons deux application p : et p
: deux
applications vérifiant
- p(x, 0) = p(x, 0) = 0.
- y , p(x, S(y)) = p(x, y) (x) et p(x, S(y)) = p (x, y) (x).
Supposons par récurrence que p(x, n) = p(x, n) = c, alors
p(x, S(n)) = p(x, n) (x) p(x, n*) = p(x, n) (x).
De même,
p(x, S(n)) = p (x, y) (x) p(x, n*) = p (x, y) (x).
Comme p(x, n) = p(x, n), on obtient
p(x, n) (x) = p (x, y) (x) p(x, n*) = p(x, n*).
Par application du théorème de récurrence, on a
p(x, n) = p(x, n).
pour tout n, donc p = p.
Existence
Pour montrer l’existence d’une telle application x, on peut montrer l’existence d’un élément p(x, S(y))
pour tout y . Posons
A = {y / p(x, S(y)) existe et p(x, S(y)) = p(x, y) (x)}.
Il est clair que 0, 1 A puisque p(x, 0) = 0 existe et
p(x, S(0)) = p(x, 1) = p(x, 0) (x) = 0(x) .
Supposons que n A et montrons que n* A. Pour cela, il suffit de vérifier que p(x, n*) existe. Par
définition
p(x, n*) = p(x, S(n)).
Or on a
p(x, S(n)) = p(x, n) (x).
par récurrence. Comme p(x, n) , il existe un unique p(x, n) (x) . On en déduit l’existence de p(x, n*).
Donc n* A. L’axiome de récurrence montre que A = .
iii) Définissons l’application (x, y) x + y = x(y) de dans . C’est bien une loi de composition interne.
On a par ailleurs
- n , n + 0 = n(0) = n.
- p , q , p + S(q) = p(S(q)) = S( p(q)) = S(p + q).
- Avec S(0) = 1, il vient
n + 1 = n + S(0) = n(S(0)) = S( n(0)) = S(n).
iv) De même, définissons l’application (x, y) xy = p(x, y) de dans . C’est bien une loi de
composition interne. On a aussi
- n , n0 = p(n, 0) = 0

- m, n , m(n + 1) = m S(n) = p(m, S(n)) = p(m, n) (m) = p(m, n) + m) = mn + m.
B) L’addition, la multiplication et propriétés subséquentes
Définition
L’application , (p, q) p + q est une loi interne sur appelé addition. Si (p, q) ,
p + q
est appelé somme de p et de q.
L’application , (p, q) p q est une loi interne sur appelé multiplication. Si (p, q) ,
p q
est appelé produit de p et de q.
On peut définir la puissance n-ième d’un entier naturel n. On définit par récurrence
m0 = 1 et mn+1 = mnm.
On verra que l’application ainsi définie (m, n) mn est une loi de composition interne.
Forme définitive du théorème de récurrence
Comme S(n) = n + 1, on peut écrire (S(n)) = (n + 1). Avec cette notation additif, on obtient la forme
définitive du théorème de récurrence. Si (n) est une propriété dépendant du nombre entier naturel n telle que
i- On suppose (0).
ii- On suppose également que pour tout n: (n) (n + 1).
Alors pour tout entier n, (n).
Le raisonnement par récurrence admet plusieurs variantes, dont celle-ci, qui ne diffère de l’original que par le
“pas initial” qui peut se situer en n0 (entier naturel) plutôt qu’en 0 :
Soit n0 un entier naturel.
i - Soit (n0).
ii- Si, pour n n0, (n) (n + 1).
Alors pour tout entier n n0, (n).
Une autre variante réside dans la manière d’avancer dans la récurrence. Il arrive en effet que l’hypothèse (n)
seule soit insuffisante pour démontrer (n + 1). Le cas le plus fréquent est celui de la récurrence double, où le
pas initial et l’hypothèse de récurrence portent sur deux entiers consécutifs.
i- Soit (n0) et (n0 + 1)
ii- Si, pour tout n n0, (n) et (n + 1) (n + 2).
Alors, n n0, (n).
Il reste à voir une dernière version du raisonnement par récurrence: récurrence forte.
Pour démontrer (n + 1) on peut en effet utiliser tout ou partie des hypothèses (n0), (n0 + 1), ..., et (n).
i- Soit n0 un entier, on suppose (n0).
ii- On suppose aussi que : ( n n0, ( (n0), (n0 + 1), . . . , (n))) (n + 1).
Alors, n n0, (n).
Propriété
i) L’addition entre entiers possède les propriétés suivantes :