table de caractère et sous-groupe distingué.

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Table de caractères et étude des sous-groupes distingués d’un groupe fini G.
[Pey]
Soit Gun groupe de cardinal fini et rson nombre de classes de conjuaison. On note χ1, . . . , χr,
les rcaractères irréductibles associés à (φ1, V1),...,(φr, Vr)qui sont rreprésentations irréduc-
tibles non isomorphes constituant un système de représentants des représentations irréductibles
de G. Toute représentation irréductible ρ:G−→ GL(V)est donc isomorphe à une unique
représentation irréductible φi:G−→ GL(Vi)pour i∈[[1, r]].
Proposition 1. Soit Vun C-ev, dimC(V) = net ρ:G−→ GL(V)une représentation de G.
1. Kχ={g∈G|χV(G) = χV(1G) = dimC(V) = n}=Ker(ρ)et Kχ G.
2. H  G ⇐⇒ il existe ρ:G−→ GL(V)tel que H=Ker(ρ) = KχV.
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que Ker(ρ) = {g∈G|χV(G) = χV(1G)}. Soit g∈Ker(ρ), alors ρ(g) = Id
et χV(g) = Tr(ρ(g)) = Tr(Id) = n=χV(1) = dim(V). Inversement, supposons que g∈Get
vérifie χV(g) = χV(1). Alors, pour g∈Gon a :
Id =ρ(1) = ρ(gcard(G)) = ρ(g)card(G)et Xcard(G)−1annule ρ(g)
Ainsi, ρ(g)est donc diagonalisable sur Ccar annulé par un polynôme scindé à racines simples de
C[X]. Les valeurs propres de ρ(g)notées λ1, . . . , λncomptées avec multiplicité sont des racines de
l’unité car des racines du polynôme annulateur Xcard(G)−1. Comme
n
P
i=1
λi=χV(g) = χV(1) = n
on a |
n
P
i=1
λi|=
n
P
i=1
|λi|=net il y a égalité dans l’inégalité triangulaire. Nécessairement, pour tout
i6=j, il existe αi,j >0tel que λi=αi,j λjet par simple passage au module on a αi,j = 1. Ainsi,
tous les λisont égaux notés λet finalement
n
P
i=1
λ=nλ =n=⇒λ= 1 =⇒ρ(g)est semblable à Id, puis ρ(g) = Id
De plus Kχ=Ker(ρ)est distingué dans Gcomme noyau d’un morphisme de groupe.
Etape 2 : Supposons que Hsoit le noyau d’une représentation de G, alors naturellement H  G.
Inversement, supposons H  G, alors G/H est muni d’une structure de groupe et l’on note
m= [G:H]son cardinal. Considérons, la représentation régulière de G/H. En indéxant par
G/H, les éléments de la base canonique de Cm, cette représentation est on le rappelle définit
par :
ρ:G/H −→ GL(Cm)
g7−→ ρ(g) : es7−→ eg.s
et est fidèle, i.e injective. En effet, l’égalité ρ(g) = Id implique alors : ∀s∈G, g.s =s=⇒g= 1.
En considérant la composée ρ1=ρ◦πoù π:G−→ G/H désigne la projection canonique de G
sur G/H, on a : Ker(ρ1) = {g∈G|ρ(g) = Id}={g∈G|g= 1}=H. D’où le résultat.
Le théorème suivant va préciser comment déterminer les sous-groupes distingués de G, à l’aide
de l’étude de la table de caractère :
Théorème 1. Soit Gun groupe fini. Avec les notations précédentes, les sous-groupes distingués
de Gsont exactement les intersections T
i∈I
Kχipour I⊂[[1, r]].
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons H  G. Alors il existe une représentation ρ:G−→ GL(V)telle que
H=Ker(ρ) = KχV. Or, toute représentation se décomposant en somme directe de sous-
représentations irreductibles, il existe des sous-espaces W1, . . . , WmG-stables et irréductibles
tels que V=
m
L
i=1
Wi. Ainsi, pour x=x1+. . . +xm∈
m
L
i=1
Wiet g∈G, on a :
ρ(g)(x) = ρ1(g)(x1) + . . . +ρm(g)(xm)avec ρi:G−→ GL(Wi)définie par ρi(g) = ρ(g)|Wi
Objectif : montrons que Ker(p) =
m
T
i=1
Ker(ρi). Pour x=x1+. . .+xm∈W1⊕. . .⊕Wmet g∈G
on a : ρ(g)(x) = x⇐⇒ ρ1(g)(x1)+. . .+ρm(g)(xm) = x1+. . .+xm. Par unicité de la décomposition
d’un élément dans V=W1⊕. . . ⊕Wm, il vient : ρ(g)(x) = x⇐⇒ ∀i∈[[1, m]], ρi(g)(xi) = xi
soit :

2
Ker(p) =
m
T
i=1
Ker(ρi).
Enfin, parmi les représentations (ρi, Wi), il y en a exactement ai=< χV, χi>∈N, isormorphes à
la représentation irréductible (φi, Vi). Deux représentations isomorphes, ayant le même caractère,
d’après la proposition 1, elles ont en particulier le même noyau et donc, dans l’intersection
définissant Ker(ρ), il y a pour j∈[[1, r]] exactement ajnoyaux égaux à Kχj. Il vient donc :
Ker(ρ) = KχV=T
i∈I
Kχipour I={i∈[[1, r]] |ai6= 0} ⊂ [[1, r]].
Etape 2 : Inversement si H=T
i∈I
Kχi, alors Hest un sous-groupe distingué de Gcomme
intersection de sous-groupes distingués de G.
Sous-groupes distingués de D4.
Application 1. La table de D4:
D4C1C2C3C4C5
nbre d’éléments 1 1 2 2 2
représentants Id r2r s sr
χ11 1 1 1 1
χ21 1 −1−1 1
χ31 1 −11−1
χ41 1 1 −1−1
χ52−2 0 0 0
donne exactement 4groupes distingués non triviaux :
• {Id, r2, rs, sr} ' Z/2Z×Z/2Z
• {Id, r2, s, sr2} ' Z/2Z×Z/2Z
• {Id, r, r2, r3} ' Z/4Z
• {Id, r2} ' Z/2Z.
Démonstration. :
Etape 1 : (A admettre) déterminons les classes de conjugaison de D4. La structure du groupe
diédral D4nous donne :
•rs =sr−1=⇒r=sr−1s=sr3set r, r3sont dans la même classe de conjugaison.
• {Id}est clairement une classe de conjugaison.
•s=rsr =⇒s=rsr5=r(sr2)r3=r(sr2)r−1. Ainsi set sr2sont dans la même classe de
conjugaison. On vérifie de même facilement à l’aide de la relation s=rsr que les conjugués
de spar les éléments de D4sont exactement s, sr2. Soit C(s) = {s, sr2}.
•Comme s2=1=⇒sr =srs2et sr =s(rs)sd’où sr et rs sont dans la même classe de
conjugaison.
Par la formule des classes, les classes de conjugaison, ont un ordre qui divise 8et leur cardinal
est donc à chercher parmi {1,2,4,8}et {Id}constituant une classe de conjugaison, leur cardinal
est à chercher parmi {1,2,4}. De plus, {sr, rs}et {r, r3}ne pouvant pas se trouver dans la même
classe de conjugaison car rs, sr sont de déterminant −1, alors que r, r3sont de déterminant 1,
on dénombre au total 5classes de conjugaison que sont :
C1={Id}, C2={r2}, C3={r, r3=r−1}, C4={s, sr2}, C5={sr, rs}={sr =sr3}.
On a donc (à isomorphismes de représentations près) exactement 5représentations irréductibles
pour D4dont on note (χi)1≤i≤5les caractères irréductibles où χ1désigne le caractère trivial.
Etape 2 : en notant (ni)1≤i≤5les degrés des représentations irréductibles, on a
5
P
i=1
n2
i= 8
ce qui implique (n1, n2, n3, n4, n5) = (1,1,1,1,2) et il y a ainsi 4représentations irréductibles
d’ordre 1pour lesquels les caractères associés sont en particulier des éléments du dual b D4ie
des morphismes de D4dans C∗et un caractère associé à une représentation irréductible d’ordre
2, noté χ5.
Méthode : Pour établir la table des caractères, il suffit de déterminer la valeur des caractères
sur les représentants {Id, r2, r, s, sr}des 5classes de conjugaison. Les (χi)1≤i≤4étant de degré 1,
ce sont des morphismes de groupes de D4−→ C∗et on a s2=Id =⇒χi(s)2=1=⇒χi(s) = ±1,
de même (rs)2=Id =⇒χ(rs)2=1=⇒χi(rs) = ±1. De plus,

3
χi(r) = χi(rs2) = χi(rs)χi(s)et donc χi(r)2=χi(r2) = 1 =⇒χi(r) = ±1.
Les caractères (χi)1≤i≤4étant irréductibles non isomorphes, ils ne peuvent prendre les mêmes
valeurs sur l’ensemble des représentants {Id, r2, r, s, sr}, ce qui nous donne une table de la forme :
D4C1C2C3C4C5
nbre d’éléments 1 1 2 2 2
représentants Id r2r s sr
χ11 1 1 1 1
χ21 1 −1−1 1
χ31 1 −1 1 −1
χ41 1 1 −1−1
χ52 ? ? ? ?
On détermine la ligne correspondant à χ5, grâce aux relations d’orthogonalité :
D4C1C2C3C4C5
nbre d’éléments 1 1 2 2 2
représentants Id r2r s sr
χ11 1 1 1 1
χ21 1 −1−1 1
χ31 1 −1 1 −1
χ41 1 1 −1−1
χ52−2 0 0 0
Ainsi, on obtient :
•Kχ1=D4
•Kχ2={Id, C2, C5}={Id, r2, rs, sr} ' Z/2Z×Z/2Z.
•Kχ3={Id, C2, C4}={Id, r2, s, sr2} ' Z/2Z×Z/2Z.
•Kχ4={Id, C2, C3}={Id, r, r2, r3} ' Z/4Z.
•Kχ5={Id}.
De plus, Kχ2∩Kχ3=Kχ2∩Kχ4=Kχ3∩Kχ4={Id, r2}. Les autres intersections nous donnant
les groupes déjà obtenus ci-dessus.
Rappel 1. Deux représentations ρ1:G−→ GL(V1)et ρ2:G−→ GL(V2)sont isomorphes si et
seulement si elles ont même caractère.
Rappel 2. D4=< r, s > avec r4=Id,s2=Id et sr−1=rs où rdésigne par exemple la rotation
de centre Oet d’angle π
2et sune réflexion préservant le carrée unité. On a en particulier :
D4={Id, r, r2, r3=r−1
| {z }
rotations
, s, sr, sr2, sr3
| {z }
réflexions
}.
Application 2. Gest simple ssi ∀i6= 1,∀g6= 1 ∈G, χi(g)6=χi(1) où on a noté χ1le caractère
associé à la représentation triviale.
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons qu’il existe g6= 1 et i6= 1 tel que χi(g) = χi(1). Alors, Kχiest donc un
sous-groupe distingué de Gnon trivial.
Etape 2 : Si Gn’est pas simple, alors il existe g6= 1 dans un sous-groupe N  G non trivial. Par
ce qui précède, N=T
i∈I
Kχipour I⊂[[1, r]] et en particulier Nétant non trivial, g∈Kχipour
un i∈[[2, r]] pour lequel on a donc χi(g) = χi(1) ce qui achève de montrer le résultat.
Référence : Algèbre discrète de la transformée de Fourier. Gabriel Peyré.