table de caractère et sous-groupe distingué.

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Table de caractères et étude des sous-groupes distingués d’un groupe fini G.
[Pey]
Soit G un groupe de cardinal fini et r son nombre de classes de conjuaison. On note χ1 , . . . , χr ,
les r caractères irréductibles associés à (φ1 , V1 ), . . . , (φr , Vr ) qui sont r représentations irréductibles non isomorphes constituant un système de représentants des représentations irréductibles
de G. Toute représentation irréductible ρ : G −→ GL(V ) est donc isomorphe à une unique
représentation irréductible φi : G −→ GL(Vi ) pour i ∈ [[1, r]].
Proposition 1. Soit V un C-ev, dimC (V ) = n et ρ : G −→ GL(V ) une représentation de G.
1. Kχ = {g ∈ G | χV (G) = χV (1G ) = dimC (V ) = n} = Ker(ρ) et Kχ / G.
2. H / G ⇐⇒ il existe ρ : G −→ GL(V ) tel que H = Ker(ρ) = KχV .
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que Ker(ρ) = {g ∈ G | χV (G) = χV (1G )}. Soit g ∈ Ker(ρ), alors ρ(g) = Id
et χV (g) = Tr(ρ(g)) = Tr(Id) = n = χV (1) = dim(V ). Inversement, supposons que g ∈ G et
vérifie χV (g) = χV (1). Alors, pour g ∈ G on a :
Id = ρ(1) = ρ(g card(G) ) = ρ(g)card(G) et X card(G) − 1 annule ρ(g)
Ainsi, ρ(g) est donc diagonalisable sur C car annulé par un polynôme scindé à racines simples de
C[X]. Les valeurs propres de ρ(g) notées λ1 , . . . , λn comptées avec multiplicité sont des racines de
n
P
l’unité car des racines du polynôme annulateur X card(G) −1. Comme
λ = χ (g) = χ (1) = n
i
on a |
n
P
i=1
λi | =
n
P
V
V
i=1
|λi | = n et il y a égalité dans l’inégalité triangulaire. Nécessairement, pour tout
i=1
αi,j
i 6= j, il existe
> 0 tel que λi = αi,j λj et par simple passage au module on a αi,j = 1. Ainsi,
tous les λi sont égaux notés λ et finalement
n
P
λ = nλ = n =⇒ λ = 1 =⇒ ρ(g) est semblable à Id, puis ρ(g) = Id
i=1
De plus Kχ = Ker(ρ) est distingué dans G comme noyau d’un morphisme de groupe.
Etape 2 : Supposons que H soit le noyau d’une représentation de G, alors naturellement H / G.
Inversement, supposons H / G, alors G/H est muni d’une structure de groupe et l’on note
m = [G : H] son cardinal. Considérons, la représentation régulière de G/H. En indéxant par
G/H, les éléments de la base canonique de Cm , cette représentation est on le rappelle définit
par :
ρ:
G/H
g
−→
7−→
GL(Cm )
ρ(g) : es 7−→ eg.s
et est fidèle, i.e injective. En effet, l’égalité ρ(g) = Id implique alors : ∀s ∈ G, g.s = s =⇒ g = 1.
En considérant la composée ρ1 = ρ ◦ π où π : G −→ G/H désigne la projection canonique de G
sur G/H, on a : Ker(ρ1 ) = {g ∈ G | ρ(g) = Id} = {g ∈ G | g = 1} = H. D’où le résultat.
Le théorème suivant va préciser comment déterminer les sous-groupes distingués de G, à l’aide
de l’étude de la table de caractère :
Théorème 1. Soit G un groupe fini. Avec
T les notations précédentes, les sous-groupes distingués
de G sont exactement les intersections
Kχi pour I ⊂ [[1, r]].
i∈I
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons H / G. Alors il existe une représentation ρ : G −→ GL(V ) telle que
H = Ker(ρ) = KχV . Or, toute représentation se décomposant en somme directe de sousreprésentations irreductibles, il existe des sous-espaces W1 , . . . , Wm G-stables et irréductibles
m
m
L
L
tels que V =
Wi . Ainsi, pour x = x1 + . . . + xm ∈
Wi et g ∈ G, on a :
i=1
i=1
ρ(g)(x) = ρ1 (g)(x1 ) + . . . + ρm (g)(xm ) avec ρi : G −→ GL(Wi ) définie par ρi (g) = ρ(g)|Wi
Objectif : montrons que Ker(p) =
m
T
Ker(ρi ). Pour x = x1 + . . . + xm ∈ W1 ⊕ . . . ⊕ Wm et g ∈ G
i=1
on a : ρ(g)(x) = x ⇐⇒ ρ1 (g)(x1 )+. . .+ρm (g)(xm ) = x1 +. . .+xm . Par unicité de la décomposition
d’un élément dans V = W1 ⊕ . . . ⊕ Wm , il vient : ρ(g)(x) = x ⇐⇒ ∀i ∈ [[1, m]], ρi (g)(xi ) = xi
soit :
2
Ker(p) =
m
T
Ker(ρi ).
i=1
Enfin, parmi les représentations (ρi , Wi ), il y en a exactement ai =< χV , χi >∈ N, isormorphes à
la représentation irréductible (φi , Vi ). Deux représentations isomorphes, ayant le même caractère,
d’après la proposition 1, elles ont en particulier le même noyau et donc, dans l’intersection
définissant Ker(ρ), il y a pour j ∈ [[1, r]] exactement aj noyaux égaux à Kχj . Il vient donc :
T
Ker(ρ) = KχV =
Kχi pour I = {i ∈ [[1, r]] | ai 6= 0} ⊂ [[1, r]].
i∈I
Etape 2 : Inversement si H =
T
Kχi , alors H est un sous-groupe distingué de G comme
i∈I
intersection de sous-groupes distingués de G.
Sous-groupes distingués de D4 .
D4
C1
nbre d’éléments 1
représentants
Id
χ1
1
Application 1. La table de D4 :
χ2
1
χ3
1
χ4
1
χ5
2
donne exactement 4 groupes distingués non triviaux :
• {Id, r2 , rs, sr} ' Z/2Z × Z/2Z
• {Id, r2 , s, sr2 } ' Z/2Z × Z/2Z
• {Id, r, r2 , r3 } ' Z/4Z
• {Id, r2 } ' Z/2Z.
C2
1
r2
1
1
1
1
−2
C3
2
r
1
−1
−1
1
0
C4 C5
2
2
s
sr
1
1
−1 1
1 −1
−1 −1
0
0
Démonstration. :
Etape 1 : (A admettre) déterminons les classes de conjugaison de D4 . La structure du groupe
diédral D4 nous donne :
• rs = sr−1 =⇒ r = sr−1 s = sr3 s et r, r3 sont dans la même classe de conjugaison.
• {Id} est clairement une classe de conjugaison.
• s = rsr =⇒ s = rsr5 = r(sr2 )r3 = r(sr2 )r−1 . Ainsi s et sr2 sont dans la même classe de
conjugaison. On vérifie de même facilement à l’aide de la relation s = rsr que les conjugués
de s par les éléments de D4 sont exactement s, sr2 . Soit C(s) = {s, sr2 }.
• Comme s2 = 1 =⇒ sr = srs2 et sr = s(rs)s d’où sr et rs sont dans la même classe de
conjugaison.
Par la formule des classes, les classes de conjugaison, ont un ordre qui divise 8 et leur cardinal
est donc à chercher parmi {1, 2, 4, 8} et {Id} constituant une classe de conjugaison, leur cardinal
est à chercher parmi {1, 2, 4}. De plus, {sr, rs} et {r, r3 } ne pouvant pas se trouver dans la même
classe de conjugaison car rs, sr sont de déterminant −1, alors que r, r3 sont de déterminant 1,
on dénombre au total 5 classes de conjugaison que sont :
C1 = {Id}, C2 = {r2 }, C3 = {r, r3 = r−1 }, C4 = {s, sr2 }, C5 = {sr, rs} = {sr = sr3 }.
On a donc (à isomorphismes de représentations près) exactement 5 représentations irréductibles
pour D4 dont on note (χi )1≤i≤5 les caractères irréductibles où χ1 désigne le caractère trivial.
Etape 2 : en notant (ni )1≤i≤5 les degrés des représentations irréductibles, on a
5
P
i=1
n2i = 8
ce qui implique (n1 , n2 , n3 , n4 , n5 ) = (1, 1, 1, 1, 2) et il y a ainsi 4 représentations irréductibles
b 4 ie
d’ordre 1 pour lesquels les caractères associés sont en particulier des éléments du dual D
∗
des morphismes de D4 dans C et un caractère associé à une représentation irréductible d’ordre
2, noté χ5 .
Méthode : Pour établir la table des caractères, il suffit de déterminer la valeur des caractères
sur les représentants {Id, r2 , r, s, sr} des 5 classes de conjugaison. Les (χi )1≤i≤4 étant de degré 1,
ce sont des morphismes de groupes de D4 −→ C∗ et on a s2 = Id =⇒ χi (s)2 = 1 =⇒ χi (s) = ±1,
de même (rs)2 = Id =⇒ χ(rs)2 = 1 =⇒ χi (rs) = ±1. De plus,
3
χi (r) = χi (rs2 ) = χi (rs)χi (s) et donc χi (r)2 = χi (r2 ) = 1 =⇒ χi (r) = ±1.
Les caractères (χi )1≤i≤4 étant irréductibles non isomorphes, ils ne peuvent prendre les mêmes
valeurs sur l’ensemble des représentants {Id, r2 , r, s, sr}, ce qui nous donne une table de la forme :
D4
nbre d’éléments
représentants
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
C1
1
Id
1
1
1
1
2
C2
1
r2
1
1
1
1
?
C3
2
r
1
−1
−1
1
?
C4
2
s
1
−1
1
−1
?
C5
2
sr
1
1
−1
−1
?
On détermine la ligne correspondant à χ5 , grâce aux relations d’orthogonalité :
D4
nbre d’éléments
représentants
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
C1
1
Id
1
1
1
1
2
C2
1
r2
1
1
1
1
−2
C3
2
r
1
−1
−1
1
0
C4
2
s
1
−1
1
−1
0
C5
2
sr
1
1
−1
−1
0
Ainsi, on obtient :
• Kχ1 = D4
• Kχ2 = {Id, C2 , C5 } = {Id, r2 , rs, sr} ' Z/2Z × Z/2Z.
• Kχ3 = {Id, C2 , C4 } = {Id, r2 , s, sr2 } ' Z/2Z × Z/2Z.
• Kχ4 = {Id, C2 , C3 } = {Id, r, r2 , r3 } ' Z/4Z.
• Kχ5 = {Id}.
De plus, Kχ2 ∩ Kχ3 = Kχ2 ∩ Kχ4 = Kχ3 ∩ Kχ4 = {Id, r2 }. Les autres intersections nous donnant
les groupes déjà obtenus ci-dessus.
Rappel 1. Deux représentations ρ1 : G −→ GL(V1 ) et ρ2 : G −→ GL(V2 ) sont isomorphes si et
seulement si elles ont même caractère.
Rappel 2. D4 =< r, s > avec r4 = Id, s2 = Id et sr−1 = rs où r désigne par exemple la rotation
π
et s une réflexion préservant le carrée unité. On a en particulier :
de centre O et d’angle
2
D4 = {Id, r, r2 , r3 = r−1 , s, sr, sr2 , sr3 }.
|
{z
} |
{z
}
rotations
réflexions
Application 2. G est simple ssi ∀i 6= 1, ∀g 6= 1 ∈ G, χi (g) 6= χi (1) où on a noté χ1 le caractère
associé à la représentation triviale.
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons qu’il existe g 6= 1 et i 6= 1 tel que χi (g) = χi (1). Alors, Kχi est donc un
sous-groupe distingué de G non trivial.
Etape 2 : Si G n’est T
pas simple, alors il existe g 6= 1 dans un sous-groupe N / G non trivial. Par
ce qui précède, N =
Kχi pour I ⊂ [[1, r]] et en particulier N étant non trivial, g ∈ Kχi pour
i∈I
un i ∈ [[2, r]] pour lequel on a donc χi (g) = χi (1) ce qui achève de montrer le résultat.
Référence : Algèbre discrète de la transformée de Fourier. Gabriel Peyré.