Exercices du manuel pour le chapitre 01 (complexes : partie 1)

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
Exercices du manuel pour le chapitre 01 (complexes : partie 1)
0.1 Énoncés : page 254 et suivantes
Exercice 13. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
1. z1=−4
z2=i√3
z3=1
i
2. z4=√3
3−i√3 3
z5= (1 −i)(1 + i)
Exercice 14. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
1. z1= (1 −i)(−3i)
z2=1 + i√32
2. z3=−i
1 + i
z4=√3−i
1 + i
Roussot 1 2011 / 2012

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
0.2 Réponses
Exercice 13. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
Rappel : il n’y a pas unicité de l’écriture trigonométrique (contrairement à l’écriture algébrique) car il
n’y a pas unicité de l’argument d’un complexe.
1. •z1= 4(cos π+isin π).
•z2=√3(cos π
2+isin π 2).
•z3= cos −π
2+isin −π 2.
2. •z4=√6
3cos −π 4+isin −π 4.
•z5= 2(cos 0 + isin 0).
Remarque : Pour savoir vérifier que l’argument que vous avez trouvé convient, il faut faire la différence
entre l’argument que vous avez trouvé et celui de la correction, puis ensuite vérifier si le résultat est un
multiple de 2π; exemple : pour z4, vous avez trouvé −25π
4: vous calculez la différence −25π 4−−π 4=
−25π
4+π 4=−24π 4=−6π=−3×2πdonc −25π 4convient −25π 4=−π 4[2π].
Exercice 14. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
1. •z1= 3√2cos −3π
4+isin −3π 4.
•z2= 4 cos 2π
3+isin 2π 3.
2. •z3=√2
2cos −3π 4+ sin −3π 4
•z4=√2cos −5π
12 +isin −5π 12 
Roussot 2 2011 / 2012

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
0.3 Solutions rédigées
Exercice 13. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
Rappel : il n’y a pas unicité de l’écriture trigonométrique (contrairement à l’écriture algébrique) car il
n’y a pas unicité de l’argument d’un complexe.
1. •z1=−4
|z1|2= (−4)2+ 02= 16 donc |z1|= 4. De plus z1∈R∗
−donc arg(z1) = π[2π].
Ainsi z1= 4(cos π+isin π).
•z2=i√3
|z2|2= 02+ (√3)2= 3 donc |z2|=√3. De plus z2∈iR∗
+(ie z2∈iRet Im(z2)>0) donc
arg(z2) = π
2[2π].
Ainsi z2=√3(cos π
2+isin π 2).
•z3=1
i=i i2=i −1=−i
L’écriture trigonométrique a été vue en classe : −i= cos −π
2+isin −π 2.
Je vais tout de même (trop) détailler la méthode : z3=−i= 0 + (−1)iainsi Re(z3)=0et
Im(z3) = −1.
|z3|2= (Re(z3))2+ (Im(z3))2= 02+ (−1)2= 1 donc |z3|= 1 (−1est exclu car un module est
positif).
En notant θ= arg(z3) [2π], on a alors cos(θ) = Re(z3)
|z3|=0 1= 0 et sin(θ) = Im(z3) |z3|=−1 1=−1.
On reconnait des valeurs remarquables de cosinus et sinus du cercle trigonométrique : θ=
−π
2[2π].
D’où z3= cos −π
2+isin −π 2.
2. •z4=√3
3−i√3 3
|z4|2= √3
3!2
+ −√3
3!2
=3
9+3 9=6 9donc |z4|=r6 9=√6 3.
En notant θ= arg(z4) [2π],cos θ=
√3
3
√6
3
=√3
√6=√3 √2×√3=1 √2=√2
2et sin θ=−√3
3
√6
3
=
−√2
2,
donc θ=−π
4[2π].
D’où z4=√6
3cos −π 4+isin −π 4.
•z5= (1 −i)(1 + i) = 12−i2= 1 + 1 = 2
2∈R∗
+=⇒arg(z5) = 0 [2π]d’où z5= 2(cos 0 + isin 0).
Remarque : Pour savoir vérifier que l’argument que vous avez trouvé convient, il faut faire la différence
entre l’argument que vous avez trouvé et celui de la correction, puis ensuite vérifier si le résultat est un
multiple de 2π; exemple : pour z4, vous avez trouvé −25π
4: vous calculez la différence −25π 4−−π 4=
Roussot 3 2011 / 2012

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
−25π
4+π 4=−24π 4=−6π=−3×2πdonc −25π 4convient −25π 4=−π 4[2π].
Exercice 14. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
1. •z1= (1 −i)(−3i)
Déterminons module et argument du premier facteur : |1−i|=p12+ (−1)2=√2;
cos θ=1
√2=√2
2et sin θ=−1
√2=−√2
2d’où θ= arg(1 −i) = −π 4.
D’autre part −3i= 3 ×(−i) = 3 cos −π
2+isin −π 2(d’après l’exemple vu en classe),
ainsi | − 3i|= 3 et arg(−3i) = −π
2.
Donc |z1|=√2×3=3√2et arg(z1) = −π
4+−π 2=−π 4−2π 4=−3π 4
donnant z1= 3√2cos −3π
4+isin −3π 4.
Autre rédaction possible en développant l’expression de départ de z1pour trouver son écriture
algébrique ... (pas forcément plus long dans le cas présent)
•z2=1 + i√32
|1 + i√3|=q12+ (√3)2=√4=2et (avec une légère variation sur la rédaction pour trouver
une forme trigonométrique du complexe : en factorisant par le module)
alors 1 + i√3=2 1
2+i√3 2!= 2 cos π 3+isin π 3donc arg(1 + i√3) = π 3[2π].
Donc |z2|= 22= 4 et arg(z2)=2×π
3=2π 3[2π], d’où z2= 4 cos 2π 3+isin 2π 3.
2. •Rédaction rapide mais suffisante (nécessitant le calcul au brouillon ou de tête du module) :
z3=−i
1 + i=−i(1 −i) 12+ 12=−1−i 2=−1 2+i−1 2=1
√2 −√2
2+i−√2 2!=√2 2cos −3π 4+ sin −3π 4
•z4=√3−i
1 + i
Résolution 1. Déterminons module et argument du numérateur : |√3−i|=q(√3)2+ (−1)2=√4=2;
cos θ=√3
2et sin θ=−1 2donc θ= arg(√3−i) = −π 6[2π].
Puis module et argument du dénominateur : |1 + i|=√12+ 12=√2;
cos θ0=1
√2=√2
2et sin θ0=1
√2=√2
2donc θ0= arg(1 + i) = π 4[2π].
Enfin en passant au quotient, on obtient : |z4|=2
√2=√2×√2 √2=√2
et arg(z4) = θ−θ0=−π
6−π 4=−2π 12 −3π 12 =−5π 12 [2π]
d’où z4=√2cos −5π
12 +isin −5π 12 .
Résolution 2. ici on va seulement trouver une valeur approchée d’un argument du complexe, cette rédaction
est donc moins pertinente :
z4=(√3−i)(1 −i)
12+ 12=√3−i√3−i+i2 2=(√3−1) + i(−√3−1) 2
|z4|2= √3−1
2!2
+ −√3−1
2!2
=3−2√3+1
4+3+2√3+1 4=8 4= 2 d’où |z4|=√2.
Ainsi cos(arg(z4)) = √3−1
2√2=√6−√2
4et sin(arg(z4)) = −√3−1
2√2=−√6−√2
4.
Roussot 4 2011 / 2012

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique) Terminale S
On ne reconnait pas de valeurs remarquables du cercle trigonométrique, on utilise donc la
touche « cos-1 » (« arccos ») qui donne l’angle de l’intervalle [0; π]dont le cosinus est celui
entré : cos−1 √6−√2
4!'1,31
Ainsi arg(z4)'1,31 [2π]ou arg(z4)' −1,31 [2π].
Or sin(arg(z4)) = −√6−√2
4<0.
Donc arg(z4)' −1,31 [2π].
Remarque : −5π
12 ' −1,31.
Roussot 5 2011 / 2012