Exercices du manuel pour le chapitre 01 (complexes : partie 1)

Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
Terminale S
Exercices du manuel pour le chapitre 01 (complexes : partie 1)
0.1 Énoncés : page 254 et suivantes
Exercice 13. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
√
√
3
3
2. z4 =
−i
3
3
z5 = (1 − i)(1 + i)
1. z1 = −4
√
z2 = i 3
1
z3 =
i
Exercice 14. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
−i
1
√+ i
3−i
z4 =
1+i
1. z1 = (1 − i)(−3i)
√ 2
z2 = 1 + i 3
Roussot
2. z3 =
1
2011 / 2012
Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
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0.2 Réponses
Exercice 13. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
Rappel : il n’y a pas unicité de l’écriture trigonométrique (contrairement à l’écriture algébrique) car il
n’y a pas unicité de l’argument d’un complexe.
1. • z1 = 4(cos π + i sin π).
π π √
• z2 = 3(cos
+ i sin
).
2
2
−π
−π
• z3 = cos
+ i sin
.
2
2
√ π
π 6
2. • z4 =
cos −
+ i sin −
.
3
4
4
• z5 = 2(cos 0 + i sin 0).
Remarque : Pour savoir vérifier que l’argument que vous avez trouvé convient, il faut faire la différence
entre l’argument que vous avez trouvé et celui de la correction, puis ensuite vérifier si le résultat est un
−25π
−25π π multiple de 2π ; exemple : pour z4 , vous avez trouvé
: vous calculez la différence
− −
=
4
4
4
−24π
−25π
−25π
−π
−25π π
+ =
= −6π = −3 × 2π donc
convient
=
[2π] .
4
4
4
4
4
4
Exercice 14. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
√
−3π
−3π
1. • z1 = 3 2 cos
+ i sin
.
4
4
2π
2π
+ i sin
.
• z2 = 4 cos
3
3
√ 2
−3π
−3π
2. • z3 =
cos
+ sin
2 4 4 √
−5π
−5π
• z4 = 2 cos
+ i sin
12
12
Roussot
2
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0.3 Solutions rédigées
Exercice 13. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
Rappel : il n’y a pas unicité de l’écriture trigonométrique (contrairement à l’écriture algébrique) car il
n’y a pas unicité de l’argument d’un complexe.
1. • z1 = −4
|z1 |2 = (−4)2 + 02 = 16 donc |z1 | = 4. De plus z1 ∈ R∗− donc arg(z1 ) = π [2π].
Ainsi z1 = 4(cos π + i sin π).
√
• z2 = i 3
√
√
|z2 |2 = 02 + ( 3)2 = 3 donc |z2 | = 3. De plus z2 ∈ iR∗+ (ie z2 ∈ iR et Im(z2 ) > 0) donc
π
arg(z2 ) = [2π].
2√
π π + i sin
).
Ainsi z2 = 3(cos
2
2
1
i
i
• z3 = = 2 =
= −i
i
i
−1
−π
−π
+ i sin
.
L’écriture trigonométrique a été vue en classe : −i = cos
2
2
Je vais tout de même (trop) détailler la méthode : z3 = −i = 0 + (−1)i ainsi Re(z3 ) = 0 et
Im(z3 ) = −1.
|z3 |2 = (Re(z3 ))2 + (Im(z3 ))2 = 02 + (−1)2 = 1 donc |z3 | = 1 (−1 est exclu car un module est
positif).
Re(z3 )
0
Im(z3 )
−1
= = 0 et sin(θ) =
=
= −1.
|z3 |
1
|z3 |
1
On reconnait des valeurs remarquables de cosinus et sinus du cercle trigonométrique : θ =
π
− [2π].
2
−π
−π
D’où z3 = cos
+ i sin
.
2
2
√
√
3
3
2. • z4 =
−i
3 !3
r
√ !2
√ 2
√
3 3
6
3
3
6
6
2
|z4 | =
+ −
= + = donc |z4 | =
=
.
3
3
9 9
9
9
3
√
√
3
3
√
√
√
−
3
3
1
2
3
3
√ = √ =
En notant θ = arg(z4 ) [2π], cos θ = √ = √ = √
et sin θ = √
=
2
6
6
2× 3
2
6
3
3
√
2
−
,
2
π
donc θ = − [2π].
√4 π
π 6
D’où z4 =
cos −
+ i sin −
.
3
4
4
• z5 = (1 − i)(1 + i) = 12 − i2 = 1 + 1 = 2
En notant θ = arg(z3 ) [2π], on a alors cos(θ) =
2 ∈ R∗+ =⇒ arg(z5 ) = 0 [2π] d’où z5 = 2(cos 0 + i sin 0).
Remarque : Pour savoir vérifier que l’argument que vous avez trouvé convient, il faut faire la différence
entre l’argument que vous avez trouvé et celui de la correction, puis ensuite vérifier si le résultat est un
−25π
−25π π : vous calculez la différence
− −
=
multiple de 2π ; exemple : pour z4 , vous avez trouvé
4
4
4
Roussot
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Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
−25π π
−24π
−25π
+ =
= −6π = −3 × 2π donc
convient
4
4
4
4
Terminale S
−25π
−π
=
[2π] .
4
4
Exercice 14. Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
1. • z1 = (1 − i)(−3i)
p
√
2 + (−1)2 =
Déterminons module
et
argument
du
premier
facteur
:
|1
−
i|
=
1
2;
√
√
− 2
1
2
−1
π
cos θ = √ =
et sin θ = √ =
d’où θ = arg(1 − i) = − .
2
2
4
2
2 −π
−π
(d’après l’exemple vu en classe),
D’autre part −3i = 3 × (−i) = 3 cos
+ i sin
2
2
−π
.
ainsi | − 3i| = 3 et arg(−3i) =
2
√
√
π −π
π 2π
−3π
Donc |z1 | = 2 × 3 = 3 2 et arg(z1 ) = − +
=− −
=
4
2
4
4
4
√
−3π
−3π
.
donnant z1 = 3 2 cos
+ i sin
4
4
Autre rédaction possible en développant l’expression de départ de z1 pour trouver son écriture
algébrique ... (pas forcément plus long dans le cas présent)
√ 2
• z2 = 1 + i 3
q
√
√
√
|1 + i 3| = 12 + ( 3)2 = 4 = 2 et (avec une légère variation sur la rédaction pour trouver
une forme trigonométrique du
complexe : en factorisant par le module)
√ !
√
√
1
π
π
π
3
+i
= 2 cos + i sin
donc arg(1 + i 3) = [2π].
alors 1 + i 3 = 2
2
2
3
3
3
2π
2π
2π
π
2
[2π], d’où z2 = 4 cos
+ i sin
.
Donc |z2 | = 2 = 4 et arg(z2 ) = 2 × =
3
3
3
3
2. • Rédaction rapide mais suffisante (nécessitant le calcul au brouillon !
ou de tête du module) :
√
√ √
−i(1 − i)
−1 − i
−1 −1
1
− 2
−3π
−3π
−i
− 2
2
√
= 2
=
=
+i
=
+i
=
cos
+ sin
z3 =
1+i
1 + 12
2
2
2
2
2
2
4
4
2
√
3−i
• z4 =
1+i
q√
√
√
Résolution 1. Déterminons module et argument du numérateur : | 3 − i| = ( 3)2 + (−1)2 = 4 = 2 ;
√
√
3
−1
π
et sin θ =
donc θ = arg( 3 − i) = − [2π].
cos θ =
2
2
6√
√
Puis module et√
argument du dénominateur
:
|1
+
i|
=
12 + 12 = 2 ;
√
2
1
2
π
1
cos θ0 = √ =
et sin θ0 = √ =
donc θ0 = arg(1 + i) = [2π].
2
2
2
2
√
√4
2
2× 2 √
√
Enfin en passant au quotient, on obtient : |z4 | = √ =
= 2
2
2
π π
2π 3π
−5π
et arg(z4 ) = θ − θ0 = − − = −
−
=
[2π]
6
4
12
12
12
√
−5π
−5π
d’où z4 = 2 cos
+ i sin
.
12
12
Résolution 2. ici on va seulement trouver une valeur approchée d’un argument du complexe, cette rédaction
est donc
√ moins pertinente
√: √
√
√
( 3 − i)(1 − i)
3 − i 3 − i + i2
( 3 − 1) + i(− 3 − 1)
z4 =
=
=
12 + 1 2 !
2!
2
√
√
√
√
2
2
√
3−1
− 3−1
3−2 3+1 3+2 3+1
8
2
|z4 | =
+
=
+
= = 2 d’où |z4 | = 2.
2
2
4
4
4
√
√
√
√
√
√
3−1
6− 2
− 3−1
− 6− 2
√
Ainsi cos(arg(z4 )) = √ =
et sin(arg(z4 )) =
=
.
4
4
2 2
2 2
Roussot
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Les nombres complexes : partie algébrique (et effleurement géométrique)
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On ne reconnait pas de valeurs remarquables du cercle trigonométrique, on utilise donc la
touche « cos-1 » (« arccos!») qui donne l’angle de l’intervalle [0; π] dont le cosinus est celui
√
√
6− 2
−1
' 1, 31
entré : cos
4
Ainsi arg(z4 ) ' 1, 31√
[2π] ou
√ arg(z4 ) ' −1, 31 [2π].
− 6− 2
Or sin(arg(z4 )) =
< 0.
4
Donc arg(z4 ) ' −1, 31 [2π].
−5π
Remarque :
' −1, 31.
12
Roussot
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