Exercice 1

Exercice 1
On tire 7 fois avec remise dans une
urne contenant 1 jeton Noir et 2
jetons Rouges. X est la variable
aléatoire donnant le nombre de fois
où l’on a pioché un jeton noir.
1°) La variable aléatoire suit-elle une
loi binomiale ? Quels seraient alors
ses paramètres ?
Exercice 1
On tire 7 fois avec remise dans une urne contenant 1 jeton
Noir et 2 jetons Rouges. X est la variable aléatoire donnant
le nombre de fois où l’on a pioché un jeton noir.
1°) La variable aléatoire suit-elle une loi binomiale ? Quels
seraient alors ses paramètres ?
2°) Déterminez l’espérance et l’écart-type de la variable
aléatoire.
3°) Quel est le nombre de jetons noirs que j’aurai le plus de
chance de piocher ?
Déterminez à 0,1 % près la probabilité de piocher ce
nombre de jetons noirs.
4°) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire.
Mettez les valeurs dans un graphe. Quelle est la forme de la
courbe ? Démontrez numériquement les formules ayant
permis de déterminer l’espérance et l’écart-type de la
variable aléatoire.
1°) La variable aléatoire suit-elle une loi binomiale ?
Quels seraient alors ses paramètres ?
La variable aléatoire suit une loi binomiale car :
1) on répète plusieurs fois la même expérience.
2) cette expérience n’a que 2 issues ( Réussite
ou Echec ).
3) la variable aléatoire donne le nombre de
Réussites.
X suit ß( 7 ; 1/3 ) car p = 1jeton noir/3 jetons
2°) Déterminez l’espérance et l’écart-type
de la variable aléatoire.
E(X) = n p = 7 (1/3) = 7/3
car X suit une loi binomiale.
Idem : σ(X) = √[ n p ( 1 – p ) ]
= √[7 (1/3) ( 1 – (1/3) ) ]
= √[ 7 (1/3) (2/3) ] = √(14/9) ≈ 1,247…
Qui est beaucoup plus rapide que de faire la loi de
probabilité de X, et de déterminer E(X) et σ(X) !
3°) Quel est le nombre de jetons noirs que j’aurai le plus de
chance de piocher ?
…
Déterminez à 0,1 % près la probabilité de piocher ce
nombre de jetons noirs.
…
3°) Quel est le nombre de jetons noirs que j’aurai le plus de
chance de piocher ?
E(X) = 7/3 ≈ 2,33… donc en moyenne probable je
piocherai 2 jetons noirs.
Déterminez à 0,1 % près la probabilité de piocher ce
nombre de jetons noirs.
X suit une loi binomiale
donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
A la calculette : ( 7 ; 2 ) = 21 branches de l’arbre.
P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2
= 21 (1/3)2 (2/3)5 ≈ 0,307 ≈ 30,7%
4°) Déterminez la loi de probabilité de la
variable aléatoire.
X suit une loi binomiale
donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
xi
p(X =xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
21(25)/(37)
exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37)
4°) Déterminez la loi de probabilité de la
variable aléatoire.
X suit une loi binomiale
donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
p(X =xi)
1(27)/(37)
7(26)/(37)
21(25)/(37)
35(24)/(37)
35(23)/(37)
21(22)/(37)
7(21)/(37)
1(20)/(37)
exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37)
4°) Déterminez la loi de probabilité de la
variable aléatoire.
X suit une loi binomiale
donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
p(X =xi)
1(27)/(37)
7(26)/(37)
21(25)/(37)
35(24)/(37)
35(23)/(37)
21(22)/(37)
7(21)/(37)
1(20)/(37)
≈
0,059
0,205
0,307
0,256
0,128
0,038
0,006
0,0005
exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37)
4°) Déterminez la loi de probabilité de la
variable aléatoire.
X suit une loi binomiale
donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
p(X =xi)
1(27)/(37)
7(26)/(37)
21(25)/(37)
35(24)/(37)
35(23)/(37)
21(22)/(37)
7(21)/(37)
1(20)/(37)
≈
0,059
0,205
0,307
0,256
0,128
0,038
0,006
0,0005
exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37)
4°) Déterminez la loi de probabilité de la
variable aléatoire.
X suit une loi binomiale
donc P( X = k ) = ( n ; k ) pk (1 – p)n – k
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
p(X =xi)
1(27)/(37)
7(26)/(37)
21(25)/(37)
35(24)/(37)
35(23)/(37)
21(22)/(37)
7(21)/(37)
1(20)/(37)
≈
0,059
0,205
0,307
0,256
0,128
0,038
0,006
0,0005
exemple P( X = 2 ) = ( 7 ; 2 ) (1/3)2 (1 – (1/3))7 – 2 = 21(1/3)2 (2/3)5 = 21(25)/(37)
La forme de la courbe est une
courbe appelée « courbe de Gauss ».
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
p(X =xi)
1(27)/(37)
7(26)/(37)
21(25)/(37)
35(24)/(37)
35(23)/(37)
21(22)/(37)
7(21)/(37)
1(20)/(37)
J’utilise ma calculatrice dans le Menu STAT avec des effectifs
entiers, puis je lis Σx = 5103 et Σx² = 15309 :
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
ni
1(27)
7(26)
21(25)
35(24)
35(23)
21(22)
7(21)
1(20)
E(X) = Σ ni xi = (1(27)/(37)) (0) + (7(26)/(37)) (1) + … + (1(26)/(37)) (7)
= 5103/(37) = 7/3 = n p
σ(X) = √[Σ ni xi² - (E(X))²] = √[(1(27)/(37)) (0²) + (7(26)/(37)) (1²)
+ … + (1(26)/(37)) (7²) - (7/3)²] = √[(15309/(37)) - (7/3)²]
= √[ ( 15309 - 7²(35) ) / (37) ] = √[ 3402/ (37) ]
= √[ 14 / 9 ] = √[ n p ( 1 – p ) ]