Chapitre XII : Trigonométrie (Couche n°2)

Chapitre 12 : Trigonométrie 1/5 2
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Ozar Hatorah 2011-2012
Chapitre XII : Trigonométrie
(Couche n°2)
I. Version collège : dans un triangle rectangle
1. Définitions
Dans un triangle rectangle, on peut connaître la mesure de chaque angle aigu en calculant le rapport de deux
côtés du triangle. Ces rapports sont appelés cosinus, sinus et tangente.
BC
AC
= α cos
BC
AB
= α sin
AC
AB
==
α
α
α
cos
sin
tan
2. Unités d’angle
a) Le degré et le radian
 Le degré est l’unité de mesure d’angle historique. Cette échelle de mesure est définie ainsi : un angle plat
mesure 180 degrés (au fait, pourquoi 180 et pas un autre nombre ?)
 Le radian est l’unité utilisée par les mathématiciens. Sa définition est qu’un angle plat mesure
π
radians.
Cette définition permet le calcul immédiat des longueurs d’arc. En effet, lorsque la mesure de l’angle qui
sous-tend un arc est exprimée en radians, la longueur de l’arc est égale au produit de l’angle par le rayon.
b) Conversions d’unités
La mesure d’un angle en radian est proportionnelle à sa mesure en degré. Pour convertir une mesure, il suffit
donc d’utiliser un tableau de proportionnalité en se souvenant que
π
rad correspondent à 180°.
Mesure en degrés 0 30 45 60 90 180 270 360
Mesure en radians 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
2
3
π
π
2
1) Donnez la mesure en radians d’un angle de 126°.
2) Donnez la mesure en degrés d’un angle de
8
π
rad.
3. Applications immédiates ( )
a) Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté
a
mesure a
2
3
.
On en déduit que
2
1
3
cos =
π
et que
2
3
6
cos =
π
.
b) Calcul de la diagonale d’un carré
La diagonale d’un carré de côté
c
mesure c2 . On en déduit que
2
2
4
cos =
π

Chapitre 12 : Trigonométrie 2/5 2
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II. Version lycée : dans le cercle trigonométrique
1. Définition du cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique un cercle dont le rayon mesure une unité, muni d’un sens direct : le sens
inverse des aiguilles d’une montre. On parle également de sens trigonométrique , ou de sens positif (et à
l’inverse, de sens indirect ou négatif ).
2. Enroulement de l’axe des réels sur le cercle
On considère le repère orthonormé (O ; I, J) tel que
l’origine du repère coïncide avec le centre du cercle
trigonométrique.
 A chaque point de l’axe des réels, on fait
correspondre un unique point du cercle.
Ainsi, JI aa
2
,0
π
et JI aa
2
3
,2
π
π .
(on remarque plusieurs réels peuvent correspondre à
un même point du cercle)
 A chaque point du cercle correspond une infinité de
réels de l’axe.
a) Correspondance non univoque
Soit un point
M
du cercle trigonométrique et un réel
x
de l’axe tel que
x
corresponde à
M
( Mx a ).
Alors pour tout entier relatif k , le réel
π
2
×
+
kx correspond à
M
(i.e. :
(
)
Mkx a π 2×+ ).
Dans chaque cas, dire si les deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique.
a)
7
9
π
= x et
7
5
'
π
−= x b)
9
13
π
= x et
9
4
'
π
−= x
b) Notion d’angle orienté
Soit un point
M
donné du cercle trigonométrique et un réel
x
de l’axe tel que
x
corresponde à
M
.
On dit que
x
est une mesure (en radians) de l’angle orienté
(
)
OMOI; . On note
(
)
radxOMOI =; .
Lorsque
]
]
ππ ;−∈x , on dit qu’il s’agit de la mesure principale de l’angle.
Remarques :
 La mesure d’un angle orienté peut-être négative.
Dans ce cas, on tourne dans le sens indirect.
 Sur une figure géométrique, un angle orienté se
code avec son sens.
 On omet souvent l’unité radian
O
I 0
J
+
-
1
-
-
1

Chapitre 12 : Trigonométrie 3/5 2
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3. Cosinus, sinus et tangente d’un nombre réel
a) Définitions des fonctions circulaires
On considère le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé (O ; I, J).
Soit
α
un réel et
M
un point du cercle tel que
(
)
radOMOI α =; .
On appelle fonctions circulaires (ou trigonométriques) les trois fonctions définies ainsi :
 On appelle cosinus de
α
(notée
(
)
α cos ), l’abscisse de
M
.
 On appelle sinus de
α
(notée
(
)
α sin ), l’ordonnée de
M
.
 On appelle tangente de
α
(notée
(
)
α tan ) comme : ( )
(
)
( ) α
α
α
cos
sin
tan = .
Remarques :
 On peut lire graphiquement la valeur de
(
)
α tan sur la
tangente au cercle.
 La tangente n’est pas définie pour les réels dont le
cosinus est nul (ex :
2
π
,
2
π −
,
2
3 π
, …).
 Lorsqu’il n’y a pas ambigüité de notation, on écrit sans
les parenthèses :
x
cos
, xsin ,
x
tan
.
Ex :
(
)
12cos +x , x 2cos
De même :
(
)
(
)
(
)
xxx
22
2
coscoscos ==
b) Valeurs remarquables
x
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
x
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
1
−
x sin 0
2
1
2
2
2
3
1
0
x
tan
0
3
3
1
3 / ! \
0
Remarques :
 Ce tableau est à connaître par cœur !
 On peut s’en souvenir efficacement en comprenant sa structure et en retenant seulement le cosinus.
D EMONSTRATION ( )
Démontrez le tableau de valeurs ci-dessus à l’aide des pistes ci-dessous :
• Pour 0 ,
2
π
et
π
: par contemplation du cercle trigonométrique
• Pour
3
π
: hauteur du triangle équilatéral (cf. I.3.a)
• Pour
6
π
: complémentaire de
3
π
.
• Pour
4
π
: diagonale du carré (cf. I.3.b)

Chapitre 12 : Trigonométrie 4/5 2
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4. Utilisation de la calculatrice
La calculatrice (en mode RADIAN !) est capable de déterminer un réel à
partir de son cosinus (ou de son sinus).
Néanmoins, la correspondance non univoque des réels avec les points
du cercle trigonométrique fait que le résultat de la calculatrice peut être
faussé. Plus précisément :
 La fonction
arccos
renvoie un réel dans l’intervalle
[
]
π ;0 .
Si le réel cherché appartient à
]
[
0; π − , ce sera
x
arccos
−
.
 La fonction arcsin renvoie un réel dans l’intervalle
−2
;
2
ππ
.
Si le réel cherché appartient à
2
3
;
2
ππ
, ce sera xarcsin
−
π
.
Si le réel cherché appartient à
2
3
;
2
ππ
, ce sera
(
)
xarcsin−− π .
A l’aide de la calculatrice, déterminez l’arrondi au centième du réel
x
tel que :
a) 9,0sin
=
x et
∈2
3
;
2
ππ
x
b) 1,0cos
=
x et
[
]
0; π −∈x
5. Propriétés classiques des lignes trigonométriques
a) Issues de la définition du sinus et du cosinus
Pour tout réel
x
, 1cos1
≤
≤
−
x 1sin1
≤
≤
−
x 1sincos
22
=+ xx
b) Périodicité
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques, de période
π
2 .
i.e. :
Pour tout réel
x
,
(
)
xx cos2cos =+ π et
(
)
xx sin2sin =+ π
c) Symétries
Le graphe de cos est symétrique par rapport à (Oy) (i.e. : pour tout
∈
x
,
(
)
xx coscos =− ).
Le graphe de sin est symétrique par rapport à O (i.e. : pour tout
∈
x
,
(
)
xx sinsin −=− ).
Calculez le cosinus et le sinus des réels suivants : a)
3
π
− b)
3
5
π
d) Propriétés angulaires (Programme de 1
ère
S)
x
x
−
(symétrie)
x
−
π
x
+
π
x −
2
π
x +
2
π
x
+
π
2
(périodicité)
cos
x
cos
x
cos
−
x
cos
−
xsin xsin
−
x
cos
sin xsin
−
xsin xsin
−
x
cos
x
cos
xsin
tan
x
tan
−
x
tan
−
x
tan
x
cot
x
cot
−
x
tan
D
EMONSTRATION (Par contemplation du cercle trigonométrique).

Chapitre 12 : Trigonométrie 5/5 2
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III. Fonctions circulaires (Programme de 1
ère
S)
 Les fonctions sin et
cos
sont définies sur
 L’image de sin et
cos
est l'intervalle
[
]
1;1− .
 Les fonctions sin et
cos
étant
π
2 -périodiques, il est suffisant d’étudier leurs variations sur un intervalle
de diamètre
π
2 .
x
π
−
2
π
−
0
2
π
π
)sin(x
0
1
−
0
1
0
)cos(
x
1
−
0
1
0
1
−
A l’aide du cercle trigonométrique, dressez le tableau de variations de
cos
sur
[
]
ππ 5;7 −− .
 Les fonctions sin et
cos
admettent une infinité d’extrema sur .
Graphe de sin (en trait plein) et
cos
(en pointillés)
 Les courbes des fonctions sin et
cos
sont appelées sinusoïdes .
 La courbe représentative de sin est l’image de celle de
cos
par la translation de vecteur OIAB
2
π
= .
C’est l’explication géométrique de la formule : « pour tout
∈
t
, ( )
tt cos
2
sin =
+
π
».
Dans chaque cas, comparez les deux nombres sans utiliser la calculatrice.
a)
7
sin
π
et
12
sin
π
b)
7
cos
π
et
12
cos
π