x y

Fonctions trigonométriques
inverses
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
 Rappel : graphique d’une fonction inverse
 Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus)
 Dérivée de arcsinus x
 Définition de arccos x et sa dérivée
 Définition de arctan x et sa dérivée
 Définition de arccot x et sa dérivée
 Définition de arcsec x et sa dérivée
 Définition de arccsc x et sa dérivée
Département de mathématiques
2
Rappel : graphique d’une fonction inverse
 Soit f(x) une fonction et f-1(x) la fonction inverse
de f(x)
 Les courbes représentatives de ces fonctions sont
symétriques par rapport à la droite y = x
y
x
Département de mathématiques
3
Exemple
f(x) = ex
h(x) = x
g(x) = lnx
Département de mathématiques
4
Définition de arcsinus x
 On a y = arcsin x si et seulement si x = sin y
 Bien
noté que y représente un angle et que arcsin x = angle
x
y
Domsiny = IR
Imasiny = [-1 , 1]
Département de mathématiques
Domarcsinx = [-1 , 1]
Imaarcsinx = [-/2 , /2]
5
Exemples
arcsin x est égal à l’angle y tel que sin y = x
 Arcsin 1 = /2 radians (90º)
/2
 Arcsin 0 = 0 (0 º)
 Arcsin ½ = /6 (30 º)
-/2
 Arcsin (0,75) = 0,848 rad (ou 48,6 º)
 Arcsin 2 n’existe pas*
Département de mathématiques
6
Dérivée de arcsinus x (1 de 2)
 Soit y = arcsin x
  sin y = x
dy
 1 (dérivation implicite)
  cos y
dx



Département de mathématiques
dy
1

dx cos y
 sin 2 y  cos 2 y  1
dy
1


, car 
  
2
dx
1  sin y
cos y  0 sur   2 , 2 



dy
1

, car sin y  x
dx
1 x2
7
Dérivée de arcsinus x (2 de 2)
Si y  arcsin[f (x)]
1
Alors y' 
 f '(x)
1  [f (x)]2
 Exemple :
 Trouver la dérivée de f(x) = arcsin (8x – x3)
 Exercice :
 Trouver la dérivée de g(x) = (arcsin x2)4
Département de mathématiques
8
Définition de arccos x et sa dérivée
 On a y = arccos x si et seulement si x = cos y
Domcosy = IR
Imasiny = [-1 , 1]
Domarccosx = [-1 , 1]
Imaarccosx = [0 , ]
dy
1

 On a
2
dx
1 x
 Exercice : Démontrer la formule pour dériver y = arccos x.
Département de mathématiques
9
Définition de arctan x et sa dérivée
 On a y = arctan x si et seulement si x = tan y
Domtany = IR/{± /2, ±3/2, …}
Imatany = IR
Domarctanx = IR
Imaarctanx = ]-/2 , /2[
dy
1
 On a

2
dx 1  x
Département de mathématiques
10
Dérivée de arctan x
 Soit y
= arctan x
  tan y = x
2
  sec y
dy
 1 (dérivation implicite)
dx

dy
1

dx sec2 y


Département de mathématiques
dy
1
sin 2 y cos 2 y
1

,
car


dx 1  tan 2 y
cos 2 y cos 2 y cos 2 y
dy
1

, car tan y  x
2
dx 1  x
11
Définition de arccot x et sa dérivée
 On a y = arccot x si et seulement si x = cot y
 Imaarccotx = ]0 , [
dy
1
 On a

2
dx 1  x
 Démontrer la formule pour dériver y = arctanx.
Département de mathématiques
12
Définitions et dérivées de arcsec x et arccsc x
 On a y = arcsec x si et seulement si x = sec y
dy
1

dx x x 2  1
ou
dy
1

dx x x 2  1
 On a y = arccsc x si et seulement si x = csc y
dy
1

dx x x 2  1
Département de mathématiques
ou
dy
1

dx x x 2  1
13
Résumé
 Soit u = f(x) et du/dx = f’(x),
d(arcsin u)
1 du

dx
1  u 2 dx
d(arccos u)
1 du

dx
1  u 2 dx
d(arctan u)
1 du

dx
1  u 2 dx
d(arccot u)
1 du

dx
1  u 2 dx
d(arcsec u)
1
du

dx
u u 2  1 dx
d(arccsc u)
1 du

dx
u u 2  1 dx
Département de mathématiques
14
Exemples
 Calculer f’(x) si
 a) f(x) = arcsin (3x + 7)
 b) f(x) = 3arccos (2x2 – 1)
 c) f(x) = (arcsin x)3
 d) f(x)= (arccos x)/x
 e) f(x) = x·arctan x
Département de mathématiques
15
Exercices
 Calculer f’(x) si
 a) f(x) = arcsin (4x2 – 1)
 b) f(x) = arctan (x+2)
 c) f(x) = arcsin x3
 d) f(x)= arccos x – x2
 e) f(x) = arcsin [(x +1)/(x – 7)]
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16
Devoir
 Exercices 10.1, page 399, nos 1 et 3 (sauf h).
 Exercices 10.2, page 406, nos 1 (sauf f), 2 (sauf j
et l), 3a et 3b.
 Exercices 10.3, page 414, nos 1a, 1b et 2a à 2f.
 Exercices 10.4, page 420, no 5
 Exercices récapitulatifs, page423, nos 4a à 4e, 4h,
4i, 4k et 13.
e x
4i) x '(t) 
 e x 2  1 Arc cot  e x 


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4k) x '(t) 
arccos t  arcsin t
1  t 2 (arccos t) 2
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Devoir (suite)
 Réponse du numéro 13 :
 a)
 x 
  Arc tan  
 75 
 b)
d 
75
 dx


dt  5625  x 2  dt
 c) -0,12 rad/min et -0,1875 rad/min
 d) 25 m
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