Séance 2 - La Faculté des Sciences Sociales de l`Université de

Probabilités
Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L1S2
2016 – 2017
Séance 2
Previously in « Probabilité »
 Loi des grands nombres et expérience aléatoire
 Répétition, plusieurs issues possibles, résultat d’une
expérience imprévisible
𝑝=
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑝 𝐴 =
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴)
𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω)
=
𝐴
Ω
Previously in « Probabilité »
 Événements :
 Élémentaire  Un seul élément dans l’événement
 Composé  Plusieurs éléments dans l’événement
 Contraire  Les éléments hors de l’événement
𝑝 𝐴 +𝑝 𝐴 =
𝐴
𝐴
+
=𝑝 Ω =1
Ω
Ω
𝑝 𝐴 =1−𝑝 𝐴 =1−
𝒑(𝑨)= 𝟏 − 𝒑 𝑨
𝒑(𝑨) = 𝟏 −
𝑨
𝜴
𝐴
Ω
𝐴
=
−
Ω
Ω
Ω
Previously in « Probabilité »
𝐴∪𝐵
: L’un OU l’autre
A
B
A
B
 Règle de l’addition
𝐴∩𝐵
: L’un ET l’autre
 Règle de la multiplication
Previously in « Probabilité »
𝐴∪𝐵
 Règle de l’addition
𝑝 𝐴⋃𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵
𝑝 𝐴⋃𝐵 =
𝐴
Ω
+
𝐵
Ω
−
𝐴∩𝐵
Ω
=
𝐴 + 𝐵 − 𝐴∩𝐵
Ω
Previously in « Probabilité »
La loi de Morgan
 Ni l’un ni l’autre
𝐴 ∩ 𝐵= 𝐴 ∪ 𝐵
L’intersection des contraires est l’événement contraire d’une
réunion
 Tout sauf l’intersection
𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵
L’événement réunion des contraires est l’événement contraire
d’une intersection
Previously in « Probabilité »
𝐴 ∪ 𝐵  Règle de l’addition
𝑝 𝐴⋃𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵
𝑝 𝐴⋃𝐵 =
𝐴
Ω
+
𝐵
Ω
−
𝐴∩𝐵
Ω
=
𝐴 + 𝐵 − 𝐴∩𝐵
Ω
Previously in « Probabilité »
Règle de l’addition et application
 Lire l’énoncé
 Traduire à l’aide du vocabulaire ensembliste
 Utiliser les propriétés de l’addition
Règle de la multiplication
La multiplication des pains ET des poissons
de Giovanni Lanfranco, 1620
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
A et B sont deux événements indépendants
si et seulement si :
𝒑 A∩B = 𝒑 𝑨 × 𝒑 𝑩
Attention !
Ne pas faire l’amalgame entre indépendance et disjoints
(mutuellement exclusifs).
Deux événements sont disjoints si 𝑝 A∩B = 0 autrement dit 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
On tire au hasard, dans un jeu de 32 cartes non truqué, une carte,
puis sans la remettre, une autre.
Soit
A: « la première carte tirée est un cœur »
B: « la seconde carte tirée est un cœur »
Les évènements A et B sont-ils indépendants?
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
𝑝 𝐴 =
𝑝 𝐵 =
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴)
𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω)
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵)
𝑐𝑎𝑟𝑑(Ω)
=
8
32
=
1
4
; Card(B) dépend de la première étape
7
 Si A alors card(B) = 7 et 𝑝 𝐵 = 31
8
 Si A alors card(B) = 8 et 𝑝 𝐵 = 31
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
 𝑝 𝐵 = 𝑝 (A∩B) ∪ (𝐴∩B) = 𝑝 A∩B + 𝑝 𝐴∩B =
Avec : 𝑝 A∩B =
Et 𝑝 𝐴∩B =
3
4
×
1
4
×
7
31
8
31
=
6
31
1
1
7
= 124
1
Aussi 𝑝 𝐴 ∗ 𝑝 𝐵 = 4 × 4 = 8
𝑝 A∩B ≠ 𝑝 𝐴 ∗ 𝑝 𝐵
A et B sont dépendants
1
4
Règle de la multiplication :
La dépendance avant tout
 Quand A et B sont dépendants :
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝𝐴 𝐵 × p(A)
Notation :
𝑝𝐴 𝐵 = p 𝐵 𝐴) que l’on lit « p de B sachant A »
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
Revenons à nos moutons !
 L’indépendance qualifie deux événements
aléatoires n’ayant aucune influence l’un sur l’autre.
Nouvel exemple et application :
 La plaque d’immatriculation des voitures comporte



4 chiffres qui donnent les nombres de 1 à 9999
deux lettres (sauf I et O pour éviter les confusions avec 0 et 1)
le code du département.
 Combien y-a-t-il de possibilités pour un département
donné?
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
 A: « obtenir un nombre entre 1 et 9999 »
 A={1; 2; 3; ….; 9999}
 card(A)=|A|= 9999
 B: « obtenir une lettre entre A et Z sauf O et I»
 B={A; B ; C; …; Z} (sauf O et I)
 card(B)=|B|=26-2=24
 C: « obtenir une code département»
 C={01; 02 ; 03 ; …; 976}
 card(C)=|C|= 101
Règle de la multiplication :
L’indépendance avant tout
 Ces trois événements A, B et C sont indépendants
 Le nombre de plaques d’immatriculation pour un
département est égal à
 |A∩B ∩C|= |A|* |B|*|C|
 |A∩B ∩C|= 9999*24*101
 |A∩B ∩C|= 24 237 576 possibilités
Principe multiplicatif
𝑝 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 =
×
×
Ω
Ω
Ω
𝐴 × 𝐵 × 𝐶
𝐴 × 𝐵 × 𝐶
𝑝 𝐴 ×𝑝 𝐵 ×𝑝 𝐶 =
=
Ω × Ω × Ω
Ω3
Règle de la multiplication
Récapitulatif
Événements indépendants
𝑝 A∩B = 𝑝 𝐴 × 𝑝 𝐵
Événements dépendants
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝𝐴 𝐵 × p(A)
Règle de la multiplication
Récapitulatif
Sur les probabilités de tirages successifs :
 Avec remise  Indépendance
 Sans remise  Dépendance
Sachant que ?
Bayes montre toi !
Si pB(A)≠pA(B)
𝑝𝐵 𝐴 =
𝑝𝐴 𝐵 ×p(A)
p 𝐴/𝐵 =
p(B)
𝑝(𝐵/𝐴)×p(A)
p(B)
Les probabilités conditionnelles
Application
Vous venez de passer un test pour le dépistage d’un cancer. Le
médecin vous convoque et vous annonce que le résultat est
positif. Ce type de cancer ne touche que 0.1% de la population.
Patient, fébrile - Le test est-il fiable?
Médecin. - Si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90%
des cas ; alors que si vous ne l’avez pas, il sera négatif dans 97%
des cas.
 Quelle est la probabilité que vous ayez ce cancer ?
Test
Malade - M
𝑴
Total
Positif - P
9
300
309
𝑷
1
9 690
9 691
Total
10
9 990
10 000
Test
Malade - M
𝑴
Total
Positif - P
90 %
3%
3%
𝑷
10 %
97 %
97 %
Total
100 %
100 %
100 %
Fréquence en colonne :
Fréquence en ligne :
Test
Malade - M
𝑴
Total
Positif - P
2,9 %
97,1 %
100 %
𝑷
0,01 %
99,99 %
100 %
Total
0,1 %
99,9 %
100 %
La condition des sentiments
 Sur les 309 personnes testées positives, 9 sont malades et 300
sont saines (faux positifs).
 Si vous êtes positif, vous n’avez que 2,9% (=9/309) de risque
d’être malade et 97,1% (=300/309) de chance d’être un faux
positif.
 Pourquoi ce résultat est-il contre-intuitif?
La confusion des sentiments ?
 Soit l’événement M: « être malade »
 Soit l’événement P: « avoir un résultat positif au test »
Confusion entre « la probabilité d’être malade
sachant que le test est positif » et « la probabilité
d’être testé positif sachant que l’on est malade ».
La confusion des sentiments ?
 Si vous êtes testé positif et que vous vous demandez si
vous avez ce cancer, vous cherchez la probabilité
suivante
 pP(M) : « la probabilité d’être malade sachant que le test est
positif »
 Si le médecin vous dit que si vous avez ce cancer, le test
sera positif dans 90% des cas, vous cherchez cette
probabilité
 pM(P) : « la probabilité d’être testé positif sachant que l’on est
malade »
Comment passer de 𝑝𝑃 𝑀 à 𝑝𝑀 𝑃 ?
 𝑝𝑃 𝑀 =
𝑝𝑀 𝑃 ∗𝑝(𝑀)
𝑝(𝑃)
 𝑝𝑃 𝑀 =
0,90∗0,001
0,0309
 𝑝𝑃 𝑀 = 0,029 = 2,9%
 La probabilité d’être malade sachant que le test est positif
 𝑝𝑃 𝑀 = 2,9 %
 La probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade
 𝑝𝑀 𝑃 = 90%
A retenir
Règle de la multiplication
 Les deux événements sont indépendants
 𝒑 A∩B = 𝒑 𝑨 × 𝒑 𝑩
𝑝 𝐵 =
𝑝
A∩B
𝑝(𝐴)
 Les deux événements sont dépendants
 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝𝐴 𝐵 × p A
𝒑𝑨 𝑩 =
𝒑 𝑨∩𝑩
𝒑(𝑨)
 Formule de Bayes
 𝑝𝐵 𝐴 =
𝑝𝐴 𝐵 ×p(A)
p(B)
(avec p(B) ≠ 0 )
Quand l’arbre est grand, à quelle branche se
rattraper ?
Le DENOMBREMENT
Démembrons le
dénombrement
Calcul du nombre de résultats possibles lors d'une expérience
aléatoire à plusieurs étapes :
 Arrangement : on tient compte de l’ordre
 Combinaison : on ne tient pas compte de l’ordre
Démembrons le
dénombrement
Ordonné ?
Oui
Arrangement
Non
Combinaison
Tout va s’arranger
L’arrangement :

Disposition ordonnée de p éléments parmi n
éléments
𝑝
Noté : 𝐴𝑛
lecture : « arrangement de p éléments parmi n »
Deux possibilités :
- Arrangement avec remise
- Arrangement sans remise
Tout va s’arranger
Ordonné ?
Oui
Non
Arrangement
Combinaison
Avec remise ?
Oui
Non
𝑝
𝐴𝑛
𝑛!
=
𝑛−𝑝 !
Tout va s’arranger
«!»?
 Les factorielles  !
𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Exemple : 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ! = 𝑛!
Exemple : 6 x 5! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6!
 1! = 1
 0! = 1
Tout va s’arranger
Sans remise
𝑝
𝐴𝑛
=
𝑛!
𝑛−𝑝 !
• n représente le nombre d'éléments dans l'ensemble
• p représente le nombre d'éléments sélectionnés dans
l'ensemble
Tout va s’arranger
Sans remise
 On choisit au hasard 2 lettres dans l'ensemble {D, E, F, G}.
 Si l'expérience aléatoire est réalisée sans répétition
 4 éléments possibles pour le 1er événement
 3 éléments possibles pour le 2ème événement
Tout va s’arranger
Sans remise
 L’ordre compte : DE ≠ ED
1er evt
D
 12 résultats possibles
 4 x 3 arrangements
possibles
E
F
G
2ème evt
Résultats
E
F
G
DE
DF
DG
D
F
G
ED
EF
EG
D
E
G
FD
FE
FG
D
E
F
GD
GE
GF
Tout va s’arranger
Sans remise
Avec la formule
 n=4 et p=2
 La formule synthétique
 𝐴𝑛 =
𝑛!
𝑛−𝑝 !
 𝐴24 =
4!
4−2 !
𝑝
=
4∗3∗2∗1
2!
24
= 2∗1 =
24
2
= 12
 La formule développée
𝑝
 𝐴𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 𝑛 − 𝑝 + 1
𝑝
 𝐴𝑛 = 𝑛 ∗ (𝑛 − 𝑝 + 1)
 𝐴24 = 4 ∗ 4 − 2 + 1 = 4 ∗ 3 = 12
A retenir !
 Règle de la multiplication : 𝐴 ∩ 𝐵
 Événements indépendants  𝒑 A∩B = 𝒑 𝑨 × 𝒑 𝑩
 Événements dépendants  𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑𝑨 𝑩 × 𝐩(𝐀)
 Formule de Bayes  𝑝𝐵 𝐴 =
 Dénombrement :
𝑝𝐴 𝐵 ×p(A)
p(B)
A retenir !
 Dénombrement
Ordonné ?
Oui
Non
Arrangement
Combinaison
Avec remise ?
Oui
Non
𝑝
𝐴𝑛 =
𝑛!
𝑛−𝑝 !