La fonction exponentielle 1 la fonction exponentielle Un nouveau point de vue L’introduction doit se faire tôt dans l’année Soit par l’étude de l’équation différentielle y’ = k y Soit par la recherche des fonctions f dérivables sur R telles que :f(x + y) = f(x) f(y) 2 I. Introduction de la fonction exponentielle Tôt dans l’année ? 3 I. Introduction de la fonction exponentielle Etude de l’équation : y’ = y La fonction exponentielle, premières propriétés Extension à l’équation y’ = ky Relation fonctionnelle caractéristique de la fonction f définie sur R par : f(x) = exp(kx) A propos de la mise en œuvre de la méthode d’EULER et des exemples d’introduction 4 II. Étude de l’équation y’ = y A. Théorème d’existence et d’unicité Théorème Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f ’ = f et vérifiant f (0) = 1(E). On l’appelle fonction exponentielle et on la note exp. (Dans cette partie, l’existence de f est admise et l ’unicité est démontrée ). 5 II. Étude de l’équation y’ = y A. Théorème d’existence et d’unicité L’unicité est démontrée en prouvant que : Une solution f de (E) ne s’annule jamais Considérer la fonction définie sur R par : (x) = f (x) f ( x) ’ = 0. Donc est constante et vaut ((0))2 = 1 De plus f ( x) = 1 / f (x) Si f et g sont deux solutions de (E) la fonction f/g a une dérivée nulle, donc est constante, égale à 1 d’où f = g. 6 II. Étude de l’équation y’ = y B. Relation fonctionnelle Pour tous réels a et b : exp (a+b) = exp (a)exp (b) (dériver, par exemple, la fonction x exp(a +x)/exp(a) exp(x) 7 II. Étude de l’équation y’ = y C. Propriétés algébriques Pour tous réels a et b, et tout entier n : exp(-b) = 1/ exp(b) exp(a-b) = exp(a)/exp(b) exp(na) = (exp a)n 8 II. Étude de l’équation y’ = y D. Sens de variation A partir de la relation fonctionnelle, on établit que, pour tout x réel, exp (x) = [exp (x /2)]² On en déduit que : La fonction exp est strictement positive La fonction exp est strictement croissante sur R (puisque (exp)’ = exp) 9 II. Étude de l’équation y’ = y E. Nouvelle notation On convient de noter e = exp (1) , d’où en = exp (n), pour nZ Par prolongement à R, on pose :pour tout réel x, ex = exp (x) 10 III. Un encadrement de e On démontre que pour |x| < 1, 1 + x ex 1/(1 – x) (la majoration de ex s’obtient en changeant x en – x dans l’inégalité : 1 + x ex ) Soit n entier supérieur ou égal à 2 On a successivement : 1 + 1/n e 1/n 1/(1 – 1/n) Puis (1 + 1/n)n e (1 – 1/n) n 11 III. Un encadrement de e 4 (1+1/n)^n y=e (1-1/n)^(-n) 3,5 3 2,5 2 0 10 20 30 40 50 12 IV. Extension à l ’équation y ’ = ky Les solutions sur R de l ’ équation différentielle y ’ = ky sont les fonctions fk définies par : fk(x) = A ekx , où A est un réel quelconque A partir d’une solution f de y ’ = ky , poser h (x) = f(x/k) /f(0). 13 V. Relation fonctionnelle caractéristique Les deux propositions suivantes sont équivalentes (i) f est une fonction non nulle dérivable sur R vérifiant : pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a)f(b) (ii) f est définie sur R par f(x) = ekx Pour (i) (ii), on établit tout d’abord que f(0) = 1, puis en dérivant xf(a+x) et x f(a)f(x), on obtient , pour x = 0 : f ’(a) = f(a) f ’(0) 14 VI. Mise en œuvre de la méthode d’ Euler On cherche une solution approchée de (E) : y ’ = y et y(0) = 1 sur l’intervalle [0 ; a]. Pour des valeurs de h « suffisamment petites », y(t + h) y(t) + h y ’(t ) D’où y(t + h) (1 + h) y(t) 15 VI. Mise en œuvre de la méthode d’ Euler h = a /n (n 1); tk = k *(a /n ) On approche les valeurs exactes y(t0) ; y (t1), y (t2 ) ;…; y(tn) par la suite yo ; y1 ;…; yn définie de la façon suivante : y0 = y(0) = 1 y1 = y0 + h.y’(0) = 1+ h Définition de y2 : y (t2 )= y(t1 + h) y (t1) + h y’(t1) Avec y (t1) y1 et y’(t1 ) = y (t1) , y2 = y1 + h y1 = (1 + h)² Etc… yk = (1 + h)k 16 VII. Un exemple d’introduction Étude d’un gaz à effet de serre 17 A. Données 1000 800 600 400 200 1995 1990 1985 1980 1975 1970 1965 1960 1955 1950 1945 1940 0 CO2 (en milliards de t) 18 B. Objectifs Comparer cette série de données à une suite géométrique Etablir le lien entre suite géométrique et exponentielle 19 C. Comparaison à une suite géométrique année n y(n) (en milliers de t) accroissement relatif année n y(n) (en milliers de t) accroissement relatif 1940 0 1945 1 1950 2 1955 3 1960 4 1965 5 184,391 212,75 243,348 277,398 320,545 372,574 0,15 0,14 0,14 0,16 0,16 1970 6 1975 7 1980 8 1985 9 1990 10 1995 11 438,922 521,4 0,18 0,19 615,16 709,959 817,783 931,781 0,18 0,15 0,15 0,14 20 On considère alors la suite (qn) définie par q0 = y0 et qn 1 qn m qn C’est une suite géométrique de raison (1 + m). Ici : m = 0,16 CO2 (en milliards de t) C. Comparaison à une suite géométrique 1000 800 600 400 données (y(n)) suite géométrique (q(n)) 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n (en années) 21 D. De la suite géométrique à l’exponentielle On recherche une fonction dérivable sur R, dont la courbe ajuste le nuage de points {(0 ; y0)…..(11 ;y11)} Dans le modèle discret, l’accroissement entre deux mesures consécutives (aux instants n et n + 1) est proportionnel à la mesure à l’instant n. En effet, de la relation qn 1 qn m qn on déduit : qn 1 qn mqn (n 1) n 22 D. De la suite géométrique à l’exponentielle L’origine des temps étant 1940, on note f(t) la quantité cumulée de CO2 émise à la date t (en années). A partir de la relation : qn 1 qn mqn (n 1) n on émet l’hypothèse que le taux d’accroissement de la concentration entre les instants t0 et t0 + h ( pour h très petit), est proportionnel à la mesure à l’instant t0. 23 D. De la suite géométrique à l’exponentielle On a donc : f (t0 h) f (t0 ) mf (t0 ) h (m étant la valeur obtenue au C) Lorsqu’on fait tendre h vers 0 , on obtient la relation : f ' (t0 ) mf (t0 ) 24 D. De la suite géométrique à l’exponentielle La solution recherchée est donc dérivable sur R et telle que : f ’ = m f et f(0) = y0 25 D. De la suite géométrique à l’exponentielle Mise en œuvre de la méthode d’Euler sur l’intervalle [0;11] 1000 Méthode d'Euler 900 Données 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 D. Commentaires La fonction obtenue par la méthode d’Euler est affine par morceaux : Ce ne peut donc pas être une solution au problème posé Pour m suffisamment petit, 1 + m em Comme la suite (qn) est de raison 1 + m, on a : qn n m (e ) q0 27 VIII. Démonstration de l’existence Théorème: L’équation y’ = y admet une solution prenant la valeur 1 en 0. après avoir montré : lemme : pour tout entier naturel n et pour tout réel x > 1, (1+x)n 1 + nx , on démontre que, pour tout réel x, les suites (un(x)) et (vn(x)) définies par : un(x) = (1 + x/n)n et vn(x) = (1 x/n)n sont adjacentes. La limite commune définit une fonction dont on peut montrer qu’elle est solution. 28 VIII. Démonstration de l’existence x étant fixé, on raisonne pour n n0 > |x|. On a alors : x un+1(x) 1 n 1 un+1(x) = n 1 x x 1 n n (n 1) n 1 x x 1 1 n n(n 1)1 x n D’où : un+1(x) x 1 1 n n n 1 n 1 x 1 x n n 1 x n (lemme) puis un+1(x) un(x). 29 VIII. Démonstration de l’existence 1 , vn x u n x donc (vn(x)) est décroissante. De plus, un x x Enfin, 1 2 vn x n 2 n x 2 un x donc 1 1 n vn x d ’où : 0 vn(x) un(x) (lemme), et vn(x) > 0 x2 x2 vn0 x vn x n n 30 VIII. Démonstration de l’existence Les deux suites ont donc même limite. On note exp la fonction qui à x fait correspondre la limite commune des suites( un(x)) et (vn(x)). un(0) = vn(0) = 1 donc exp(0) = 1 31 VIII. Démonstration de l’existence Etude de la dérivée n n x h x 1 h 1 1 n n n1 x n xh D’où : 1 n n n (x étant fixé, on raisonne pour n n0 > 1 x et |h| < 1) x 1 h 1 n 1 x n n (lemme) Par passage à la limite : exp(x + h) exp(x) (1 + h) 32 VIII. Démonstration de l’existence En changeant h en h dans l’inégalité exp(x + h) exp(x) (1 + h) (1) On obtient : exp(x h) exp(x) (1 h) En changeant x en x + h, on a, finalement : exp(x) exp(x + h) (1 h) Pour h > 0 : Pour h < 0 : (2) . Puis, avec (1) et (2) : exp( x h) exp( x) exp( x) exp( x) h 1 h exp( x) exp( x h) exp( x) exp( x) 1 h h 33