"Mouvements plans - oscillations" 9 pages

CHAPITRE
15
MOUVEMENTS PLANS
– OSCILLATIONS
1 ■ Lancement d’un projectile
1.1 Hypothèses d’étude
• Référentiel : référentiel terrestre galiléen.
z
• Système : projectile de masse m, lancé avec une vitesse v 0 faisant un
angle α avec le plan horizontal x O y et contenue dans le plan x O z (Fig. 1).
• Forces extérieures : le champ de pesanteur est supposé uniforme g .
Les frottements de l’air et la poussée d’Archimède sont négligeables.
1.2 Étude du mouvement
α
y
v0
x
Le repère O, x, y, z est lié à un référentiel terrestre galiléen.
Figure 1
• 2e loi de Newton : m g 0 = m a G & a G = g
xp = 0
yp = 0
pz = - g .
Par intégration (avec les conditions initiales) :
xo = cte = v 0 cos α
yo = ctel = 0
zo = - g t + v 0 sin α
x = v 0 cos α t
y=0
z=-
1 2
g t + v 0 sin α t .
2
z
• Équation de la trajectoire (Fig. 2) :
z=-
v0
x2
1
g
+ x tan α .
2 v 20 cos 2 α
Le mouvement du projectile est dans le plan x O z .
La trajectoire est une portion de parabole.
y
α
mg
x
Figure 2
249
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PHYSIQUE
1.3 Mouvement dans un champ électrique uniforme
• Nouvelles hypothèses d’étude : une particule de masse m et de charge
q est lancée avec une vitesse v 0 dans un plan x O z, région de l’espace où
règne un champ électrique uniforme E parallèle à O z. On étudie son mouvement dans un référentiel galiléen. Son poids est négligeable devant la
force électrique F = q E .
La trajectoire se tourne dans
le sens de E si q 2 0.
• Cas où v 0 et E font un angle a quelconque : l’étude est strictement
identique à celle du 1.2, la force constante m g étant remplacée par la
force constante q E . On retrouve une parabole orientée vers le haut ou
vers le bas selon le signe de q.
• Cas où v 0 et E font un angle a = 90° : on parle de déflexion électrique. C’est le cas usuel des particules déviées dans un condensateur
plan (oscilloscope).
Cf. Exercice 2.
2 ■ Mouvements des planètes
et des satellites
Préliminaires
Le système solaire correspond à une étoile, nommée Soleil, autour de
laquelle tournent 8 planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne,
Uranus et Neptune). Le Soleil n’est qu’une étoile moyenne parmi 1011 étoiles
constituant notre galaxie, et il existe sans doute 1012 galaxies dans l’univers.
Les longueurs dans l’univers sont telles qu’on utilise souvent d’autres unités que le mètre. Citons l’unité astronomique qui correspond à la distance
Terre-Soleil :
étoile α fixe
1 u.a. = 1,50.1011 m ,
étoile γ fixe
ou l’année lumière qui correspond à la distance parcourue par la lumière
dans le vide en une année :
Soleil
étoile β fixe
1 a.l = 9,47.1015 m .
g
Figure 3
B
A′
2.1 Mouvements des planètes
P
F′
F
A
S
• Référentiel héliocentrique galiléen : Copernic (Fig. 3) choisit pour origine le centre du Soleil et pour axes les directions de trois étoiles fixes
α , β , γ . Les huit planètes du système solaire tournent autour du Soleil.
• Les trois lois de Kepler
B′
ellipse
Al A = 2 a grand axe
Bl B = 2 b petit axe
Une ellipse est l’ensemble des points
P tels que Fl P + F P = 2 a.
– 1re loi : loi des trajectoires
La trajectoire du centre d’une planète P est une ellipse dont le Soleil est
l’un des foyers F (Fig. 4).
Figure 4
250
Passerelle_Livre.indb 250
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L’ESSENTIEL DU COURS
Chapitre 15 – Mouvements plans – Oscillations
– 2e loi : loi des aires
Les planètes ne tournent pas à vitesse constante. Le segment de droite FP
balaie des aires égales pendant des durées égales (Fig. 5).
– 3e loi : loi des périodes
Pour toutes les planètes, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axe est le même :
P
F
P
Figure 5
T2
= cte .
a3
REMARQUE. – On suppose le Soleil fixe (m s & m p ).
• Approximation : mouvement circulaire uniforme
En première approximation, on assimile la trajectoire du centre des planètes
à un cercle (Fig. 6) de rayon r autour du Soleil. La seule force considérée est
l’interaction gravitationnelle Soleil-planète :
-G
ms mp
r2
T
P
N
r
F
S
u sp = m p a p .
Dans le repère de Frénet : u sp = - N
ap = G
Figure 6
ms
r2
N .
Une accélération normale constante centripète signifie une vitesse
constante : mouvement circulaire uniforme :
ap =
G ms
.
r
v2
N&v=
r
La période de révolution est donc :
T=
2πr
= 2π
v
r3
&
G ms
T2
4 π2
=
= cte .
G ms
r3
On retrouve la 3e loi de
Kepler.
2.2 Mouvements des satellites
• Référentiel géocentrique
Il a son origine au centre de la Terre T et trois axes fixes parallèles à ceux
du référentiel héliocentrique (il est donc en translation circulaire par rapport
au référentiel héliocentrique). On le considère comme galiléen (Fig. 7).
Référentiel héliocentrique
α
• Trajectoire elliptique
Les trois lois de Kepler s’appliquent de la même façon :
Soleil / Planète + Terre / Satellite
la seule force considérée étant l’interaction gravitationnelle Terre/Satellite.
S
γ
β
α
γ
T
Référentiel géocentrique
β
Figure 7
251
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PHYSIQUE
• Approximation : mouvement circulaire uniforme
En admettant une orbite circulaire de centre confondu avec le centre de la
Terre (Fig. 8), on retrouve pour le centre d’inertie du satellite :
v
S
a
r
a=G
T
mT
r2
N
v=
et
G mT
,
r
v=vT,
avec r = R T + h , h (altitude).
Figure 8
z
ω
N
y
x
S
plan équatorial
Figure 9
r3
.
G mT
• Satellite géostationnaire : un tel satellite gravite dans le plan de l’équateur terrestre et tourne dans le même sens de rotation de la Terre avec une
même période de révolution que la période de rotation de la Terre (Fig. 9).
Un tel satellite est immobile vis-à-vis d’un observateur fixe sur Terre (référentiel terrestre).
Un jour sidéral (environ 24 h) &
T = 2π
T = 86 184 s .
^R T + hh
G mT
3
&
h=3
5 800 km .
35
3 ■ Oscillations d’un pendule
O
axe fixe ∆
La période de révolution vérifie : T = 2 π
3.1 Pendule pesant
θ
G
z
balancier d’une horloge
Figure 10
Il s’agit d’un oscillateur en
rotation.
En pratique : θ max 1 10°.
Dans ce cas, il y a isochronisme des
petites oscillations.
∆
O
• Définition : tout système matériel ou solide pouvant osciller autour
d’un axe horizontal fixe ^O, ∆ h ne passant pas par son centre d’inertie G
(Fig. 10).
• Oscillation : c’est le trajet effectué par le pendule entre deux passages
consécutifs à la même position et dans le même sens.
– On choisit souvent comme référence la position d’équilibre stable : G
est situé sur la verticale Oz issue de O, et au-dessous de l’axe de rotation.
– On caractérise alors la position du pendule à un instant t par son abscisse
angulaire θ ^ t h.
• Oscillations libres : en l’absence de frottements, les oscillations sont
dites libres. Un pendule, écarté de sa position d’équilibre d’un petit angle,
et abandonné sans vitesse initiale, effectue des oscillations périodiques,
de période propre T0 , indépendante de l’amplitude angulaire θ max .
• Oscillations amorties : en présence de frottements, le pendule revient
rapidement à sa position d’équilibre.
m
z
3.2 Modélisation : pendule simple
F
θ
G
P
• Définition : un pendule simple est constitué d’une petite boule de masse
m, suspendue à un fil inextensible de masse négligeable et de longueur ,
(Fig. 11). Sa conception permet des frottements quasi négligeables.
Figure 11
252
Passerelle_Livre.indb 252
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Exercices incontournables
1. Mouvement d’une balle de golf
Une balle de golf, assimilable à un solide ponctuel M de masse m, est lancée d’un point O pris pour origine des
espaces et du temps, dans le champ de pesanteur terrestre ( g uniforme) avec une vitesse initiale v 0 faisant un
angle α avec l’horizontale.
a) En supposant la force de frottement de l’air négligeable, établir l’équation de la trajectoire dans le plan
^O ; i , j h, défini par v 0 et g .
b) Déterminer la flèche H (hauteur du sommet S de la trajectoire) et la portée O B = L (distance à laquelle la balle
retombe sur le sol horizontal).
c) On suppose α variable. Déterminer la portée maximale L max et la flèche maximale H max en fonction de v 0
et g.
a) On utilise un référentiel terrestre galiléen ^O ; i , j h (Fig. 16).
Le système étudié est la balle de golf qui n’est soumise qu’à son poids ; d’après
la 2e loi de Newton :
mg =ma & a =g.
y
ys
En projection sur O x et O y :
v0
S
H
L
xp = a x = 0 et yp = a y = - g .
O
Par intégration entre t = 0 et t :
xs
B
xB x
Figure 16
xo = v x = v 0 cos α et yo = v y = - g t + v 0 sin α ,
puis
x = v 0 t cos α et y = -
1 2
g t + v 0 t sin α ,
2
on obtient l’équation de la trajectoire :
t=
x
et
v 0 cos α
y=-
1 g x2
+ x tan α .
2 v 20 cos 2 α
Il s’agit d’une parabole d’axe parallèle à O y , coupant O x en O et B.
b) • Le sommet S est atteint lorsque l’altitude est maximale :
d
g xS
dy
+ tan α
n =0=- 2
dx S
v 0 cos 2 α
xS =
v 20
g
cos α sin α =
Il en résulte : y S = H = -
v 20 sin 2 α
2g
.
g x 2S
1
1
+ x S tan α = x S tan α
2 v 20 cos 2 α
2
255
Passerelle_Livre.indb 255
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PHYSIQUE
v 20 sin 2 α
yS = H =
.
2g
• Le point de retombée correspond à x B = L et y B = 0 .
0 = =soit
g xB
1
+ tan αG x B
2 v 20 cos 2 α
xB = L
=
2 v 20 cos α sin α
g
=
v 20 sin 2 α
g
= 2 xS .
c) • La portée L est maximale (v 0 fixée) si sin 2 α = 1 , soit α = 45° :
α = 45° &
L max =
v 02
g
.
• La flèche H est maximale (v 0 fixée) si sin 2 α = 1 , soit α =
α = 90° &
H max =
v 20
2g
π
(tir vertical) :
2
. On constate L max = 2 H max .
2. Accélération et déviation électrique
Pour visualiser une tension sur l’écran d’un oscilloscope, il faut provoquer une déviation d’un faisceau d’électrons
proportionnellement à cette tension. Ce faisceau d’électrons a été préalablement accéléré dans un canon à électrons. On modélise les phénomènes ainsi.
L’électron est une particule de masse m et de charge q = - e . Son poids est négligeable devant la force électrique.
1. Accélération électrique
E
Un électron pénètre dans une région où règne un champ électrique sur une longueur
fe
L. Sa vitesse d’entrée v e supposée dirigée selon O x et de sens inverse de E est assez
faible pour pouvoir être négligée (Fig. 17).
a) Établir l’expression de x ^ t h pour x variant de 0 à L, en supposant v e négligeable.
b) Donner l’expression de la vitesse en sortie v s .
M
q = - e (électron)
Figure 17
2. Déviation (ou déflexion) électrique
Un électron pénètre dans un condensateur plan soumis à une
U
tension U créant ainsi un champ uniforme E = avec d distance
d
entre les armatures (Fig. 18). Sa vitesse v 0 est selon O x, tandis
y
a) Déterminer les expressions de x ^ t h et de y ^ t h, définissant le
vecteur position de l’électron dans le condensateur plan.
b) Déduire l’équation de la trajectoire et la déviation y , en sortie
du condensateur.
Y
I
E
d
α
O
v0
A
v,
(U 2 0)
B
que le champ électrique est selon (-) O y. À la sortie du condensateur de longueur ,, l’électron a une vitesse v , et se dirige vers
un écran dont la distance au centre du condensateur est D.
x
v
,
2
Y
O¢
D
x
Écran
Figure 18
256
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FAIRE LE POINT
Chapitre 15 – Mouvements plans – Oscillations
e , D
U = k U.
m d v 20
,
On admettra que la tangente à la trajectoire coupe l’axe Ox, en x = .
2
c) Justifier que la déviation Y sur l’écran sera de la forme : Y =
1. Le système choisi est l’électron ^m, q = - eh et on l’étudie dans le repère x O z associé à un référentiel terrestre galiléen. Lorsque t = 0 , l’électron est en x = 0 .
a) La 2e loi de Newton donne : m a = ^- eh E = ^- eh ` - E u x j = + e E u x .
L’accélération est constante et selon v e , donc le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
Par projection sur O x et intégration :
a = xp =
eE
eE
1 eE 2
& v = xo =
t + ve & x ^ t h =
t + v e t.
m
m
2 m
Si l’on néglige v e , on a plus simplement :
x^th =
1 eE 2
t .
2 m
b) L’électron atteint la sortie lorsque x = L , donc après un temps T tel que T =
On en déduit la vitesse en sortie :
vs =
eE
T=
m
2mL
.
eE
2eEL
.
m
2. Le système choisi est l’électron ^m, q = - eh et on l’étudie dans le repère x O y associé à un référentiel terrestre galiléen. Lorsque t = 0 , l’électron est en x = 0 .
a) La 2e loi de Newton donne : m a = ^- eh E = ^- eh a - E u y k = + e E u y .
Par projection sur O x puis sur O y sachant que la vitesse initiale est selon O x :
m a x = 0 & v x = cte = v 0 & x ^ t h = v 0 t.
m ay = e E & vy =
eE
1 eE 2
t & y^th =
t .
m
2 m
b) On élimine le temps entre les deux équations pour obtenir celle de la trajectoire :
y=
1 eE x 2
b l . C’est une portion de parabole.
2 m v0
À la sortie du condensateur (x = , ), on obtient :
y, =
U
1 eE , 2
d n , avec E = .
2 m v0
d
c) Une fois sorti du condensateur, l’électron prend un mouvement rectiligne uniforme selon la tangente à la trajectoire.
On déduit géométriquement :
tan α =
Y y,
= ,
,
D
2
soit la déviation Y =
2
y D=
, ,
e , D
U = kU .
m d v 20
257
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PHYSIQUE
3. Soleil, Terre, Lune et Météosat
1. Le référentiel héliocentrique a pour origine S le centre d’inertie du Soleil et trois axes dirigés vers trois étoiles
fixes. Dans ce référentiel, la Terre, assimilable à une sphère de centre T, de masse m T = 5,98.10 24 kg et de
rayon R T = 6 380 km , décrit une orbite quasi circulaire de centre S, de période T1 = 1 an = 365 jours .
a) Déterminer le vecteur accélération de la Terre en fonction de G (constante de gravitation), m S (masse du Soleil)
et R 1 = S T . Montrer que le mouvement est circulaire uniforme.
b) Déterminer l’expression de la vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil en fonction de G, m S et R 1 , puis
l’expression de la période de révolution T1 .
c) Calculer le rayon de l’orbite R 1 si la masse du soleil vaut m S = 1,98.10 30 kg .
On rappelle la constante de gravitation G = 6,67.10 - 11 uSI.
2. Le référentiel géocentrique a pour origine T, le centre de la Terre, et pour axes des axes parallèles à ceux
du référentiel héliocentrique. Dans ce référentiel, la Lune décrit une orbite circulaire autour de la Terre de rayon
R 2 = 383 000 km , et de période T2 .
a) Donner l’expression de la vitesse de rotation de la Lune autour de la Terre en fonction de G, m T et R 2 , puis
en fonction de g 0 (intensité du champ de pesanteur terrestre assimilable au champ de gravitation au niveau du
sol terrestre), R T et R 2 .
b) Donner l’expression de la période de révolution de la Lune en fonction de G, m T et R 2 , puis de g 0 , R T et
R 2 et calculer sa valeur.
3. La Terre tourne en outre sur elle-même. Elle effectue une rotation complète autour de l’axe des pôles en un
jour sidéral : T3 = 86 164 s . Un satellite de type Météosat est dit géostationnaire car il reste immobile par rapport
à un référentiel terrestre.
a) Quels sont nécessairement sa position et son mouvement dans le référentiel géocentrique ?
b) Quelle est la relation entre son altitude h et G, m T , R T et T3 ? En déduire h.
Les référentiels choisis successivement seront considérés comme galiléens.
T
1. a) Notre système d’étude est la Terre (corps à symétrie sphérique équivalent vu de
N
l’extérieur à une masse ponctuelle m T en son centre T) et le référentiel est le référentiel
héliocentrique. La Terre est soumise à la seule force de gravitation (Fig. 19).
La seconde loi de Newton donne :
mT a = F = - G
mT mS
R 21
u ST & a = -
G mS
R 21
S
G mS
R 21
Figure 19
N .
Comme pour un mouvement circulaire quelconque : a =
on déduit
u ST
u ST .
L’accélération est normale centripète. Dans le repère de Frénet ^ T , N h :
a=
T
dv
= 0 & v = cte .
dt
dv
v2
T+
N,
R1
dt
Le mouvement est circulaire uniforme.
258
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FAIRE LE POINT
Chapitre 15 – Mouvements plans – Oscillations
G mS
&
R1
b) Par identification : v 2 =
G mS
.
R1
v=
On retrouve pour la période de révolution la loi de Kepler :
T1 =
R 31
2 π R1
= 2π
v
c) On déduit : R 1 = e
T 21
4 π2
G mS
G mS o
.
1/ 3
1,49.10 11 m .
=
2. a) Le mouvement du satellite Lune autour de la Terre dans le référentiel géocentrique est identique au mouvement de
la planète Terre autour du Soleil dans le référentiel héliocentrique.
La 2e loi de Newton donne :
mL a = - G
mT mL
u TL & a =
R 22
G mT
R 22
u TL .
Pour une masse ponctuelle au niveau du sol :
m g0 = - G
m mT
R T2
Donc en valeur : a =
D’où :
v=
u & g0 =
G mT
R 22
=
g 0 R 2T
R 22
G mT
R T2
=
.
v2
.
R2
g0
.
R2
G mT
= RT
R2
b) On déduit la période de révolution T2 :
T2 =
R 32
2 π R2
= 2π
v
G mT
=
2π
RT
R 32
g0
.
T2 = 27,3 jours .
L’application numérique donne :
3. a) Un satellite géostationnaire reste situé en permanence à la verticale d’un point de la surface de la Terre. Il est donc
nécessairement dans le plan de l’équateur pour que son axe de rotation soit confondu avec l’axe des pôles et il a un mouvement circulaire uniforme (dans le même sens que la rotation propre de la Terre) de période égale à un jour sidéral (T3 ).
b) T3 =
2 π R3
= 2π
v
^R T + h h
G mT
3
(d’après le 2.b)).
On peut alors calculer R T + h , puis h :
RT + h = e
T 32 G m T
4 π2
o
1/ 3
= 42 200 km &
h = 35 800 km .
259
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