Notion de probabilité en classe de Troisième « Les probabilités, c

Notion de probabilité
en
classe de Troisième
« Les probabilités, c'est d'abord un
mode de pensée »
(Claudine Schwartz).
L'introduction du programme de 3ème
rappelle que :
« c’est pour permettre au citoyen
d’aborder l’incertitude et le hasard dans
une perspective rationnelle que sont
introduits les premiers éléments relatifs
à la notion de probabilité. ».
Programme de Troisième

« La notion de probabilité est abordée à partir de situations
familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes).

Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas
pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir
de considérations intuitives de symétrie ou de
comparaisons mais sont approximativement évaluées par les
fréquences observées expérimentalement (approche
fréquentiste des probabilités) ».

Programme 2008 (Rentrée 2009)
Les mêmes situations familières fournissent toujours le cadre de
l’introduction, mais on précise que « la notion de probabilité
est abordée à partir d’expérimentations qui permettent
d’observer les fréquences des issues » (que l’on dispose ou
non d’un modèle intuitif).
Quel vocabulaire introduire?
Le minimum incontournable : expérience aléatoire,
résultat ou issue, événement élémentaire, événement,
probabilité, arbre.
 événements incompatibles,
 événement contraire,
 événement certain,
 événement impossible.

----------------------------------------------------A partir des exemples traités, quelques éléments de langage et
propriétés seront institutionnalisés…
 D’autres peuvent être mentionnés à l’occasion d’exercices concrets
(situation d’équiprobabilité).
 Attention : L’interprétation des événements de manière ensembliste est un
objectif de la classe Seconde (Projet).
Par exemple : A  B ou
A
Quelques extraits
relevés dans
des manuels de troisième
Expérience aléatoire
Déf : Les résultats ou issues possibles d’une expérience
aléatoire sont appelés éventualités. Un événement est un
ensemble d’éventualités.
Une éventualité est un événement élémentaire.
Déf : Une expérience dont on connaît tous les résultats
possibles sans savoir avant l’expérience le résultat qu’on
obtiendra est appelée expérience aléatoire.
Déf : Une expérience est dite aléatoire lorsque chaque issue
ne dépend pas des issues des expériences précédentes.
Prisme
Diabolo
Phare
Transmath
Le doc d’acc
parle de
résultats ou
issues
Confus
Trop vague.
Vague. Peut
prêter à
confusion.
Bien
Probabilité d’un événement
Déf : Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une
expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un
événement se rapproche d’une « fréquence théorique »
appelée probabilité.
Phare
Déf : Quand une expérience aléatoire est répétée un grand
nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d’un
événement élémentaire se rapproche d’une valeur
particulière : la probabilité de cet événement élémentaire.
Prisme
Bien
Transmath
Bien
Déf : La probabilité d’un événement A représente les
chances que l’événement se réalise lors d’une expérience
aléatoire. Cette probabilité se note p(A) : c’est un nombre
compris entre 0 et 1.
Plutôt bien
(mais : de façon
indépendante, dans
les mêmes
conditions)
Diabolo
Définition de
journaliste
Probabilité d’un événement (suite)
Déf : La probabilité d’un événement E est un
nombre compris entre 0 et 1.
Si cet événement a 80% de chances de se
produire, il a une probabilité de 0,8.
Bréal
!
Déf : La probabilité d’un événement A est la
proportion probable, parmi tous les cas
possibles, des cas où A sera réalisé si on répète un
grand nombre de fois l’expérience.
…
Dimathème
!
Info : Les probabilités permettent de prévoir la
fréquence probable de phénomènes lors
d’expériences dont on ne connaît pas le résultat.
Dimathème
?
Probabilité d’un événement :
Quelle définition donner?

« La probabilité d’un événement
est définie comme la somme des
probabilités des événements
élémentaires qui le constituent. »
Quelles propriétés sont
institutionnalisées?
0p1
 P( Non A ) = 1 – P(A)


La probabilité de l’événement certain est 1,
celle de l’événement impossible est 0.
Si A et B incompatibles :
P(A ou B ) = P(A) + P(B)
 Arbre pondéré :
Somme des branches, produit (admis)

Propriétés – Extraits de manuels
La probabilité d’un événement est égale à la
somme des probabilités des éventualités qui les
composent.
Prisme
C’est une définition.
Remplacer éventualités
par issues ou évt
élémentaire
? Préciser l’intérêt
Commentaire : On peut additionner les probabilités
de deux événements incompatibles
Transmath Bien
Propriété : Lorsque deux événements sont
incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se
réalise est égale à la somme de leurs probabilités :
p(A ou B) = p(A) + p(B).
p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A et B)
Bréal
?
Bien (doc d’acc)
Cas général HP
Propriétés – Extraits de manuels (suite)
p(A U B) = ...
Evénement contraire : p(
?
A ) = 1 – p(A)
Prisme
HP : pas de
langage ensembliste
Remplacer p( A )
par p(nonA)
Bien
Transmath
Quelles activités ? (1)
Premier temps : Exemples d’expériences à une
épreuve où les probabilités des issues sont
accessibles intuitivement :
Recommandations :
◦ Donner des exemples simples, proches des préoccupations
naturelles des élèves avec un univers dont la description est assez
simple.
◦ Choisir des situations équiprobables ou non : lancers de dés ou
de pièces, tirage d’une boule dans une urne à la composition donnée,
roue de loterie …
◦ Des problèmes conduisant à un débat pourront être proposés
tout au long de cette phase d’apprentissage pour contrecarrer
certaines idées fausses.
Recommandations (suite)
◦ Indiquer nettement ce que sont les résultats (ou issues) de
l’expérience considérée;
◦ Des problèmes conduisant à un débat pourront être
proposés tout au long de cette phase d’apprentissage pour
contrecarrer certaines idées fausses :
 Veiller à ce que des expressions comme « 1 chance sur2 » ne sous
entendent pas chez les élèves une proportionnalité implicite.
 Par exemple, si un même résultat a été obtenu 5 fois de suite, quelle
est la probabilité de l’obtenir si on recommence une sixième fois
l’expérience ?
Premier temps : Exemples d’expériences à une épreuve où
les probabilités des issues sont accessibles intuitivement
Modalités de mise en œuvre
 Passer d’expressions du type « on a une chance
sur deux d’obtenir pile » à « on dira qu’on obtient pile
avec la probabilité ½ ».
 Sur un exemple simple, faire constater puis
admettre dans le cas général que, quand on répète
un grand nombre de fois une expérience, la
fréquence d’obtention d’un résultat se rapproche
de la probabilité d’obtenir ce résultat.
Premier temps : Exemples d’expériences à une épreuve où
les probabilités des issues sont accessibles intuitivement
Quelle trace écrite?
A l’issue de chaque activité :
 le professeur peut représenter de façon synthétique la
situation étudiée à l’aide d’un arbre des résultats
 puis, une fois la notion de probabilité introduite, à
l’aide d’un arbre pondéré faisant apparaître à la fois les
résultats possibles et leurs probabilités.
 A ce stade, l’arbre n’est qu’une représentation
synthétique commode. Habituer les élèves à ce mode
de représentation devrait faciliter le recours à l’arbre
pour les expériences à deux épreuves.
Quelles activités ? (2)
Deuxième temps : Exemples d’expériences où les
probabilités des issues ne sont pas accessibles
intuitivement
◦ Le lancer d’une punaise : la punaise peut tomber suivant la
position « 1 » ou la position « 0 » (voir activité).
◦ Autres exemples :
 Le jeu du franc carreau : on lance un disque sur un
quadrillage régulier (carrelage, damier…) ; le diamètre du
disque est inférieur au côté des carrés constituant le
quadrillage ; on gagne si le disque tombe à l’intérieur d’un
carré, on perd sinon.
 Le lancer d’un osselet, …
Deuxième temps : Exemples d’expériences
où les probabilités des issues ne sont pas
accessibles intuitivement.
Exemples dans les manuels :
Des fréquences aux probabilités :
L’ensemble des résultats possibles d’une
expérience aléatoire s’appelle l’univers
Cette fraction est la probabilité théorique
d’obtenir chacun des résultats possibles en
un lancer.
On admet que, dans ce genre d’épreuves, la
probabilité d’obtenir une couleur donnée
(…) est égale à la fréquence de cette
couleur (…) dans l’urne.
Comme une probabilité peut être
assimilée à une …(fréquence) , une
probabilité est un nombre toujours compris
entre … et …
Diabolo
p 160
Diabolo
p 162
HP
pléonasme
incorrect
(affirmation
abusive)
Deuxième temps : Exemples d’expériences
où les probabilités des issues ne sont pas
accessibles intuitivement
Le problème de la punaise (Dimathème)
Deuxième temps : Exemples d’expériences
où les probabilités des issues ne sont pas
accessibles intuitivement
Le jeu du franc carreau
1°) Approche par les fréquences …
Le jeu a été simulé sur ordinateur et on Diabolo
a représenté les fréquences
p 161
obtenues…
2°) Calcul théorique de la probabilité :
(par des considérations géométriques) Diabolo
…
P 161
On admettra que, de manière théorique
, la probabilité d’avoir un lancer
« réussi » est égale au quotient de
l’aire du carré Cj par l’aire du carré Cv.
Parachutage
brutal de la
simulation
Bien
Deuxième temps : Exemples d’expériences où les
probabilités des issues ne sont pas accessibles
intuitivement
Quels objectifs ?
◦ Décrire l’expérience considérée, définir ses issues
(i.e. résultats possibles),
◦ Faire percevoir qu’on n’a pas une perception
intuitive des probabilités de chaque résultat.
◦ Amener les élèves à réinvestir la démarche
fréquentiste mise en œuvre sur un cas plus simple
auparavant.
Deuxième temps : Exemples d’expériences où les
probabilités des issues ne sont pas accessibles
intuitivement
Modalités de mise en œuvre
◦ Faire expérimenter en classe ou à la maison.
◦ Prolonger l’expérimentation par une simulation
tableur exposée par le professeur
◦ Visualiser à nouveau graphiquement l’évolution de
la fréquence d’obtention d’une des issues en
fonction du nombre de répétitions de l’expérience.
◦ En déduire une valeur approchée de la probabilité
cherchée.
Quelles activités ? (3)
Troisième temps : Expériences à deux épreuves
(maîtrise non exigible dans le cadre du socle)
« Cette connaissance n’est pas un objectif du programme et on ne
proposera que des exemples très simples dans lesquels un
raisonnement permet facilement de trouver les résultats en leur
donnant du sens. »

Expériences à deux épreuves :
Modalités de mise en œuvre :



Les expériences étudiées doivent rester
élémentaires.
On se bornera à des expériences conduisant
à un petit nombre de résultats (un maximum
de 6 cas)
On n’abordera pas les cas de tirages
successifs dans une urne, avec ou sans
remise.
(Document d’accompagnement p. 10)
Troisième temps : Expériences à deux épreuves
(maîtrise non exigible dans le cadre du socle)
Exemples dans les manuels :
Transmath
Transmath
Bien
Bien
Propriété
ADMISE.
Ce n’est
pas un
objectif !
Troisième temps : Expériences à deux épreuves
(maîtrise non exigible dans le cadre du socle)
Exemples dans les manuels (suite)
Utiliser un arbre de probabilité
Prisme
p 168
Expérience à deux épreuves :
Lancer deux fois un dé ordinaire à 6
faces est une expérience à deux
épreuves
Diabolo HP épreuves
p168 répétées
(qu’est-ce qu’un
dé « ordinaire » ?
Tirages sans remise
Bien
L’arbre est vertical
pour des raisons
« stratégiques »
HP
Troisième temps : Expériences à deux épreuves
(maîtrise non exigible dans le cadre du socle)
Quels objectifs ?
◦ Un exemple sera utilisé pour dégager la
conjecture du résultat essentiel suivant qui sera
ensuite admis :
« la probabilité d’un résultat d’une
expérience à deux épreuves est égale au
produit des probabilités figurant sur la
branche de l’arbre conduisant à ce
résultat. »
Troisième temps : Expériences à deux épreuves
(maîtrise non exigible dans le cadre du socle)
Quelle trace écrite?
◦ On étendra à ce type d’expériences le principe de
la représentation par un arbre, pondéré ou non.
◦ L’arbre non pondéré permet de déterminer
méthodiquement les résultats possibles de ce type
d’expérience : On peut les noter au bout des
branches de l’arbre.
◦ On pourra institutionnaliser la propriété admise
sur les produits des probabilités (doc d’acc page 11)