Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Droites et plans,
positions relatives
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Des droites et des plans dans l’espace peuvent être parallèles,
concourants ou gauches. C’est ce qu’on appelle les positions
relatives des droites et des plans.
Nous verrons dans cette présentation les procédures pour
déterminer les positions relatives de droites dans R2 ainsi que
de droites et de plans dans R3.
Positions relatives de droites dans R2
Droites parallèles
Caractéristiques des droites parallèles
Les vecteurs normaux sont parallèles :
$ k  R tel queN1 = k N2
Les vecteurs directeurs sont parallèles :
$ k  R tel que D1 = k D2
Le vecteur normal de l’une des droites
est perpendiculaire au vecteur directeur
de l’autre droite :
D1 • N2 = 0 et N1 • D2 = 0
Positions relatives de droites dans R2
Droites parallèles
Caractéristiques des droites parallèles distinctes
• Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des
droites, il ne peut être sur l’autre droite :
si R ∆1, alors R  ∆2
• Il n’y a aucun point d’intersection.
Caractéristiques des droites parallèles confondues
• Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des
droites, il est sur l’autre droite :
si R ∆1, alors R  ∆2
• Il y a une infinité de points d’intersection.
Positions relatives de droites dans R2
Droites concourantes
Caractéristiques des droites concourantes
• Les droites ne sont pas parallèles.
• Les vecteurs normaux sont non colinéaires :
" k  R\{0}, N1 ≠ k N2
• Les vecteurs directeurs sont non colinéaires :
" k  R\{0},D1 ≠ k D2
• Le vecteur normal de l’une des droites
n’est pas perpendiculaire au vecteur
directeur de l’autre droite :
N1 • D2 ≠ 0 et D1 • N2 ≠ 0
• Il y a un seul point d’intersection.
Exemple 11.3.5
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = 2 + 3t
S
∆1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆2 :
y = 4 + 2t
Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
Pour
déterminerdes
si les
droites sont
oucartésienne
confondues,donnent
il suffit un
Les coefficients
variables
dansdistinctes
l’équation
de
considérer
un point quelconque de l’une des droites et de vérifier
vecteur
normal
N1 = (2; –3).
s’il est sur l’autre droite.
Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un
En
posant,
par exemple,
vecteur
directeur
D2 = (3;x2).= 1 dans l’équation de ∆1, on obtient
2Le– produit
3y + 16 =scalaire
0, d’oùdonne
–3y = :–18
= 6.
(2;Le
–3)point
• (3; P2)1(1;
= 66)– est
6 =donc
0. un
N1 •etDy2 =
point de ∆1.
En
lesles
coordonnées
de ce
point dans les équations
de lasont
Parsubstituant
conséquent,
vecteurs sont
perpendiculaires
et les droites
droite
∆2, on obtient :
parallèles.
1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/3
6 = 4 + 2t, d’où : t = 1
Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas
sur la droite ∆2. Les droites sont donc parallèles distinctes.
Exercice
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = –3 + 3t
S
∆1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆2 :
y = 12 – 4t
Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
Pour
déterminerdes
si les
droites sont
confondues,donnent
il suffit un
Les coefficients
variables
dansdistinctes
l’équationoucartésienne
de
considérer
un point quelconque de l’une des droites et de vérifier
vecteur
normal
N1 = (4; 3).
s’il est sur l’autre droite.
Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un
En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆1, on obtient
vecteur directeur D = (3; –4).
12 + 3y – 24 = 0, d’où2 3y = 12 et y = 4. Le point P1(3; 4) est donc un
Le produit
point
de ∆1.scalaire donne : N1 • D2 = (4; 3) • (3; –4) = 12 – 12 = 0.
En
ce point dans l’équation
de la
Par substituant
conséquent,les
lescoordonnées
vecteurs sontdeperpendiculaires
et les droites
sont
droite
∆2, on obtient :
parallèles.
3 = –3 + 3t, d’où : t = 2
4 = 12 – 4t, d’où : t = 2
Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆2. Par
conséquent, les droites sont parallèles confondues.
Exemple 11.3.6
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = 7 + 5t
S
∆1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆2 :
y = 1 + 4t
Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
Pour
déterminerdeslevariables
point de
rencontre
descartésienne
droites, on
peut un
Les coefficients
dans
l’équation
donnent
substituer
les équations
dans l’équation cartésienne
vecteur normal
N1 = (4;paramétriques
–1).
et
la valeur
paramètre
au les
point
d’intersection.
Cela
Lescalculer
coefficients
du du
paramètre
dans
équations
paramétriques
donne
: un vecteur directeur
4(7 + 5t) –D(1 =+ (5;
4t) 4).
– 11 = 0
donnent
2
28 + 20t – 1 – 4t – 11 = 0
= (4; –1) • (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0.
Le produit scalaire donne : N
1 •+D16
2 =0
16t
= –1pas perpendiculaires et les droites
Par conséquent, les vecteurs ne tsont
En substituant
dans les équations paramétriques, on trouve :
sont
concourantes.
x = 7 + 5  (–1) = 2
y = 1 + 4  (–1) = –3
Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3).
Exercice
Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où :
x = 9 + 2t
∆1 : 7x + 3y – 26 = 0 et ∆2 :
y = 3 + 3t
Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
S
Pour
déterminer
point de
rencontre
droites, donnent
on peut un
Les coefficients
deslevariables
dans
l’équationdes
cartésienne
substituer
les équations
paramétriques dans l’équation cartésienne
vecteur normal
N1 = (7; 3).
et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela
Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques
donne :
7(9 + 2t) + 3(3
3t) 3).
– 26 = 0
donnent un vecteur directeur
D2 =+ (2;
63 + 14t + 9 + 9t – 26 = 0
= (7; 3) • (2; 3) = 14 + 9 = 23 ≠ 0.
Le produit scalaire donne : N
23t
1 •+D46
2 =0
= –2pas perpendiculaires et les droites
Par conséquent, les vecteurs ne tsont
En
dans les équations paramétriques, on trouve :
sontsubstituant
concourantes.
x = 9 + 2  (–2) = 5
y = 3 + 3  (–2) = –3
Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3).
La droite dans R3, intersection de plans
On peut décrire une droite dans
l’espace en donnant les équations
de deux plans concourants.
Pour connaître un vecteur
directeur de la droite, on peut
alors effectuer le produit vectoriel
des vecteurs normaux à ces plans.
Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il
est plus simple de résoudre le système d’équations linéaires formé de
ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois
inconnues, on a une variable libre que l’on représente par un
paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite
d’intersection; on a alors la description en fonction d’un de ses
points et d’un vecteur directeur.
Exemple 11.3.7
Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par
l’intersection des plans :
∏1 : x – 2y + 3z = 5 et ∏2 : 2x – 3y + 5z = 8
Résolvons
le système
formé
deuxd’une
équations
plans
la
Cet
ensemble
est formé
des des
points
droitedeque
l’onpar
peut
méthode dereprésenter
Gauss-Jordan.
Onéquations
obtient alors
:
également
par les
paramétriques
:
L1
1 –2
3
5
1 –2 3
5
x
=
1
–
t
≈ L – 2L
2 –3
5 8
1 –1 –2
∆ : 2y = –2 1+ t0
S
z =t
L1 + 2L2 1
0 1
1
On
peut
conclure
que
la
droite
passe par le point R(1; –2; 0) et
≈ L
1au –1
0
–2 D = (–1; 1; 1).
qu’elle2 est parallèle
vecteur
On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que
l’ensemble-solution est :
{(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}
Exercice
Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par
l’intersection des plans :
∏1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et ∏2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0
Résolvons le système formé des deux équations de plans par la
Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut
méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors :
également représenter par les équations paramétriques :
L
1 3 –12 28
3 –12 28
x =14 – 3t 1
3 10
–41
92∆ :
≈ L – 3L
y =28 + 5t 1 0
1
–5
8
S
z =t
L1 – 3L2 1
0
3
4
On
conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et qu’elle
≈ peut
L2
1 –5
0
8
est parallèle
au vecteur D = (–3; 5; 1).
On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que
l’ensemble-solution est :
{(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}
Positions relatives de droites dans R3
Droites parallèles
Caractéristique des droites parallèles
Les vecteurs directeurs sont parallèles :
$ k  R tel que D1 = k D2
Caractéristiques des droites parallèles distinctes
• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une
des droites, il ne peut être sur l’autre
droite : si P ∆1, alors P  ∆2
• Il n’y a aucun point d’intersection.
Caractéristiques des droites parallèles confondues
• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une
des droites, il est sur l’autre droite :
si P ∆1, alors P ∆2
• Les droites ont une infinité de points
d’intersection.
Positions relatives de droites dans R3
Droites non parallèles
Caractéristique des droites non parallèles
Les vecteurs directeurs ne sont pas
parallèles :
" k  R, D1 ≠ k D2
Caractéristique des droites concourantes
• Les droites ont un et un seul point
d’intersection.
Caractéristiques des droites gauches
• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur
l’une des droites, il ne peut être sur
l’autre droite :
si P ∆1, alors P  ∆2
• Les droites n’ont aucun point d’intersection.
Exemple 11.3.8 a
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou
gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
x = 8 + 6t
x = 2 + 3s
∆1 : y = –4 – 2s
et ∆2 : y = 12 – 4t
z = 7 + 2t
z =5+s
Les vecteurs directeurs sont : D1 = (3; –2; 1) et D2 = (6; –4; 2).
Ils sont parallèles, puisque : 2 D1 = D2
Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun,
elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun.
En posant t = 0 dans les équations de ∆2, on a le point P(8; 12; 7). En S
substituant ces coordonnées dans les équations de ∆1. On obtient :
8 = 2 + 3s
12 = –4 – 2s
7 = 5+s
Ce système d’équations n’a pas de solution. Par conséquent, les
droites sont parallèles distinctes.
Exemple 11.3.8 b
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou
gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
x = 2 + 3s
x=5 –t
∆1 : y = –4 – 2s
et ∆2 : y = –2 + 2t
z =5+s
z = –2 – 3t
Les
directeurs
sont
: D1 et
= (3;
–2; 1) et D2 =on(–1;
2; –3).
En vecteurs
représentant
par une
matrice
en échelonnant,
obtient
:
Ils ne sont
D2
L scalaire k1, k D31 ≠ –7
1
3 pas
1 parallèles,
3
3 pour
–7 tout
L puisque
1
3
– 3L1 Vérifions
–2 –2peuvent
2 ≈ Lêtre
3
1 3 ≈ouL2gauches.
0 –8 24
1
Les droites
concourantes
si elles
L2 –2c’est-à-dire
L3 +point
2L2 qui0 satisfait
1 point
3 –7 commun,
–2 2
4 –12 aux
ont un
un
équations
L des deux1droites,
L – 3L
3 soit
–7 :
1
0
2
1
≈ L2 /(–8) 0 1
2 + 3s = 5 – t
2L3 + L2 0 0
1
2
S
–3 ≈ L2
0
1 –3
3s + t = 3
0
L3
0
0
0
d’où
–4 – 2s = –2 + 2t
– 2s –2t = 2
On trouve donc s = 2 et t = –3. En substituant dans les équations des
+ s = –2que
– 3tcelles-ci se rencontrent au
s +point
3t = (8;–8;
–7
droites, on5 obtient
7).
Exemple 11.3.8 c
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou
gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
x = 3 – 2s
x=5–t
∆1 : y = –4 + s
et ∆2 : y = –2 + 2t
z = –3 + 4s
z = –2 + 3t
Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–2; 1; 4) et D2 = (–1; 2; 3).
Ils
sont pas parallèles,
puisqueet
pour
tout scalaire on
k , obtient
k D1 ≠ : D2.
En ne
représentant
par une matrice
en échelonnant,
L1
–2
–2
1 2
–2
1 2
1 2
L1
Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir,
1 –2 2 ≈ 2L2 + L1 0 –3 6 ≈ L2 /(–3)
0
1 –2
vérifions si elles ont un point commun.
L3 + 2L1 0 –1 5
3L3 – L2 0 0 9
4 –3 2
En comparant les équations paramétriques, on a :
SS
–2s + t = 2
3 – 2s = 5 – t
Le système n’a pas de solution,
ce qui signifie que les droites n’ont
–4 + s = –2 + 2t , d’où : s – 2t = 2
pas de point de rencontre. Puisque les droites
4s – 3tne
= 1sont ni parallèles ni
–3 + 4s = –2 + 3t
concourantes, ce sont donc des droites gauches.
On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.
Exercice
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou
gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant.
x = 7 + 2s
x = 12 – 3t
∆1 : y = 6 + 4s
et ∆2 : y = –17 + 5t
z = –1 – 3s
z = –1 + 2t
Les
vecteurs directeurs
: D1et=en
(2;échelonnant,
4; –3) et D2 on
= (–3;
5; 2).
En représentant
par unesont
matrice
obtient
:
Ils 2ne sont
puisque
kD
1≠ D
2. 5
L1
2 pour
2
3
3 pas5 parallèles,
3 tout
5 kLscalaire,
1
4 –5 –23 ≈ L2 – 2L1 0 –11 –33 ≈ L2 /(–11) 0
1 3
Les
2L3être
+ 3Lconcourantes
L3 /5 Pour
–3 droites
–2 peuvent
0
5 15ou gauches.
0 le 1savoir,
3
1 0
vérifions si elles ont un point commun.
On trouve s = –on2 aet:t = 3.
L1 – 3L2 les
2 équations
0 –4 paramétriques,
En comparant
SS
En
substituant
ces
valeurs
dans
les
2s + 3t = 5
7 +0 2s =1 12 3– 3t
≈ L2
équations
4s – 5t = –23 de ∆1 et de
, d’où : paramétriques
6
+
4s
=
–17
+
5t
L3 – L2
0
0 0
(3;––2;
2t =5).
0 C’est le point
–1 – 3s = –1 + 2t ∆2, on trouve–3s
de rencontre des deux droites.
On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Droite et plan parallèles
Caractéristiques
• Le vecteur normal au plan est perpendiculaire au vecteur directeur de la droite :
N∏ • D∆ = 0
Droite contenue dans le plan
• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la
s
droite, il est également dans le plan :
si P ∆, alors P  ∏
Droite non contenue dans le plan
• Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la
droite, il n’est pas dans le plan :
si P ∆, alors P  ∏
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Droite et plan concourants
Caractéristiques
Le vecteur normal du plan n’est pas
perpendiculaire au vecteur directeur de la
droite :
N∏ • D∆ ≠ 0
• Il existe un seul point commun à la droite
et au plan :
Il existe un et un seul point P tel que :
P ∆ et P ∏
Exemple 11.3.9
Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants.
S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.
x = 2 – 3t
∏ : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et ∆ : y = –5 + 7t
z = –3 – 2t
Trouvons
le point de
substituant
les équations de ∆
Le
vecteur directeur
de rencontre.
∆ est : D∆ =En
(–3;
7; –2).
dans celle de ∏, on obtient :
Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (2; 3; 4).
2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 0
– 6t – :15 + 21t – 12 – 8t + 9 = 0
Le produit scalaire4donne
7t – 14 = 0
S
=
(–3;
7;
–2)
•
(2;
3;
4)
=
–6
+
21
–
8
=
7
≠
0.
D∆ • N∏
t=2
Le produit
point de rencontre
est obtenu
en posant
t = 2 dans
équations
Le
scalaire est
non nul,
les vecteurs
nelessont
pas
de ∆. Cela donneet: la droite et le plan sont concourants.
perpendiculaires
La droite et le plan se rencontrent au
x = 2 – 3 2 = –4
point (–4; 9; –7).
y = –5 + 7 2 = 9
z = –3 – 2 2 = –7
Exercice
Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants.
S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.
x = 10 + 2t
∏ : x – 2y + 5z – 15 = 0 et ∆ : y = –2 – 3t
z = –7 – 4t
Le
vecteur directeur
de rencontre.
∆ est : D∆ =En
(2;substituant
–3; –4).
Trouvons
le point de
les équations de ∆
dans
celle normal
de ∏, onà obtient
Le
vecteur
∏ est : : N∏ = (1; –2; 5).
(10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = 0
Le produit scalaire10donne
+ 2t +:4 + 6t – 35 – 20t – 15 = 0
S
–12t
–
36
=
0
=
(2;
–3;
–4)
•
(1;
–2;
5)
=
2
+
6
–
20
=
12
≠
0.
D∆ • N∏
t = –3
Le
produit
scalaire est
non nul,
les vecteurs
pas
Le point
de rencontre
est obtenu
en posant
t = 2 dansnelessont
équations
perpendiculaires
de ∆. Cela donneet: la droite et le plan sont concourants.
La droite et le plan se rencontrent au
x = 10 + 2 (–3) = 4
point (4; 7; 5).
y = –2 – 3 (–3) = 7
z = –7 – 4 (–3) = 5
Exemple 11.3.10
Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants.
S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.
∏ : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et
∆ : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0.
Le
vecteur le
normal
: N∏ = (2;En
Les vecteurs
–3; 4).
Trouvons
pointà ∏
de est
rencontre.
échelonnant
la perpendicumatrice du
laires
à ∆formé
sont :deNces
système
équations,
:
(1; –5;
3) et N∆on
= obtient
(4; –1; –3).
∆1 =trois
2
Le produit mixte de ces vecteurs donne :
L1
2 –3 4 32
2 –3
4 32
21 –3
–5 43 28 ≈ 2L2 – L1
0 –7
2 24
S
= 2 (15 + 3) – (–3)(–3 – 12) + 4 (–1 + 20)
14 –5
3
L3 – 2L1
–1 –3 –1
0
5 –11 –65
4 –1 –3
L1
= 236 ––3
45 + 76
4 = 6732≠ 0.La dernière ligne donne z = 5
≈ L2
0 –7
2
24 et par substitution, on trouve
y = –2 et x = 3.
7L3 + 5L
Le produit
mixte
est
2
0 non0 nul,
–67la droite
–335 et le plan sont concourants.
La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5).
Exercice
Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants.
S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection.
∏ : 2x + y – 3z + 16 = 0 et
∆ : 4x + 5y – 2z + 19 = 0 et x + 3y + 2z – 4 = 0.
Le
vecteur normal
: N∏ = (2; 1;
Les vecteurs
Trouvons
le pointà ∏
deestrencontre.
En–3).
échelonnant
la perpendicumatrice du
système
obtient
laires
à ∆formé
sont : de
N ces
= trois
(4; 5;équations,
–2) et N =on(1;
3; 2). :
∆1
∆2
L1
2
1 mixte
–3 –16
Le produit
de ces vecteurs
donne2 : 1 –3 –16
4
5 –2 –19 ≈ L2 – 2L1
0
3 4 13
2
1 –3
S
2L3 – L1
1
3 2
4
0
5 7 24
4
5 –2 = 2 (10 + 6) – 1 (8 + 2) + (–3) (12 – 5)
L
2
1 –3 –16 La dernière ligne donne z = 7
1 13 2
= 32 – 10 – 21 = 1 ≠ 0. et par substitution, on trouve
≈ L2
0
3
4
13
y = –5 et x = 5.
3L3 – 5L2 0
7 et le plan sont concourants.
Le produit mixte est non0 nul,1la droite
La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7).
Positions relatives de plans dans R3
Plans parallèles
Caractéristiques des plans parallèles
Les vecteurs normaux sont parallèles :
$ k  R tel que N1 = k N2
Caractéristiques des plans parallèles distincts
• Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un
des plans, il ne peut être sur l’autre plan :
si R ∏1, alors R  ∏2
• Il n’y a aucun point d’intersection.
Caractéristiques des plans parallèles confondus
• Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un
des plans, il est sur l’autre plan :
si R ∏1, alors R ∏2
• Les plans ont une infinité de points
d’intersection.
Positions relatives de plans dans R3
Plans non parallèles
Caractéristiques des plan non parallèles
• Les vecteurs
parallèles :
normaux
ne
sont
pas
" k  R, N1 ≠ k N2
• L’intersection des deux plans (∏1  ∏2)
est une droite ∆.
• On dit que les plans sont concourants ou
sécants.
Exemple 11.3.11
Déterminer la position relative des plans suivants :
∏1 : x + 2y + 2z = 4
∏2 : 2x + 3y + 3z = 7
S
Les plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux ne
sont pas colinéaires. En résolvant le système formé de ces deux
équations à l’aide d’une matrice, on a :
1 2
2
4
2 3
3
7
≈
2
4
L2 – 2 L1 0 –1 –1
–1
L1
1
2
≈
L1 + 2 L2
1
0
0
2
–L2
0
1
1
1
Il ne reste que deux équations où z est une variable libre. En posant
z = t, on trouve comme solution générale :
{(x; y; z)| x = 2, y = 1 – t, z = t}
Cet ensemble représente une droite qui passe par le point (2; 1; 0) et
dont D1 = (0; –1; 1) est un vecteur directeur. Les deux plans sont
sécants et leur intersection est une droite.
Exemple 11.3.12
∏1 : x + 3y – 2z = 10
Trouver l’intersection des plans suivants : ∏ : 2x – 4y + 5z = –8
2
∏3: 3x – y + 2z = 4
S
En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une
matrice, on a :
1 3 –2 10 L1
1
3 –2 10 10L1 + 3L2 10
0 7 16
2 –4 5 –8 ≈L2 – 2L1 0 –10 9 –28 ≈L2
0 –10 9 –28
3 –1 2 4 L3 – 3L1 0 –10 8 –26 L3 – L2
0
0 –1
2
L1 + 7L3
≈ L2 + 9L3
L3
10
0 0 30 L1 /10
0 –10 0 –10 ≈ L2 /(–10)
0
0 –1
2 L3/(–1)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
1
–2
Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se
rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; 1; –2).
Exercice
∏1 : x + 3y – 2z = –10
Trouver l’intersection des plans suivants : ∏2 : 3x – 2y + 4z = 31
∏3 : 5x + 4y + z = 16
S
En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une
matrice, on a :
1 3 –2 –10 L1
1 3 –2 –10 11L1 + 3L2 11 0 8 73
3 –2 4 31 ≈L2 – 3L1 0 –11 10 61 ≈L2
0 11 –10 –61
5 4 1 16 L3 – 5L1 0 –11 11 66 L3 – L2
0 0 1
5
L1 – 8L3
≈ L2 + 10L3
L3
11
0
0
0
11
0
0 33 L1 /11
0 –11 ≈ L2 /11
1
5 L3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
–1
5
Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se
rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; –1; 5).
Positions relatives et systèmes d’équations
La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un
plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois
équations à trois inconnues.
S
Infinité de
Aucune
solution
solutions
Solution
unique
Lorsque lareste
matrice
échelonnée
comLorsqu’il
moins
d’équations
Lorsqu’il
resteéquation
autant d’équations
porte
une
impossible,
le
que
d’inconnues
après
avoir
écheque
d’inconnues
après
avoir échesystème
n’a
aucune
solution.
lonné,on
onaaune
unesolution
infinité de
solutions.
lonné,
unique.
a
b c d
0aa beb cfc gdd , où i ≠ 0.
000 0ee 0f f gi g , où h ≠ 0.
00 00 h0 i0
Deux
des plans peuvent être parallèles
distincts.
Les
plans
se rencontrent
alors
Lestrois
trois
plans
ont une droite
Les
pris
deux à deux
en
unplans
même
point.
comme
intersection.
Ils peuvent
peuvent se
couper
selon
droites s’il
parallèles
également
être des
confondus
reste
distinctes.
une équation pour trois inconnues.
Conclusion
À l’aide des vecteurs et des système d’équations, on peut déterminer
algébriquement les positions relatives de droites dans R2 ainsi que de
droites et de plans dans R3.
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 11.3, p. 340 à 354.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 11.4, p. 364 et 367.