Trigonométrie – Angles inscrits I - Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu Définitions : Dans un triangle rectangle : • Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse. • Le sinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à l’angle par la longueur de l’hypoténuse. • Le tangente d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à l’angle par la longueur du côté adjacent à l’angle. Exemple : Soit un triangle ABC rectangle en B. ∧ ∧ AB côté adjacent à l'angle A cos B AC = = AC hypoténuse Côté opposé hypoténuse ∧ à l’angle A ∧ ∧ BC côté opposé à l'angle A sin B AC = = AC hypoténuse ∧ Côté adjacent à l’angle A ∧ ∧ BC côté opposé à l'angle A tan B AC = = ∧ AB côté adjacent à l'angle A Remarque : Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1. Utilisation de la calculatrice 1) sin 40 ≈ 0, 64 (Arrondi au centième) ∧ 7 2) tan D E F = 11 ∧ D E F ≈ 32° (Arrondi au degré) On tape : SIN 40 EXE On tape : SECONDE TAN ( 7 ÷ 11 ) EXE On obtient tan-1 II - Applications 1 - Calculer la mesure d’un angle aigu ∧ Exemple 1 : Calculer la mesure de l’angle J I K Dans le triangle IJK rectangle en J, on a : ∧ JK IK ∧ 3 sin J I K = 7,8 sin J I K = ∧ côté opposé On tape : SECONDE SIN (3 ÷ 7,8) EXE J I K ≈ 23° (Arrondi au degré) hypoténuse ∧ Exemple 2 : Calculer la mesure de l’angle S RT Dans le triangle RST rectangle en S, on a : hypoténuse ∧ RS cos S RT = RT ∧ 4, 3 cos S RT = 6, 3 côté adjacent On tape : SECONDE COS (4,3 ÷ 6,3) EXE ∧ S RT ≈ 47° (Arrondi au degré) 2 - Calculer une longueur Exemple 1 : Calculer la longueur du segment [JK] Dans le triangle JKL rectangle en J, on a : ∧ tan J K L = LJ JK côté opposé côté adjacent longueur cherchée 7, 2 JK D’après l’égalité du produit en croix, JK × tan 68 = 7, 2 × 1 7, 2 JK = tan 68 LK ≈ 2,9 cm (Arrondi au dixième) tan 68 = Exemple 2 : Calculer la longueur du segment [MN] Dans le triangle MNP rectangle en M, on a : ∧ sin N P M = MN NP côté opposé longueur cherchée MN 6, 2 D’après l’égalité du produit en croix, MN × 1 = 6, 2 × sin 45 MN ≈ 4, 4 cm (Arrondi au dixième) sin 45 = III - Propriétés Dans un triangle rectangle, on considère x la mesure d’un angle aigu. Propriété 1 : ( cos x ) + ( sin x ) = 1 2 2 Démonstration : Soit ABC un triangle rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore, on a : AB 2 + BC 2 = AC 2 AB 2 + BC 2 AC 2 = (Règle sur les équations) AC 2 AC 2 hypoténuse AB 2 BC 2 + =1 AC 2 AC 2 2 (Règle sur les fractions) 2 AB BC + =1 AC AC ( cos x ) + ( sin x ) 2 2 (Règle sur les puissances) =1 Propriété 2 : tan x = sin x cos x Démonstration : Soit ABC un triangle rectangle en B. BC sin x AC = cos x AB AC sin x BC AC = × cos x AC AB sin x BC × AC = (Règle sur les fractions) cos x AC × AB sin x BC = cos x AB sin x = tan x cos x IV - Angle inscrit et angle au centre 1 - Angle inscrit Définition : Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Théorème 1 : Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont de même mesure. Données Conclusion C C ∧ ∧ Dans le cercle C, C A D et C B D sont des angles inscrits. ∧ ∧ C A D et C B D interceptent le même arc CD ∧ ∧ C AD = C B D 2 - Angle au centre Définition : Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Théorème 2 : Si dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit. Données Conclusion C C ∧ ∧ Dans le cercle C, B O C est un angle au centre et ∧ B O C = 2 × B AC ∧ B AC est un angle inscrit. ∧ ∧ B O C et B AC interceptent le même arc BC. 3 - Application Soit RST un triangle équilatéral inscrit dans un cercle C de centre O. ∧ Quelle est la mesure de l’angle R O S ? Justifier. • RST est un triangle équilatéral. •• Or, si un triangle est équilatéral alors ses trois angles mesurent 60°. ∧ ••• Donc RT S = 60° . ∧ ∧ • Dans le cercle C, R O S est un angle au centre et R T S est un angle inscrit. ∧ ∧ R O S et R T S interceptent le même arc RS. •• Or, si dans un cercle un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit. ∧ ∧ ••• Donc R O S = 2 × R T S ∧ R O S = 2 × 60 ∧ R O S = 120°