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CSI 2501 / Règles d'inférence (§1.5-1.6-1.7)

Introduction


Arguments en logique propositionnelle


équivalence des expressions quantifiées
Règles d'inférence en logique propositionnelle




Preuves mathématiques.
La déduction naturelle est fondée sur des règles d'inférence
Les règles d'inférence pour construire des arguments
pièges dans lesquels il est facile de tomber
Règles d'inférence pour les phrases quantifiées.
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preuve mathématiques
Une preuve mathématiques correcte (valable logiquement)
et complète (claire et détaillée) est un argument qui établie
d’une façon rigoureuse et définitive la vérité d’une
déclaration mathématique.


Un argument correct permet de s’assurer du résultat.
Un argument complet permet a quiconque de vérifier le
résultat.
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preuve mathématiques
Applications des preuves
 C’est un exercice de communication claire et précise
d’arguments logiques dans tous les domaines.
 L’activité fondamentale des mathématiciens est la
découverte et l’élucidation, par des preuves des
nouveaux théorèmes intéressants.
 La théorie et méthodes de preuves a des applications
dans la vérification des programmes, sécurité
informatique, systèmes de raisonnement
automatiques, etc.
 Prouvez un théorème permet de l’utiliser dans des
applications critiques sans soucis.
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Terminologie







Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée.
Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du
temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur
lesquelles la théorie se repose.
Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des
hypothèses vers la conclusion.
Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En
général c’est une étape pour prouver un théorème plus important.
Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est
une conséquence simple d’un théorème majeur.
Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée.
(En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai
sans être capable de la prouver.)
Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être
prouver a partir des axiomes.
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Visualisation d’une théorie
Une théorie particulière
Une preuve
Les axiomes
de la théorie
…
Les théorèmes
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Comment concevoir une preuve?
Considérer les déclarations suivantes:
• Si hier soir vous n’avez pas dormi alors vous allez dormir durant
le cours.
• Hier soir vous n’avez pas dormi
On peut conclure que vous allez dormir durant le cours.
Ca reviens a une tautologie:
Soit P “hier soir vous n’avez pas dormi” ((pq)  p)  q
Soit Q “vous allez dormir durant le cours”
Ceci est le forme de notre argument:
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P Q
P
---------Q
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Règles d'inférence
On peut utiliser toutes les formes d’arguments
• On peut (et on doit) toujours vérifier la validité d’un arguments (i.e.
avec les tables de vérité).
• Il y a une infinité de formes d’arguments possibles.
Les formes d’arguments les plus simples sont les plus utiles et qui sont
utilisées le plus couramment.
• le lecteur pourra facilement vérifier l’argument
•Des arguments complexes se décomposent et peuvent se dériver a
partir d’arguments simples
L’idée originale est de créer des méthodes automatiques de génération
de preuves.
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Règles d'inférence
Une règle d'inférence logique est une forme qui indique
que si toutes les prémisses (hypothèses) sont vrais alors
on en déduit que la conclusion est aussi vrai.
antécédent 1
antécédent 2 …
 conséquence
“” veut dire “par conséquent”
Toute règle logique d'inférence correspond a une implication qui est une
tautologie:
((ante. 1)  (ante. 2)  …)  conséquence
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Des Règles d'inférence



p
 pq
p q
p
p
q
 pq
Règles d’addition
Règles de simplification
Règles de conjonction
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Modus Ponens & Tollens

p
pq
q

q
pq
p
Règles de modus ponens
(Règle de détachement)
“le mode d’affirmation”
“le mode de nier”
Règles de modus tollens
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Syllogism & Resolution Inference Rules
pq
qr
pr
pq
p
q
pq
p  r
q  r
Règles « syllogisme » transitivité
Règles « syllogisme » disjonctive
Règles de Résolution
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Preuves formelles



Etant données les hypothèses p1, p2,…,pn. une
preuve formelle de la conclusion C consiste
d’une séquence d’étapes qui mènent a C.
Chaque étape utilise une règle d’inférence
appliquées aux hypothèses, et mène a une
nouvelle assertion qui soit vrai.
Une preuve démontre que si les prémisses
(hypothèses) sont vrais alors la conclusion est
vrai.
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Exemple d’une Preuve formelle
Supposant qu’on a les prémisses suivants:
“Il ne fait pas beau et il fait froid.”
“S’il fait beau on va nager.”
“Si on ne va pas nager alors on va faire du canoë.”
“Si on va faire du canoë, alors on rentrera tôt a la
maison.”
Etant données les prémisses ci-dessus prouver le
théorème suivant:
“on rentrera tôt a la maison.”
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Exemple d’une Preuve formelle
Adoptons l’abréviation suivante:





beau = “Il fait beau”;
froid = “Il fait froid”;
nager= “On va nager”;
canoë = “on va faire du canoë”;
tôt = “on rentrera tôt a la maison”.
Les prémisses peuvent êtres écrites comme suit:
(1) beaufroid (2) nager beau
(3) nager canoë (4) canoë  tôt
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Exemple d’une Preuve formelle
étape
1. beau froid
2. beau
3. nagerbeau
4. nager
5. nagercanoë
6. canoë
7. canoëtôt
8. tôt
Prouver par
Prémisse #1.
Simplification de 1.
Prémisse #2.
Modus tollens sur 2,3.
Prémisse #3.
Modus ponens sur4,5.
Prémisse #4.
Modus ponens sur 6,7.
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Exercices
Quelles sont les règles d’inférence utilisées:
•Il neige ou il pleut. Il ne neige pas et donc il pleut.
•S’il y a de la neige je vais faire du ski. Si je vais faire du ski alors je
m’absenterais du cours. Il y a de la neige, par conséquent je
m’absenterais du cours.
•Je suis riche ou je dois travailler. Je ne suis pas riche ou j’aime jouer
du hockey. Par conséquent je dois travailler ou j’aime jouer du hockey.
•Si tu est blonde alors tu es intelligente. Tu es intelligente donc tu es
blonde.
NP
N
P
NS
S A
N
A
RT
R  H
BI
I
TH
B
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Faux
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Construire des arguments avec les
règles d’inférence
Prouver le théorème suivant: “S'il ne pleut pas ou s'il n'est pas
brumeux, alors la course a la voile et la démonstration du sauvetage
auront lieu. Si la course a la voile aura lieu alors le prix sera décerné. Le
prix n’a pas été décerné par conséquent il a plut.”
#
Proposition
Règle
1
(PB)  (VS)
hypothèse
2
VR
hypothèse
3
R
hypothèse
4
V
modus tollens 2 & 3
5
V  S
addition a 4
6
P  B
modus tollens 1 & 5
7
P
simplification de 6
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Autres exemples
Que peut-on en déduire:

“Je suis intelligent ou chanceux. Je ne suis pas chanceux. Si je
suis chanceux alors je gagnerais le loto.”
CL
L
LT
 ???

“Tous les rongeurs rongent leur nourriture. Les souris sont des
rongeurs. Les lapins ne rongent pas leur nourriture. Les
chauves-souris ne sont pas des rongeurs.
R “rongeur”
G “rongent leur nourriture”
L “Lapin”
S “Souris”
C “chauves-souris”
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RG
SR
LG
CR
 ???
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Résolution
Règle de résolution
p q
pr
------ qr
•Utilisée par les systèmes automatiques de raisonnement et
preuves.
•C’est la base de la programmation logique, comme Prolog.
Toutes les hypothèses et les conclusions sont exprimées sous
format de clauses (disjonction de variables ou de leurs
négations). Résolution est la seule règle d’inférence utilisée.
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Résolution
Exprimer sous la forme de conjonction de clauses:
• p(qr)
(pq)(pr)
• (pq)
(p)  (q)
•pq
(pq)
• (pq)
((pq)(qp))
= (pq)  (qp)
= (p q)  ( pq)
= ((p q)  ( p))  ((p q)  q))
= (q   p)  (p  q)
Utiliser la règle de résolution pour monter que
(pq)(pq)(pq)(pq) n’est pas satisfaite
(q  q) = F
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Règles d’inférence pour les
assertions quantifiées
(x) P(x)
P(c)
Instance Universelle
P(c) pout tout c
(x) P(x)
Généralisation Universelle
(x) P(x)
Instance Existentielle
 P(c) pour un certain c
P(c) pour un certain élément c
 (x) P(x)
Généralisation Existentielle
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Révision
Formes d’arguments les plus utilisées en logique propositionnelle
• modus ponens, modus tollens, syllogisme (transitivité
d’implication), syllogisme disjonctive , addition, simplification,
conjonction, résolution
Règles d’inférence pour les expressions quantifiées
• Instance universelle, généralisation universelle
• Instance existentielle, généralisation existentielle
Résolution et programmation logique
• tout peut s’exprimer avec des « clauses »
• Il est suffisant de n’utiliser que les résolution.
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Combiner les règles d’inférence
x (P(x)  Q(x))
P(a)
------- Q(a)
modus ponens Universel
x (P(x)  Q(x))
Q(a)
------- P(a)
modus tollens Universel
#
Assertion
Règle
1
x (P(x)  Q(x))
hypothèse
2
P(a)
hypothèse
3
P(a)  Q(a)
universelle
4
Q(a)
2 & 3 modus ponens
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Exemples/exercices
Utiliser les règles d’inférence pour montrer ce qui suit:
x (P(x)  Q(x))
x(Q(x)  S(x))
x (R(x)  S(x)
x P(x)
 x R(x)
x (P(x)  Q(x)) etx(Q(x)  S(x)) implique
x(P(x)  S(x))
x (R(x)  S(x)) est équivalent to
x( S(x)  R(x))
Donc x(P(x)  R(x))
Puisque x P(x) est vrai. Donc P(a) pour un
certain a du domaine. Puisque P(a)  R(a) est
vrai. Conclusion R(a) est vrai et donc x R(x)
est vrai
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Examples/exercises
Trouver l’erreur dans l’argument ci-dessous
•
xP(x) xQ(x) implique x(P(x)Q(x))
1.
xP(x)  xQ(x)
hypothèse
2.
xP(x)
simplification de 1.
3.
P(c)
instance universelle de 2.
4.
xQ(x)
simplification de 1.
5.
Q(c)
6.
P(c)Q(c)
conjonction de 3. et 5.
7.
x (P(x) Q(x))
généralisation existentielle
c????
instance universelle de 4.
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Exemples/exercices
Est-ce que l’argument suivant est correct?
Si Superman est capable et s’il veut arrêter le mal alors il arrêtera le mal.
Si Superman n’est pas capable d’arrêter le mal alors il est impotent; s’il n’a
pas le désir d’arrêter le mal alors il est malveillant.
Superman n’arrête pas le mal.
Si Superman existe alors il est ni impotent ni malveillant.
Par conséquent, Superman n’existe pas.
A partir de C  V  A and A on en déduit
(CV) .
C  V (1)
 C  I donc C  I
(2)
 V  M donc V M (3)
(4)=(1)&(2)
I  V
(5)=(1) & (4) C  I D’après (1)&(5) on a I.
D’après E   I   M on a  E
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CVA
C  I
V  M
A
EIM
E
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Preuve?
Preuve formelle
• séquence d’assertions finissant par une conclusion
• assertions avant la conclusion sont les prémisses
• chaque assertion doit être un axiome ou bien elle doit être dérivée
d’une prémisse précédente en utilisant une règle d’inférence.
Preuve informelle
• Preuve formelle sont difficile a suivre
• On n’a pas nécessairement besoin de tous les détails. On peut sauter
sur les étapes simples et évidentes, ou on peut les joindre dans un seul
argument. On peut aussi sauter sur quelques axiomes et les supposer
implicitement.
• On se concentre sur l’écriture des preuves informelles (qui sont assez
formelles et précises.)
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Terminologie







Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée.
Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du
temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur
lesquelles la théorie se repose.
Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des
hypothèses vers la conclusion.
Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En
général c’est une étape pour prouver un théorème plus important.
Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est
une conséquence simple d’un théorème majeure.
Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée.
(En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai
sans être capable de la prouver.)
Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être
prouver a partir des axiomes.
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Comment prouver un théorème?
Tout dépends de la forme du théorème
• Cas simple– preuve d’une assertion existentielle  x P(x):
Il existe un entier pair qui peut s’écrire de deux façons différentes comme somme
de deux nombres premiers
Comment prouver ce théorème?
Trouver un tel x et les 4 nombres premiers “10 = 5+5 = 3+7” FAIT
Pour tout entier x il existe un entier y tel que y > x. x  y: y>x
Trouver un algorithme pour trouver un tel y: Il suffit de prendre y = x+1
Les deux sont des preuves d’existence constructives
Il existe des preuves non constructives
•En générale les preuves constructives sont plus utiles.
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Preuve par un contre exemple
Un autre cas simple
Réfuter la négation d’une assertion existentielle x P(x)
x P(x)  x P(x)
Réfuter une assertion universelle
• Donner un contre exemple
Exemples:
Réfuter: Pour tous nombres réels a and b, si a2 = b2 alors a = b
Réfuter : Il n’existe pas d’entiers x tel que x2 = x.
Ce sont des preuves constructives
• Mais on peut avoir aussi des preuves non-constructives
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Comment refuter un théorème
existentiel?
En prouvant la négation (assertion universelle)
Exemple: Réfuter: Il existe un entier positif n tel que n2+3n+2 est premier
On va prouver: Pour tout entier positif n, n2+3n+2 n’est pas premier.
Preuve:
Supposons que n est un entier positif. En factorisant n2+3n+2 on obtiens
n2+3n+2 = (n+1)(n+2).
Puisque n 1 alors n+1>1 et n+2>1. Les deux nombres n+1 et n+2 sont
des entiers puisqu’ils sont des sommes d’entiers.
Puisque n2+3n+2 est le produit de deux entiers plus grand que 1, alors il
n’est pas premier.
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Comment prouver un théorème
universel?
La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x)  Q(x)
Comment prouver ce type de théorème?
• En analysant tous les cas
• Si le domaine est fini
• Il n’y a qu’un nombre fini de x satisfaisant P(x).
Exemple: x x est un entier pair tel que 4x16, x peut être écrit comme
somme de deux entiers premiers
4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 7+7, 16 = 3+13
Analyse de tous les cas ne peut marcher si le domaine est infini ou il est très
grand.
• pas moyen d’utiliser «Analyse de tous les cas » pour prouver que le circuit
de la multiplication du CPU est correcte.
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Comment prouver un théorème
universel?
La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x)  Q(x)
généraliser a partir du cas particulier
• Soit x un élément particulier du domaine, prouver que si x satisfait
P alors x doit aussi satisfaire Q.
• En utilisant des définitions, des résultats déjà prouvés et les
règles d’inférence.
• Il est important de n’utiliser que les propriétés qui s’applique a
tous les éléments du domaine.
Preuve directe: On suppose P(x) et on en déduit Q(x).
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Exemple 1: Preuve directe
Théorème: Si n est impair alors n2 est impair.
Définition: un entier n est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k. Un
entier n est impair s’il existe un entier k tel que n = 2k+1. Tout entier
est pair ou impair et ne peut être les deux en même temps.
Théorème: (n) P(n)  Q(n),
Où P(n) est “n est un entier impair” and Q(n) est “n2 est impair.”
On dois montrer P(n)  Q(n)
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Exemple 1: Preuve directe
Théorème: Si n est impair alors n2 est impair.
Preuve:
Soit p --- “n est impair”; q --- “n2 est impair”;
On veux prouver que p  q.
Supposons p, i.e., n est impair. Par définition n = 2k + 1,
pour un certain entier k.
Donc n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k ) + 1.
Par conséquent n2 =2k’ + 1, ou k’ = (2k2 + 2k). Par
définition de impair, on en déduit que n2 est impair.
QED
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Exemple 2: Preuve directe
Théorème: La somme de deux entiers pairs est un
entier pair.
• Point de départ: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires
• Conclusion: n+m est pair
Preuve:
Soient m et n deux entiers pairs arbitraires. Par définition de pair,
il existes deux entiers r et s tels que m=2r et n=2s. Donc
m+n = 2r+2s (substitution)
= 2(r+s) (factoriser par 2)
Soit k = r+s. Puisque r et s sont des entiers alors k est un entier.
Par conséquent m+n = 2k, ou k est un entier. Par définition de
pair, on en déduit que m+n est pair.
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Directions générales en écrivant une preuve
• Preuve précise et complète.
• Indiquer clairement le théorème a prouver
• Indiquer clairement le début de la preuve (i.e. Preuve:)
• self-contained: introduire/identifier toutes les variables
• “Soient m et n deux entiers pairs quelconques”
• “… pour certains entiers r et s”
• des phrases complètes “Par conséquent m+n = 2r+2s = 2(r+s).”
• donner les raisons pour chaque étape ou assertion
• par hypothèse, par définition de pair, par substitution
• Clarifier l’argument logique avec des petits mots: puisque, donc, par
conséquent, Observons, soit, …
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Exemples/exercices
Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4.
Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est
divisible par 6.
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Théorie des nombres: très basique
Définition: un entier n est pair si et seulement si  entier k tel que n = 2k
Définition: un entier n est impair si et seulement si  entier k tel que n=2k+1
Définition: Soient k et n deux entiers. On dit que k divise n (qu’on note k | n)
si est seulement si il existe un entier a tel que n = ka.
Définition: un entier n est premier si et seulement si n>1 et pour tous entiers
positifs r et s, si n = rs, alors r=1 ou s = 1.
Définition: Un nombre réel r est rationnel si et seulement si  deux entiers a et
b tels que r= a/b et b  0.
Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels?
7/13
0.3
3.142857
3.142857142857142857142857…
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3/4+5/7
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Exemples/exercices
Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4.
Preuve:
Soit n un entier pair quelconque. Par définition de pair, il existe un
entier r tel que m=2r. Alors n2 = (2r)2= 4r2. Par conséquent et d’après
la définition « de divisible par 4 », l’entier n2 est divisible par 4.
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Exemples/exercises
Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.
J’ai plus de connaissances dans la théorie des nombres, ce qui me permet
de prouver ce théorème.
Lemme 1:  entiers k,n,a: k | n  k | an
Lemme 2: Parmi n’importe quels k entiers consécutifs, un unique entier est
divisible par k.
Lemme 3: x: 2| x  3| x  6| x
(un cas spécial d’un théorème plus général)
 x, y, z: y | x  z|x yz/GCD(y,z) | x
(On prouvera Lemme 2 et Lemme 3 plus tard lorsqu’on saura plus sur la
théorie des nombres)
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Preuve du Théorème
Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible
par 6.
Preuve: Soit n un entier quelconque.
D’ après Lemme 2, on a 2|n ou 2|(n+1). A partir de Lemme 1, on
en déduit que 2|n(n+1) and donc en appliquant de nouveau
Lemme 1 on a 2|n(n+1)(n+2).
D’ après Lemme 2, on a 3|n ou 3|(n+1) ou 3|(n+2). En
appliquant deux fois Lemme 1 on obtient 3|n(n+1)(n+2).
Par conséquent, 2 | n(n+1)(n+2) et 3 | n(n+1)(n+1). A partir de
Lemme 1, on en déduit que 6=2*3 | n(n+1)(n+2).
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Preuve par Contradiction
A – On veut prouver p.
On démontre que:
(1)
(2)
¬p  F;
On en déduit que ¬p est faux puisque (1) est vrai et donc p est
vrai.
B – On veut prouver p  q
(1)
(2)
(3)
On suppose la négation de la conclusion, i.e., ¬q
On utilise la supposition de (1) pour montrer (p  ¬q )  F
Puisque ((p  ¬q )  F)  (p  q) la preuve est faite!
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Exemple 1: Preuve par Contradiction
Théorème
“Si 3n+2 est impair, alors n est impair”
Preuve.
Soit p = “3n+2 est impair” et q = “n est impair”
1 – On suppose p et ¬q i.e., 3n+2 est impair et n n’est pas impair
2 – Puisque n n’est pas impair alors n est pair.
3 – si n est pair, n = 2k pour un certain entier k, et donc
3n+2 = 3 (2k) + 2 = 2 (3k + 1), et donc pair.
4 – On a obtenu une contradiction, 3n+2 est impair et 3n+2 est
pair et donc p  q, i.e., “Si 3n+2 est impair , alors n est impair ”
Q.E.D.
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Exemple2: Preuve par Contradiction
Prouver que 2 est irrationnel (Preuve classique).
•
•
•
•
•
Supposons que 2 est un nombre rationnel. Alors ils existent
deux entiers a et b (relativement premiers) tels que 2 = a/b.
Donc 2 = a2/b2 et 2b2 = a2.
Par conséquent a2 est pair et donc a est pair, c’est a dire
a=2k pour un certain entier k.
On en déduit que 2b2 = (2k)2 = 4k2 et donc b2 = 2k2
Donc b2 est pair et b est pair (b = 2k pour un certain entier k)
contradiction
Mais puisque a et b sont
tous les deux pairs alors
ils ne sont pas
relativement premiers!
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Exemple 2: Preuve par Contradiction
Ma preuve n’est pas si complète?
•
a2 est pair, et donc a est pair (a = 2k pour un certain entier k)??
•
Supposons le contraire, c’est a dire supposons que a n’est pas pair.
•
•
Donc a = 2k + 1 pour un certain entier k
•
Donc a2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k2 + 4k + 1
•
Par conséquent a2 est impair.
contradiction
J’avais raison, a est pair.
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Plus d’exemples/ exercices
Exemples:
• Il existe un plus grand entier
• Proposition 2: parmi k entier consécutifs il y a au plus un seul entier
divisible par k.
• Il existe un plus grand nombre premier
On sait déjà qu’il existe un nombre irrationnel: 2
• La somme de deux nombres irrationnel est un nombre irrationnel
• Ils existent deux nombres irrationnels a and b tels que ab est un nombre
rationnel
• preuve non-constructive existentielle
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Preuve par contraposition
Preuve par contraposition
• On veut prouver x (P(x)  Q(x))
• réécrire comme x (Q(x)  P(x)) (c’est la contraposition)
• prouver la contraposition avec une preuve directe:
• Prenons un élément x arbitraire du domaine tel que Q(x)
est faux
• prouver que P(x) est faux.
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Exemple 1: Preuve par Contraposition
•
Prouver que si a est b sont des entiers et a + b ≥ 15, alors a ≥ 8 et b ≥ 8.
(a + b ≥ 15)  (a ≥ 8) v (b ≥ 8)
(a < 8)  (b < 8)  (a + b < 15)
(Suppose q)
(montrer p)
Suppose (a < 8)  (b < 8).
Alors (a ≤ 7)  (b ≤ 7).
Donc (a + b) ≤ 14.
Donc (a + b) < 15.
QED
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Example 2: Preuve par Contraposition
Théorème:
Pour un entier n , si 3n + 2 est impair, alors n est impair.
i.e. Pour un entier n, 3n+2 est impair n est impair
Preuve par Contraposition:
Soit p --- “3n + 2” est impair; q --- “n est impair”;
on veut prouver p  q
La contraposition est ¬q  ¬p
n est pair 3n + 2 est pair
Maintenant on peut utiliser une preuve directe:
supposons ¬q , i.e, n est pair et donc n = 2 k pour un certain k.
Par conséquent 3 n + 2 = 3 (2k) + 2 = 6 k + 2 = 2 (3k + 1) qui est
pair.
QED
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Contradiction vs Contraposition
Peut-on convertir les preuves par contraposition a des
preuves par contradiction?
Preuve de x (P(x)  Q(x)) par contraposition:
Soit c un élément arbitraire tel que Q(c) est faux
… (séquence d’étapes)
P(c)
Preuve de x (P(x)  Q(x)) par contradiction:
Soit x tel que P(x) et Q(x)
alorsQ(c)
// instance existentielle
… (même séquence d’étapes)
Contradiction: P(c) et P(c)
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Contradiction vs Contraposition
Mais quelle méthode doit-on utiliser?
Avantage de la méthode par Contraposition:
• On évite des erreurs en exprimant la négation de l’assertion.
• ce qu’on veut prouver est clair
Inconvénient de la méthode par Contraposition:
• n’est utilisable que pour des assertions universelles et conditionnelles.
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Stratégies de preuves
Assertion: Pour tous les éléments du domaine, si P(x) alors Q(x)
Imaginer les éléments satisfaisant P(x). On doit se demander s’ils ont la propriété
pour satisfaire Q(x)?
• si tu est convaincu que c’est « OUI » alors utiliser les raisons pour
lesquelles tu penses que c’est OUI comme base d’une preuve directe.
• Si ce n’est pas clair que la réponse est « OUI », utiliser les raisons pour
peut être arriver un contre exemple.
• Si vous n’arrivez pas a trouver un contre exemple essaye de réfléchir sur
les raisons:
• Peut être en supposant P(x) Q(x) tu arrives a une contradiction
• Peut être en supposant P(x) Q(x) tu peux en déduire P(x)
Il n’y a pas de recettes pour les preuves
• La pratique, pratique et pratique
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Plus d’exemples/exercices
Prouver qu’ils n’y a pas d’entiers qui sont solutions de
x2+3y2=8
Prouver qu’ils n’y a pas d’entiers qui sont solutions de
x2-y2 = 14.
Prouver qu’on peut remplir un échiquier avec des dominos.
Prouver qu’un échiquier sans une case du coin ne peut être
remplie avec des dominos.
Prouver qu’un échiquier sans deux cases de coins situées
sur une diagonale ne peut être remplie avec des dominos.
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Plus d’exemples/exercices
Prouver qu’il n’y a pas d’entiers qui sont solutions de
xn+yn = zn et tels que xyz 0 for n>2.
Dernier théorème de Fermat (Ca pris plusieurs siècles
pour le prouver, la preuve consiste de quelques
centaines de pages)
La conjecture 3x+1 : Est-ce que ce programme s’arrête
pour tout entier i?
tantque(i>1) {
si (pair(x)) x = x/2;
sinon x = 3x+1;
}
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Erreurs a éviter
• Généraliser a partir d’exemples
• On observe que 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont premiers, donc on en
déduit que tout nombre impair est premier??
• Le code produit des résultats correctes pour les cas qu’on a tester
et donc on en déduit que toujours le code produit un résultat
correcte
• Utiliser la même variable ou lettre pour exprimer deux choses
différentes
• xP(x)  xQ(x) ca ne veut pas dire qu’il existe c tel que(P(c)Q(c))
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Erreurs a éviter
D’autres erreurs assez communes:
1.
2.
3.
L’erreur d’affirmer la conclusion
L’erreur de nier l’hypothèse
Tourner en rond ou raisonnement circulaire
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L’erreur d’affirmer la conclusion
Si André l’a fait, il aura du sang sur les mains.
André a du sang sur les mains.
Par conséquent, André l’a fait.
La forme d’argument
PQ
Q
P
ou ((PQ)  Q)P
qui n’est pas une tautologie et donc
pa une forme d’inférence valable
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L’erreur de nier l’hypothèse
Si André est nerveux, il l’a fait.
André n’est pas vraiment nerveux.
Par conséquent, André ne l’a pas fait.
La forme d’argument
PQ
¬P
 ¬Q
ou ((PQ)  ¬P) ¬Q qui n’est pas une tautologie et
donc pa une forme d’inférence valable
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59
Tourner en rond ou raisonnement circulaire

Lorsqu’on utilise la vérité l’assertion qu’on veut
prouver (ou quelque chose d’équivalent) dans la
preuve.
Exemple:
 Conjecture: si n2 est pair alors n pair.
 Preuve: Si n2 est pair alors n2 = 2k pour un certain k.
Soit n = 2l pour un certain l. Donc n doit être pair.
(Noter que l’assertion n = 2l est introduite sans aucun
argument.)
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Méthodes de preuves







Preuve directe
Preuve par Contraposition
Preuve par Contradiction
Preuve par Equivalences
Preuve par Cas (Exhaustive)
Preuves d’existence
Preuves par contre exemples
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