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Introduction aux Probabilités
P.A. Desrousseaux
I.U.T. de Béziers
Université de Montpellier 2
I.C.F.P. 2009
P.A. Desrousseaux
Les objectifs de la formation
- Revoir ensemble ce qui est exigible et ce que l’on peut
faire avec sa classe ;
- Discuter de l'intérêt des probabilités dans la vie
courante (partie 1) ;
- (Re)voir quelques notions essentielles à l'aide
d'exemples ;
- Par groupes, construire un cours d'introduction
aux probabilités ;
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P.A. Desrousseaux
Les objectifs de la formation (suite)
- Discuter de l'intérêt des probabilités dans la vie
courante (partie 2) ;
- Par groupes, construire une activité, un TD ou,
par exemple un devoir ;
- Travailler sur les probabilités et les TICE
- Construire une séance TICE liée aux probabilités,
sur ordinateur ou calculatrice ;
- Récolter vos différents documents afin de les mettre
à disposition de chacun d'entre vous.
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P.A. Desrousseaux
Les statistiques comme outil d'estimation et
d’argumentation critique.
Pourquoi avoir développé les statistiques ?
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P.A. Desrousseaux
Les statistiques comme outil d'estimation et
d’argumentation critique.
Pourquoi avoir développé les statistiques ?
* Pour savoir effectuer une étude,
*Savoir synthétiser des résultats, les analyser en les traduisant à l'aide
de données (numériques : fréquences, moyennes, médiane, puis plus tard :
écart-type, risque... ou graphiques : diagrammes, histogrammes,
boîtes à moustaches...),
* Savoir présenter les résultats d’ue étude,
*Faire preuve d'un esprit critique (pertinence des résultats, corrections
saisonnières par lissage, écart significatifs, courbe de Gauss...)
vis à vis de ce que l'on présente ou de ce qui nous est présenté
dans les journaux et autres.
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Pourquoi développer les probabilités ?
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Pourquoi développer les probabilités ?
* Pour enrichir le langage (chance de..., aléatoire) ;
* Définir de nouveaux concepts pour un mode de pensée
pertinent ;
* Pour faire le lien entre la pratique (les relevés statistiques)
et la théorie (les probabilités correspondantes).
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P.A. Desrousseaux
Dans les pays voisins (Espagne, Allemagne...)
cette introduction est présente au niveau collège
depuis plusieurs années.
Depuis quelques années, elle est introduite
et tient une place assez importante en lycée.
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P.A. Desrousseaux
Dans les pays voisins (Espagne, Allemagne...)
cette introduction est présente au niveau collège
depuis plusieurs années.
Depuis quelques années, elle est introduite
et tient une place assez importante en lycée.
A titre d ’exemple :
Série S : 5 chapitres sur 35.
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P.A. Desrousseaux
Dans les pays voisins (Espagne, Allemagne...)
cette introduction est présente au niveau collège
depuis plusieurs années.
Depuis quelques années, elle est introduite
et tient une place assez importante en lycée.
A titre d ’exemple :
Série ES : 7 chapitres sur 28.
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L'introduction aux probabilités est au programme
de troisième et mis en application
cette année.
Deux textes de référence :
Le programme, page 49 :
ftp://trf.education.gouv.fr/pub/edutel/bo/2007/hs6/MENE0750668A_annexe2.pdf
Le document d'accompagnement « Probabilités au collège » :
http://www.education.fr/D0015/doc_ac_clg_probabilites.pdf
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Ce que dit le Programme : Sur les statistiques en troisième
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P.A. Desrousseaux
Ce que dit le Programme : Sur les probabilités en troisième
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Quels sont, selon vous, les points essentiels ?
- les définitions ;
- les propriétés ;
- les savoir-faire...
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EN VRAC
Expérience aléatoire
Evénement
Issue ou événement élémentaire
Evénement contraire
Evénement impossible, certain
Probabilité
Loi de probabilité
Lien fréquence probabilité avec la loi des grands nombres
Evénements incompatibles
Equiprobabilité
Expériences aléatoires à deux épreuves
Somme des branches d'un arbre
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Arbre
Probabilité du contraire
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Un Vrai/Faux pour détecter les fausses idées
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Un Vrai/Faux pour détecter les fausses idées (suite)
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En tant qu’enseignants,
* quelles sont les erreurs décelées dans ces exercices ?
* quelle notion principale est en jeu dans ces exercices ?
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La loi (faible) des grands nombres
Alexandre Khintchine
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La loi (faible) des grands nombres
La loi des grands nombres indique que lorsque l'on fait
un tirage aléatoire dans une série de grande taille,
plus on augmente la taille de l'échantillon,
plus les caractéristiques statistiques de l'échantillon
se rapprochent des caractéristiques statistiques
de la population ou des probabilités de l’expérience
aléatoire.
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Quelques exemples (partie 1)…
...
Pour répondre à l’éternelle question :
A quoi ça sert ?
Certains ludiques, d’autres plus sérieux.
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Exemple 1 : Les prévisions météorologiques
Les prévisions météorologiques s'appuient sur des calculs
probabilistes très complexes. La dynamique des fluides
est basée sur des mouvements aléatoires (browniens).
Plus les prévisions sont éloignées plus imprécises
elles sont. D'où l'apparition dans les bulletins
météorologiques des indices de fiabilité.
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Exemple 2 : Les codes correcteurs d’erreurs
C'est une branche des mathématiques qui s'appuie
sur les codes détecteurs d'erreurs, par exemple
pour les numéros de sécurité sociale
(congruence modulo 97) ;
et sur les probabilités pour corriger les erreurs.
Très utile pour les transmissions de données.
A titre indicatif,
un CD de bonne qualité
contient plus de 500 000 erreurs !
(Une seconde de musique contient 1 411 200 bits !)
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Exemple 3 : La cryptographie
Les statistiques, et par extension, les probabilités
interviennent également en cryptographie.
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P.A. Desrousseaux
Par exemple, pour savoir dans quelle langue est écrit
un message crypté, on se base sur les pourcentages
d’apparition des lettres de l’alphabet (ici en français).
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Par exemple, pour savoir dans quelle langue est écrit
un message crypté, on se base sur les pourcentages
d’apparition des lettres de l’alphabet (ici en français).
Remarques :
*A titre indicatif, en anglais : le A : 8,08% et le U : 2,79%
*Pour les joueurs de Scrabble : il y a corrélation
entre le nombre de pièces et la valeur d'une pièce
d'une part et ce tableau de pourcentages d'autre part.
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Exemple 4 : Anniversaires
Si votre classe compte 23 élèves (ou plus),
il y a plus d’une chance sur deux que deux de vos élèves
soient nés le même jour ;
Si votre classe compte 30 élèves (ou plus),
il y a plus de 7 chances sur 10 que deux de vos élèves
soient nés le même jour.
Une petite explication et des détails...
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Anniversaires
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Anniversaires
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Exemple 5 : Jeu équitable ou non
En se promenant dans la rue, on croise une personne
qui propose le jeu gratuit suivant.
On lance un dé.
* Si le chiffre obtenu est pair,
alors on gagne 2 euros ;
* Si le chiffre obtenu est 1 ou 3,
alors on perd 1 euro ;
* Si le chiffre obtenu est 5,
alors on perd 5 euros.
A-t-on intérêt à jouer ?
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La réponse est NON
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Exemple 6 : Comment perdre au casino ?
Il suffit de jouer ! Les machines à sous sont programmées
pour ne reverser qu'à peu près 60% des mises.
Par exemple : Trois rouleaux au bandit manchot
de 4 possibilités chacun, dont le fameux « 7 ».
* Vous avez donc 1 chance sur 4x4x4 de gagner.
* Vous misez 1 euro par jeu.
* Lorsque vous gagnez, la machine devrait
vous verser 4x4x4=64 euros.
* A la place, elle vous versera 60% de 64 euros,
c'est à dire 38,4 euros...
* Gain pour le casino, même si vous gagnez : 25,6 euros !
Le jeu le moins pénalisant est la mise simple sur un numéro à la roulette.
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Exemple 7 : Comment gagner au Loto ?
“100% des gagnants ont tenté leur chance”
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Probabilités de sortie :
1er numéro 2ème numéro 3ème numéro 4ème numéro 5ème numéro 6ème numéro
6/49
5/48
4/47
3/46
2/45
1/44
Chance d'avoir les six numéros gagnants :
p =(6/49)x(5/48)x(4/47)x(3/46)x(2/45)x(1/44)
=1/13 983 816
(1/combinaison (49;6))
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Chance d'avoir les six numéros gagnants :
p =(6/49)x(5/48)x(4/47)x(3/46)x(2/45)x(1/44)
=1/13 983 816
(1/combinaison (49;6))
Une chance sur 14 millions de gagner, cela veut dire que
si je remplis toutes les grilles, à 0,60 euro la grille,
je suis sûr de gagner le gros lot…
Qu’en pensent les élèves ?
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Exemple 8 : Décision des autorités médicales
Une région est touchée par une épidémie. Un individu peut être :
I : immunisé
M : malade
S : ni immunisé, ni malade
On observe que, d'une semaine sur l'autre :
* étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité de 0,9 ;
ou passer à l'état S avec une probabilité de 0,1 ;
* étant à l'état S, il peut le rester avec une probabilité de 0,5 ;
ou tomber malade avec une probabilité de 0,5 ;
* étant malade, il peut le rester avec une probabilité de 0,2 ;
ou devenir immunisé avec une probabilité de 0,8.
Les autorités médicales décideront de lancer une campagne de vaccination
si les prévisions à long terme conduisent à une probabilité d'être malade
supérieure à 9 sur 100. Que décider ?
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P.A. Desrousseaux
On traduit cette situation aléatoire par le graphe probabiliste suivant :
Puis, ce graphe est écrit sous forme de matrice :
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Fin des exemples (partie 1)
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Préparation d’un cours par groupes
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Quelques exemples (partie 2)…
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Exemple 8 : La couleur ou vous êtes cuits
Vous êtes trois amis explorateurs et avez été faits prisonniers
par les indiens.
Ils vous attachent à des poteaux et vous proposent le jeu suivant :
- Ils vous ont placé un chapeau sur la tête, blanc ou noir.
- Chacun voit la couleur des chapeaux des deux
autres, mais pas du sien.
- Chacun doit écrire sur un papier la couleur
de son chapeau ou s’abstenir.
- Vous ne serez pas cuits, puis mangés si
l’un au moins se prononce et si
ce qui est dit est juste.
Remarque : Vous pouvez vous concerter avant le début du jeu.
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P.A. Desrousseaux
Stratégie simple :
Ils décident que deux s’abstiennent et que le troisième répond au
hasard.
Probabilité de ne pas être mangé : 1/2
Stratégie élaborée :
Utiliser les informations détenues par les autres pour augmenter
ses chances.
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Meilleure stratégie :
Si l’un voit la même couleur de chapeaux sur la tête des deux autres,
il dit alors que son chapeau est de l’autre couleur. Sinon, il s’abstient.
Gagné :
ou
Perdu :
ou
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Probabilité de ne pas se faire cuire puis manger : 3/4
- Existe-t-il une meilleure stratégie ? Non.
- Existe-t-il une autre façon d’obtenir 3/4 ?
Mathématiquement : Oui
Moralement : Non
(Géométrie dans l’espace et codes correcteurs d’erreurs)
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Géométriquement…
Gagné :
(1;0;0)
(0;1;0)
(0;0;1)
ou
(0;1;1)
(1;0;1)
(1;1;0)
Perdu :
(0;0;0)
ou
(1;1;1)
Moralement, c’est la même chose si on change le centre des boules.
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Pour les détecteurs d’erreurs
En réalité, on n’utilise pas la distance dans R^3,
mais la distance de Hamming
Mot : ensemble de lettres
Lettres : 0 ou 1
Exemple :
Les mots 110011 et 101011 sont à une distance 2
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Boules de centres 000 et 111 et de rayon 1
Boules de centres 010 et 101 et de rayon 1
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Sphères de centres 000 et 111 et de rayon 2
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Supposons que sur un mot de deux lettres xy,
on cherche à détecter une erreur
On peut envoyer le mot de trois lettres suivant :
xyz avec z=x+y modulo 2
Exemples : 110
011
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Ainsi :
Mots autorisés
000
110
101
011
Mots interdits
001
111
100
010
Chaque mot d’une sphère est renvoyé sur un seul
mot de l’autre !
L’erreur est détectée et corrigée !
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Exemple 9 : Drame au petit-déjeuner
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On note M l’événement :
“la tartine est tombée du mauvais côté”.
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Exemple 10 : Vérifier le fonctionnement
d'une machine
Tests d'hypothèses – Fluctuations d'échantillonnage
Sur une chaîne de fabrication de téléphones portables,
un robot est programmé pour pulvériser 1 cl de peinture
sur l'enveloppe du téléphone.
Au début de chaque mois, on teste
un échantillon de 50 pulvérisations
pour s'assurer que le robot est
bien réglé.
Par exemple, le 1er janvier,
on obtient une moyenne de 0,99 cl pour l’échantillon.
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Que conclure ? Le robot est-il bien réglé ou non ?
A l'aide des probabilités (et de la loi Normale),
on détermine un intervalle d'acceptation.
- Lorsque le volume observé sur l'échantillon
est dans cet intervalle, on « affirme »
(avec un risque d'erreur déterminé)
que le robot fonctionne bien.
- Sinon, qu'il fonctionne mal.
Remarque : On peut commettre deux types d'erreurs :
1. erreur de première espèce :
dire que le robot fonctionne bien alors qu'il fonctionne mal
2. erreur de deuxième espèce :
dire que le robot fonctionne mal alors qu'il fonctionne bien.
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Pour celles et ceux que cela intéresse…
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Exemple 11 : Accidents d’avions - La série noire ?
Savoir décider du caractère exceptionnel d'un événement.
L'exemple de la liste noire des compagnies aériennes
suite à une recrudescence des accidents d'avions
durant le mois d'août 2004.
Cette série d'accidents était-elle due aux manques de
responsabilités de certaines compagnies ? Ou au hasard ?
La réponse dans un des exercices T.I.C.E.
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P.A. Desrousseaux
Création d’une activité, d’un T.P.
et/ou d’un devoir.
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Vers la mise en place d’une séance T.I.C.E.
Les “outils probabilistes” sont les plus efficaces
pour résoudre les problèmes liés aux probabilités.
(merci : on s’en serait douté !).
Trois autres exemples de “résolutions”
qui peuvent être effectuées par vos élèves.
- essayer ;
- utiliser la géométrie ;
- utiliser les T.I.C.E.
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Le lancer de punaise : l’expérimentation
Lorsqu'on effectue le lancer d'une punaise,
elle peut retomber de deux manières différentes :
- Lorsqu'on effectue un petit nombre de lancers
successifs, la fréquence des résultats :
Position 1 ou Position 0 ne semble suivre aucune loi.
- Par contre, en lançant un grand nombre de fois
la punaise, on voit apparaître une certaine régularité
dans les fréquences obtenues.
Cela permet de mettre en évidence une probabilité
de tomber sur chacune des positions. Mais...
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Le jeu de franc carreau : la géométrie
Le jeu consiste à lancer une pièce (de 1 cm de rayon, par exemple)
sur un quadrillage dont les carreaux sont des carrés (de 10cm de
côté, par exemple).
On dit qu’on obtient :
- FRANC CARREAU, lorsque la pièce tombe entièrement
dans un carreau (elle peut toucher le bord) ;
- PAS FRANC CARREAU, sinon.
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Le jeu de franc carreau : la géométrie
On peut, là encore expérimenter avec les élèves.
Relever des fréquences qui devraient tendre
vers la probabilité cherchée :
p(FRANC CARREAU)
Ou, utiliser des considérations géométriques :
- que faut-il pour obtenir FRANC CARREAU ?
- et si on change la taille de la pièce ?
- et si on change la taille des carreaux ?
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Utiliser les T.I.C.E.
- Quelques rappels sur les formules usuelles ;
- Exercice 1 : Deux points sur un segment ;
- Exercice 2 : Accidents d’avions (plus difficile) ;
- Exercice 3 : Lancer de dé (plus classique).
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Création d’une séance T.I.C.E.
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Cette présentation se trouve sur le lien suivant :
http://desrousseaux.pa.free.fr/PagePersonnelle2008/ICFP.html
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