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ASI 3
Méthodes numériques
pour l’ingénieur
la méthode des moindres carrés
Le point de vue numérique
(factorisation QR)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Approximation/interpollation:
moindres carrés
carrés moindres des
sensau ion approximat )( inconnues et équations
)(min )(
ionapproximat
tioninterpolla
)(
, : données
1
2
1
1
1
1
,1
k
n
iiii
k
j
j
ijii
k
j
j
j
ni
ii
nn
yxfyxyxf
nk
nk
xxf
yx
f(x)
xi
yi

Posons le problème
matriciellement
n
k
nk
j
njn
i
k
ik
j
iji
k
k
j
j
k
k
j
j
xfxxx
xfxxx
xfxxx
xfxxx
)1()1()1(
21
)1()1()1(
21
2
)1(
2
)1(
2
)1(
221
1
)1(
1
)1(
1
)1(
121
......
......
......
......
ni
ii
k
j
j
jyxxxf ,1
1
1,pour )( 

Posons le problème
matriciellement
n
k
nk
j
njn
i
k
ik
j
iji
k
k
j
j
k
k
j
j
xfxxx
xfxxx
xfxxx
xfxxx
)1()1()1(
21
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21
2
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2
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2
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221
1
)1(
1
)1(
1
)1(
121
......
......
......
......
n
k
n
j
nn
i
k
i
j
ii
kj
kj
xfxxx
xfxxx
xfxxx xfxxx
... ... 1
... ... 1
... ... 1 ... ... 1
)1()1()1(
)1()1()1(
2
)1(
2
)1(
2
)1(
2
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
=
ni
ii
k
j
j
j
yx
xxf
,1
1
1
,pour
)(
Xa = f

Approximation au sens des
moindres carrés
n
i
j
ii
k n
i
j
ii
n
i
j
ii
k
i
j
j
n
ii
k
j
j
ij
n
iii
xyxxxyx
J
kj
J
J
yxJJyxf
1
1
1 1
11
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
02
,...,1 ;0*)()(argmin* : principe
)( avec )(min )(min
Système linéaire de k équations et k inconnues