UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008 Master 1 de Mathématiques Statistiques

UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008
Master 1 de Mathématiques Statistiques
Feuille de TD no5
Comparaison de plusieurs échantillons gaussiens, analyse de la variance
Exercice 1
(modèle général)
On considère kéchantillons numérotés i= 1, . . . , k l’échantillon noi Xi1,...Xin contient n
valeurs indépendantes issues d’une loi N(µi, σ2). On pose N=nk le nombre total de valeurs
considérées. Les échantillons sont indépendants les uns des autres et de même variance σ2.
On considère les moyennes suivantes
(Xi•=1
nPn
j=1 Xij moyenne du i-ième échantillon
X•• =1
NPi,j Xi,j =1 kPk
i=1 Xi•moyenne générale
1) Montrer qu’en écrivant
Xij −X•• = (Xij −Xi•)+(Xi•−X•• )
et en élevant au carré, on obtient l’égalité suivante T2=R2+L2, où
T2=Pi,j (Xij −X•• )2variation totale
R2=Pi,j (Xij −Xi•)2variation intragroupe
L2=Pk
i=1 n(Xi•−X•• )2variation intergroupe.
2) Sous l’hypothèse H0:µ1=...,µkd’égalité des moyennes théoriques, trouver la loi de la
variable aléatoire T2.
Exercice 2
(signification géométrique des variables R2et L2)
Soit
X= (X11, . . . , X1n, X21, . . . , X2n, . . . , Xk1, . . . , Xkn)
le vecteur de RNobtenu en mettant bout à bout les kéchantillons et soit
Y= (X1•, . . . , X1•, . . . , Xk•, . . . , Xk•)
le vecteur de RNobtenu à partir de Xen remplaçant les variables par la moyenne empirique
correspondante des variables de la même classe et
X= (X•• , . . . , X•• ),
le vecteur de RNdont toutes les composantes sont égales à X•• .
1) Calculer ||X−X||2,||X−Y||2et ||Y−X||2?
2) Montrer que les vecteurs X−Yet Y−Xsont orthogonaux dans RN.

3) On considère le sous-espace vectoriel Vde RNengendré par les vecteurs v1dont les n
premières composantes sont égales à 1et les autres sont égales à 0,v2dont les npremières
composantes sont égales à 0, les nsuivantes valent 1et les autres 0, etc ..., et enfin vna
toutes ses composantes nulles sauf les ndernières égales à 1.
a) Montrer que Y−Xest la projection orthogonale de X−Xsur V.
b) En déduire que les variables aléatoires R2et L2sont indépendantes et déterminer leurs
lois.
Exercice 3
(Le test d’analyse de variance)
On reprend les notations est les hypothèses des exercices 1) et 2).
1) Sous l’hypothèse H0, montrer que la variable aléatoire F=N−k
k−1
L2
R2suit une loi de Fisher
dont on précisera les degrés de liberté.
2) Si l’hypothèse H0est fausse, c’est la variation intragroupe L2qui sera le terme prépondé-
rant dans la somme T2=R2+T2donc la valeur que prendra Faura tendance à être plus
grande que celle qu’elle prendrait sous l’hypothèse H0. De cette observation qualitative, dé-
duire un test d’égalité des moyennes théoriques des échantillons considérés dans l’exercice 1.
Exercice 4
(Tester l’égalité de performances)
On veut déterminer s’il y a de réelles différences de niveau entre 4 lycées différents. Pour
étudier cette question, on recueille les scores obtenus par 10 élèves tirés au hasard dans
chaque établissement à qui on a fait subir une série d’épreuves résumées par une note sur
100. On a observé les résultats suivants
lycée 1 73 57 95 78 86 61 80 98 64 78
lycée 2 84 95 96 62 80 87 100 74 85 77
lycée 3 69 80 73 62 50 71 84 66 52 73
lycée 4 65 58 82 86 35 52 70 79 43 60
Les scores moyens des 4 lycées sont respectivement de 77,84,68 et 63. On voudrait savoir
si les différences observées entre ces moyennes sont dues au hasard (c’est à dire les lycées
sont équivalents) ou non.
Exercice 5
(suite de l’exercice 3 de la feuille 4)
On reprend les notations de l’exercice 3 de la feuille 4 et on note comme dans le cours par
fn1,n2,α la borne de la queue d’ordre αde la loi de Fischer de paramètres n1et n2et on pose
Rα=r1
2f3,6,α||U−UA||2.
Calculer la probabilité de l’événement
||UA−m|| ≤ Rα
et en déduire une sphère de confiance de mau niveau de confiance 1−α.