Introduction PLE

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Introduction
àla
programmation linéaire
en
nombres entiers

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Le problème général se formule ainsi :
Min ctx
Sujet à Ax = b
x ≥0
xjentier ∀j∈J,
où c, x ∈ℜ
n, b ∈ℜm, A ∈Mmxn.
La programmation linéaire en variables entières est très importante,
car la plupart des problèmes réels comportent des variables qui
doivent, par nature, prendre nécessairement une valeur entière.
Si l'on recherche le # de personnes qui doivent travailler sur une
certaine tâche à un instant donné, il importe peu que la solution
optimale du problème en variables continues indique que 342.35
personnes sont nécessaires, car la partie fractionnaire est
négligeable par rapport à la partie entière.

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Par contre, si une variable représente l'existence ou l'absence d'une
usine, ou un nombre faible de navires destinés au transport de
certaines marchandises, la solution d'un problème de PL qui
donnerait 0.44 usine ou 3,55 navires n'est pas satisfaisante.
Si on essaie d'arrondir à une valeur entière voisine, il se peut que la
solution ainsi trouvée soit éloignée de la solution optimale, ou même
ne soit pas réalisable.
Dans de telles situations, il est donc souhaitable de pouvoir utiliser
une méthode plus raffinée que la méthode du simplexe.

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Exemple :
Considérons le problème PLE suivant :
Min -10x -11y
Sujet à 10x +12y ≤59
x ≥0, y ≥0
x et y entiers.
L'optimum est (1,4) alors que la solution du problème continu
associé est (5.9,0).
Remarquez la nette différence entre les 2 solutions.

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1ière stratégie de résolution :
Résoudre le problème PL associé et arrondir la solution.
Ce n'est pas exploitable car la solution arrondie n'est pas toujours
réalisable; si elle l'est, elle peut se trouver très loin de l'optimum.
2ième stratégie de résolution :
Prendre la solution entière réalisable qui se trouve le plus près
possible de l'optimum continu.
Or, on peut construire des exemples où la solution optimale entière
se trouve aussi loin que l'on veut de la solution entière la plus proche
de l'optimum continu, autant en distance que pour la valeur de la
fonction objective.