Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Produit scalaire

Introduction
Nous allons maintenant présenter une autre opération sur les
vecteurs, le produit scalaire. Nous allons définir cette opération
sur les vecteurs algébriques puis nous verrons l’interprétation
géométrique de cette opération sur des vecteurs de R2et des
vecteurs de R3.

Produit scalaire de vecteurs géométriques
Définition
Soit uet vdeux vecteurs géométriques.
Le produit scalaire de upar v, noté u•v,
donne un scalaire défini par l’égalité
suivante :
Remarque :
u• v= u v cos q,
Cette définition va nous permettre de développer diverses
applications du produit scalaire.
où qest l’angle entre les vecteurs.

e3 = 1 SS
Exemple
AB • CDb)
a) On a : et u= 22 + 22 = 8 = 2 2
(u• e3) = 45°
De plus, , d’où cos (u• e3) = 2
2
Par conséquent :
u• e3 =u e3cos (u• e3) = 2
2
2 2 1= 2
S
a)On peut également procéder en exprimant les vecteurs dans la
base. Cela offre un avantage intéressant puisque les vecteurs de
la base sont perpendiculaires et que cos 90° = 0. Dans le cas
présent, on a :
u= e1+ 2 e3
D’où :
, par les propriétés;
= 0 + 2 ( 1 ) = 2
u•e3 = (e1+ 2 e3) • e3
= e1 • e3 + 2 (e3• e3 )
S
b) En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient :
e2 –e3
AB = e1 –e2 CD =
AB • CD =
et , d’où :
AB • CD
( ) • ( )
e2 –e3 e1 –e2
= 0 –4 –0 + 0 = –4
= –4
= (e2 • e1) –(e2 • e2 ) –(e3 • e1 ) + (e3 • e2 )
On a donc :
u• e3 a)
Dans la figure ci-contre, l’unité de
mesure est l’arête d’un cube et les
vecteurs e1,e2et e3forment une base
de l’espace. Déterminer les produits
scalaires suivants :

Produit scalaire
Propriétés
du produit scalaire
1. Commutativité
2. Associativité pour la multiplication par un scalaire
3. Distributivité sur l’addition vectorielle
4.
Pour tout vecteur u,vet wet pour tout scalaire pet q:
u• v= v• u
(pu) • (qv) = pq(u• v)
u• (v + w) = u• v+ u• w
u•u=u2
On démontre la quatrième propriété de la façon suivante :
u•u=u12+u22+…+un2, par définition du produit scalaire;
=u2, puisque u = u12+u22+…+un2.