Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Produit scalaire
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous allons maintenant présenter une autre opération sur les
vecteurs, le produit scalaire. Nous allons définir cette opération
sur les vecteurs algébriques puis nous verrons l’interprétation
géométrique de cette opération sur des vecteurs de R2 et des
vecteurs de R3.
Produit scalaire de vecteurs géométriques
Définition
Soit u et v deux vecteurs géométriques.
Le produit scalaire de u par v, noté u • v,
donne un scalaire défini par l’égalité
suivante :
u • v = u v cos q,
où q est l’angle entre les vecteurs.
Remarque :
Cette définition va nous permettre de développer diverses
applications du produit scalaire.
Exemple
Dans la figure ci-contre, l’unité de
mesure est l’arête d’un cube et les
vecteurs e1, e2 et e3 forment une base
de l’espace. Déterminer les produits
scalaires suivants :
a) u • e3
b) AB • CD
a) En
On exprimant
peut également
procéder
enlaexprimant
les vecteurs
dans la
b)
les vecteurs
dans
base, on obtient
:
2
2
a) On
a : Cela
e3 offre
= 1 etun u
= 2 +intéressant
2 = 8 =puisque
2 2 les vecteurs deS
base.
avantage
– e3 et CD = e1 – e2 , d’où :
ABbase
= e2sont
S
la
perpendiculaires et que cos 90° = 0. Dans le cas
2
(u
•
e
)
=
présent,
on
a
:
(u
•
e
)
=
45°
cos
e1 – e2 )
De
plus,
AB
• CD = ( e23 – e3 ) • ,( d’où
3
2
S
u
=
e
+
2
e
= (e2 :• e1) –1 (e2 • e32 ) – (e3 • e1 ) + (e3 • e2 )
Par
conséquent
D’où : u • e3 = (e1 + 2 e3) • e3
= 0 – 4 – 0 + 0 = –4
2
1

u • e3 = u =ee31 • ecos
+
2
(e
•
e
)
(u
•
e
)
=
2
2
= 2
3
3 33 , par les propriétés;
2
On a donc : AB • CD = –4
= 0+ 2 ( 1) = 2
Produit scalaire
Propriétés
du produit scalaire
Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q :
1. Commutativité
u•v=v•u
2. Associativité pour la multiplication par un scalaire
(pu) • (qv) = pq(u • v)
3. Distributivité sur l’addition vectorielle
u • (v + w) = u • v + u • w
4. u • u = u 2
On démontre la quatrième propriété de la façon suivante :
u • u = u12 + u22 + … + un2 , par définition du produit scalaire;
= u
2,
puisque u =
u12 + u22 + … + un2 .
Produit scalaire nul
Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls tels que u • v = 0.
Puisque : u • v = u v cos q, il faut que l’un des facteurs du
produit soit nul. Les deux vecteurs étant non nuls, la seule possibilité
est donc :
cos q = 0, d’où q = arccos 0 = 90°
Réciproquement, si u et v sont perpendiculaires, on a :
u•v=
u
v cos q = u
v cos 90° = 0
Théorème
Produit scalaire nul
Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. Le produit scalaire
de ces vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs u et v sont
perpendiculaires.
Produit scalaire de vecteurs algébriques
Définition
Soit u = (u1; u2; ...;un) et v = (v1; v2; ...;vn), deux vecteurs de Rn.
Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini
par l’égalité suivante :
u • v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
Remarque :
Cette définition suppose que les vecteurs algébriques sont exprimés
dans la base orthonormée usuelle de Rn. Elle est valide dans R2 et
dans R3 aux même conditions.
Ainsi, le produit scalaire des vecteurs u = (2; –5; 4) et v = (8; 2; –3)
est :
u • v = 2 8 + (–5) 2 + 4 (–3) = –6
Application
Un marchand livre des fruits
La Fruiterie mobile
dans les édifices à bureaux du
Pomme Poire Prune
centre-ville. Le tableau ci-contre
indique les fruits commandés par Prix unitaire 0,75 0,80 0,50
les employés d’un bureau ainsi
8
6
4
Quantité
que le prix unitaire de ces fruits.
Ce tableau comporte deux vecteurs, un vecteur des prix unitaires et
un vecteur des quantités.
Vecteur des prix unitaires : u = (0,75; 0,80; 0,50)
Vecteur des quantités : v = (8; 6; 4)
Pour établir la facture du client, le marchand peut effectuer
l’opération suivante sur ces vecteurs :
u • v = (0,75 8) + (0,80 6) + (0,50 4) = 12,80 $
L’opération consiste à faire la somme des produits des composantes
de même rang. Cette opération entre deux vecteurs donne un scalaire,
que nous appellerons produit scalaire.
Produit scalaire de vecteurs géométriques
Considérons deux vecteurs géométriques u
et v , de longueur a et b respectivement.
Posons c la longueur du troisième côté du
triangle construit sur ces vecteurs.
Par la loi des cosinus, c2 = a2 + b2 – 2ab cos q,
où q est l’angle entre les vecteurs. De plus :
c2
2
u – v , puisque c = u – v ;
= ( u – v ) • ( u – v ) , puisque u • u =
=
u
2
;
= u • u – u • v – v • u + v • v , par la distributivité du produit
scalaire sur l’addition vectorielle;
2
=
u 2 – 2 u • v + v , par la commutativité du produit scalaire;
= a 2 – 2 u • v + b 2.
On a donc : a2 – 2 u • v + b2 = a2 + b2 – 2ab cos q , d’où :
u • v = ab cos q = u
v cos q
Interprétation géométrique
Soit u et v deux vecteurs non nuls.
Le produit scalaire : u • v = u v cos q,
donne un scalaire qui est formé du module du
vecteur u et de la longueur dirigée de la
projection du vecteur v sur la droite support
de u.
Puisque le produit scalaire est commutatif, on peut dire que le
produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de l’un
des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du
second sur le premier.
Cette interprétation est également
valide lorsque l’angle entre les vecteurs est compris entre 90° et 180°.
Angle entre deux vecteurs
Soit u et v deux vecteurs non nuls.
Puisque : u • v = u v cos q, on peut calculer le cosinus de
l’angle entre les vecteurs de la façon suivante :
cos q =
u•v
u v
, d’où q = arccos
u•v
u v
Procédure
pour calculer l’angle entre deux vecteurs algébriques
1. Écrire l’équation u • v =
2. Calculer cos q =
u•v
u v
u
v cos q.
.
3. Déterminer l’angle entre les vecteurs à l’aide de la fonction
arccosinus.
4. Interpréter le résultat selon le contexte.
Exemple 9.1.2
La molécule de méthane (CH4) est de forme
tétraédrique. Elle est composée d’un atome
de carbone et de quatre atomes d’hydrogène.
La figure ci-contre est la représentation
d’une telle molécule dans R3. Calculer
l’angle entre les liaisons chimiques.
Posons : u = CHA = (–1; –1; 1) et
cos q =
v = CHB = (–1; 1; –1)
u • v = 1 – 1 – 1 = –1
u v
3
3 3
S
On a donc q = arccos (–1/3) = 109,47°.
L’angle entre les liaisons chimiques est de 109,47°. On peut faire le
même calcul en choisissant les autres liaisons.
Angle entre deux droites dans R3
Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit
déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer
l’angle entre ceux-ci.
Dans R3, deux droites coplanaires,
peuvent être concourantes ou
parallèles.
Des droites non-coplanaires, sont
appelées droites gauches. L’angle
entre deux droites est défini même si
les droites sont gauches, et c’est
l’angle aigu formé par les vecteurs
directeurs de ces droites.
Remarque
L’angle entre deux droites, concourantes ou gauches, est toujours
compris entre 0° et 90°.
Exemple 9.1.4
Trouver l’angle entre les droites suivantes :
x = 8 + 6s
x = 2 – 3t
∆2 : y = 2 – 2s
∆1 : y = –5 + 7t
z = –3 – 3s
z = –3 – 2t
Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–3; 7; –2)
et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (6; –2; –3).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
D1 • D2
D1
D2
–26
62
49
=
S
–26
62
49
= 118,15°
Puisque 90° < q < 180°, on a a = 180° – q = 180° – 118,15° = 61,85° et
l’angle entre les droites est de 61,85°.
Angle entre deux droites dans R3
La procédure pour calculer l’angle entre deux droites de R3 est analogue
à celle pour calculer l’angle entre deux droites de R2.
Procédure
pour trouver l’angle entre deux droites dans R3
1. Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites.
2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs.
3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les
vecteurs.
Remarque
• a = q, si 0° ≤ q ≤ 90°
On peut ramener ces deux cas
• a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°
à un seul en prenant la valeur
absolue du produit scalaire
avant de calculer l’arccosinus.
Exercice
Trouver l’angle entre les droites suivantes :
x = 3 – 4s
x = 6 – 8t
∆2 : y = 2 + 5s
∆1 : y = –4 + 2t
z = –5 – 2s
z = 7 + 3t
Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–8; 2; 3)
et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (–4; 5; –2).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
D1 • D2
D1
D2
46
77
45
=
S
46
77
45
= 38,60°
Puisque 0° < q < 90°, on a a = q = 38,60° et l’angle entre les droites est
de 38,60°
Vecteur normal
Définition
Vecteur normal
Un vecteur normal à une droite de R2 est un vecteur perpendiculaire à cette droite. Nous le notons N.
Comme nous l’avons fait précédemment, nous emploierons parfois
la lettre grecque ∆ (delta) pour désigner une droite.
Rappelons que, pour trouver l’équation d’une droite, on doit décrire
la condition à laquelle doit satisfaire un point pour être sur cette
droite. Dans les situations que nous allons présenter, cette condition
s’exprime à l’aide des vecteurs.
Équation d’une droite de R2
Un point et un vecteur normal sont donnés
Considérons une droite dont on connaît un
point R(x1; y1) et un vecteur normal N = (a; b).
Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite,
il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire
au vecteur N.
On doit donc avoir :
N • RP = (a ; b) • (x – x1; y – y1) = 0,
d’où : ax + by – ax1 – by1 = 0.
Dans cette équation, –ax1 – by1 est une constante que l’on désigne
par c. On a donc une équation de la forme
ax + by + c = 0
Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation
d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b).
Équation cartésienne d’une droite de R2
Définition
Équation cartésienne d’une droite de R2
Soit R(x1; y1), un point d’une droite ∆, et N = (a; b), un vecteur
normal à cette droite. On appelle équation cartésienne de la droite
l’équation :
ax + by + c = 0,
où c = –ax1 – by1.
Remarque :
Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables
représentent un vecteur normal à la droite.
Exemple 9.1.5
Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point
R(4; 5) et perpendiculaire au vecteur N = (2; 1).
Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le
vecteur RP est alors :
RP = (x – 4; y – 5)
Pour que P soit sur cette droite, il faut que le
vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N.
Leur produit scalaire doit donc être nul.
N • RP = (2; 1) • (x – 4; y – 5) = 0
2x – 8 + y – 5 = 0
2x + y – 13 = 0
L’équation cartésienne est donc :
2x + y = 13
S
Exercice
Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point
R(6; 3) et perpendiculaire au vecteur N = (1;3).
Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le
vecteur RP est alors :
RP = (x – 6; y – 3)
Pour que P soit sur cette droite, il faut que le
vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N.
Leur produit scalaire doit donc être nul.
N • RP = (1; 3) • (x – 6; y – 3) = 0
x – 6 + 3y – 9 = 0
x + 3y – 15 = 0
L’équation cartésienne est donc :
x + 3y = 15
S
Exemple 9.1.6
Trouver une équation du plan passant par
le point R(2; 5; 8) et perpendiculaire au
vecteur N = (4; 3; 6).
La condition à laquelle doit satisfaire un
point P(x; y; z) quelconque pour être dans
le plan est que le vecteur
RP = (x – 2; y – 5; z – 8)
soit perpendiculaire au vecteur N = (4; 3; 6).
Autrement dit, pour que le point P(x; y; z) soit dans le plan, il faut que
le produit scalaire des vecteurs soit nul. On a donc :
N • RP = (4; 3; 6) • (x – 2; y – 5; z – 8) = 0
d’où : 4(x – 2) + 3(y – 5) + 6(z – 8) = 0 et l’équation du plan est :
4x + 3y + 6z – 71 = 0.
S
Équation cartésienne d’un plan de R3
Un point et un vecteur normal sont donnés
Considérons un plan dont on connaît
un point R(x1; y1; z1) et un vecteur
normal N = (a; b; c).
Pour qu’un point P(x ; y; z) soit dans
ce plan, il faut que le vecteur RP
soit perpendiculaire au vecteur N.
On doit donc avoir :
N • RP = (a ; b; c) • (x – x1; y – y1 ; z – z1) = 0,
d’où : ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 et l’équation cartésienne est :
ax + by + cz + d = 0, où d = – ax1 – by1 – cz1
Exercice
Trouver une équation du plan passant par
le point R(3; 6; 5) et perpendiculaire au
vecteur N = (5; 2; 4).
La condition à laquelle doit satisfaire un
point P(x; y; z) quelconque pour être dans
le plan est que le vecteur
RP = (x – 3; y – 6; z – 5)
soit perpendiculaire au vecteur N = (5; 2; 4).
Autrement dit, pour que le point P(x; y; z) soit dans le plan, il faut que
le produit scalaire des vecteurs soit nul. On a donc :
N • RP = (5; 2; 4) • (x – 3; y – 6; z – 5) = 0
d’où : 5(x – 3) + 2(y – 6) + 4(z – 5) = 0 et l’équation du plan est :
5x + 2y + 4z – 47 = 0.
S
Représentation graphique de plans de R3
Une équation cartésienne de la forme :
ax + by + cz + d = 0
où a, b et c ne sont pas tous nuls, représente toujours un plan dans R3.
Lorsque a ≠ 0, b ≠ 0 et c ≠ 0, le plan coupe les trois axes et les points
d’intersection avec les axes sont :
• axe des x (–d/a; 0; 0),
• axe des y (0; –d/b; 0),
• axe des z (0; 0; –d/c).
On peut esquisser une représentation graphique d’un plan dont une
équation cartésienne est donnée en déterminant ses points de
rencontre avec les axes et, pour alléger la représentation, on ne donne
parfois que le triangle déterminé par l’intersection avec les axes.
Exemple 9.1.7 a
Esquisser la représentation graphique
du plan d’équation :
∏1 : 6x + 4y + 3z – 12 = 0
Donner un vecteur normal au plan.
Pour déterminer le point de rencontre
du plan ∏1 avec l’axe des x, on pose
y = 0 et z = 0 dans l’équation :
6x + 4y + 3z – 12 = 0,
ce qui donne : 6x – 12 = 0. D’où : x = 2.
Le plan coupe donc l’axe des x au point (2; 0; 0). Il coupe l’axe des y
au point (0; 3; 0) et l’axe des z au point (0; 0; 4).
Ces trois points permettent de représenter une portion du plan.
Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (6; 4; 3).
S
Exemple 9.1.7 b
Esquisser la représentation graphique
du plan d’équation :
∏2 : 3x + 2y – 6 = 0
Donner un vecteur normal au plan.
En procédant comme en a, on trouve
que le plan ∏2 coupe l’axe des x au
point (2; 0; 0) et il coupe l’axe des y au
point (0; 3; 0).
Cependant, en posant x = 0 et y = 0, on obtient une impossibilité. Le
plan ne coupe pas l’axe des z.
La variable z est libre et le plan ∏2 est parallèle à l’axe des z.
Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (3; 2; 0).
S
Exemple 9.1.7 c
Esquisser la représentation graphique
du plan d’équation :
∏3 : y – 3 = 0
Donner un vecteur normal au plan.
Le plan ∏3 coupe l’axe des y au point
(0; 3; 0) mais il ne coupe pas l’axe des x
ni l’axe des z.
Les variables x et z sont libres et le plan ∏3 est parallèle à l’axe des x et
à l’axe des z.
S
Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (0; 1; 0).
Angle entre une droite et un plan dans R3
Pour calculer l’angle entre une droite ∆ et un plan ∏ dans R3, on doit
déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la
droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci.
Si l’angle q entre les vecteurs est aigu, l’angle
a entre la droite et le plan est l’angle
complémentaire de q, soit :
a = 90° – q
Si l’angle q entre les vecteurs est obtus,
l’angle a entre la droite et le plan est donné
par :
a = q – 90°
Exemple 9.1.8
Trouver l’angle entre le plan ∏: 2x – 3y + 4z – 5 = 0
et la droite ∆ :
x = 2 – 3t
y = –5 + 7t
z = –3 – 2t
Le vecteur normal au plan est : N = (2; –3; 4)
et le vecteur directeur de la droite est : D = (–3; 7; –2).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
N • D
N
D
–35
29
62
=
S
–35
29
62
= 145,63°
Puisque 90° < q < 180°, on a a = q – 90° = 145,63° – 90° = 55,63° et
l’angle entre la droite et le plan est de 55,63°.
Exercice
Trouver l’angle entre le plan ∏: 3x – 5y + 2z – 12 = 0
et la droite ∆ :
x = 4 + 5t
y = –2 – 3t
z = 7 + 4t
Le vecteur normal au plan est : N = (3; –5; 2)
et le vecteur directeur de la droite est : D = (5; –3; 4).
On a alors : cos q =
et :
q = arccos
N • D
N
D
38
38
50
=
S
38
38
50
= 29,33°
Puisque 0° < q < 90°, on a a = 90° – q = 90° – 29,33°= 60,66° et l’angle
entre la droite et le plan est de 60,66°.
Angle entre deux plans dans R3
Pour calculer l’angle entre deux plans dans R3, on doit déterminer
des vecteurs normaux à partir des équations et calculer l’angle q
entre ceux-ci.
L’angle entre deux plans est
toujours compris entre 0° et 90°
alors que l’angle entre les vecteurs
peut être aigu ou obtus.
Si q est l’angle entre les vecteurs
normaux, l’angle a entre les plans
est donné par :
a = q, si 0° ≤ q ≤ 90°
a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°
Pour obtenir directement l’angle cherché, on prend la valeur absolue
avant de calculer l’arccosinus.
Exemple 9.1.9
∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0
∏2 : 5x – 3y + 4z – 22 = 0
Trouver l’angle entre les plans :
S
Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables
dans les équations. On a donc :
N1 = (1; 2; –3) et N2 = (5; –3; 4)
D’où :
cos q =
N1 • N2
N1
et :
q = arccos
=
N2
14
–13
14
–13
50
50
= 119,43°
Puisque q > 90°, on a a = 180° – q = 60,57° et l’angle entre les plans est
de 60,57°.
Exercice
∏1 : 2x – 3y + 4z – 12 = 0
∏2 : 3x – 4y + 5z + 28 = 0
Trouver l’angle entre les plans :
S
Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables
dans les équations. On a donc :
N1 = (2; –3; 4) et N2 = (3; –4; 5)
D’où :
cos q =
N1 • N2
N1
et :
q = arccos
=
N2
29
38
29
38
50
50
= 3,69°
Puisque q < 90°, on a a = q = 3,69° et l’angle entre les plans est de
3,69°.
Distances dans R3
Distance d’un point Q à un plan ∏ dont on connaît un vecteur normal.
La distance d’un point à un plan est la
longueur de la perpendiculaire abaissée
du point sur le plan.
On peut trouver cette longueur de la
façon suivante.
P
On détermine un point R du plan ainsi
que le vecteur RQ. La distance cherchée
est alors la longueur de la projection du
vecteur RQ sur le vecteur normal N.
Il s’agit de déterminer la longueur du segment RP où P est le pied de
la perpendiculaire abaissée de Q sur la droite support du vecteur
normal. Pour y parvenir, il faut déterminer l’angle entre les vecteurs
RQ et N.
Exemple 9.1.10
Trouver la distance du point Q(5; –6; 7) au
plan ∏ : 5x – 3y + z – 16 = 0.
S
Le vecteur normal est N = (5; –3; 1).
Déterminons un point du plan. Posons, par
exemple, x = 2 et y = –1 dans l’équation, ce
qui donne z = 3.
On trouve alors : RQ = OQ – OR = (5; –6; 7) – (2; –1; 3) = (3; –5; 4).
34
D’où : q = arccos
= 35,63°
35 50
Puisque 0° ≤ q ≤ 90°, l’angle entre les droites support est a = 35,63°.
La distance cherchée est la longueur
du côté adjacent à l’angle entre
.
les vecteurs. On a donc :
d (Q, ∏) = RQ cos 35,63° ≈ 5,75
La distance est d’environ 5,75 unités.
Exercice
Trouver la distance entre les plans :
∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 , ∏2 : x + 2y – 3z – 22 = 0
S
Le vecteur normal est N = (1; 2; –3).
Déterminons un point sur chacun des plans.
Supposons que notre choix est Q(3; –2; 1) et
R(10; 3; –2). On trouve alors :
QR = OR – OQ = (10; 3; –2) – (3; –2; 1) = (7; 5; –3).
26
D’où : q = arccos
= 40,29°
14 83
Puisque 0° ≤ q ≤ 90°, l’angle entre les droites support est a = 40,29°.
Remarque :
La distance cherchée est la longueur
du côté adjacent à l’angle entre
.
Pour simplifier les calculs, on aurait pu choisir le point
les vecteurs. On a donc :
(–4; 0; 0) sur ∏1 et le point (22; 0; 0) sur ∏2.
d (Q, ∏) = RQ cos 40,29° ≈ 6,95
La distance est d’environ 6,95 unités.
Produit scalaire et travail
Le travail (T) effectué par une force qui déplace un objet dépend :
• de la longueur du déplacement (d) de l’objet;
• de la composante de la force (F) dans le sens du déplacement.
T= d
F
cos q
Le travail est donc le produit scalaire du vecteur force par le vecteur
déplacement. L’unité de la force est le newton (N) et le déplacement
est en mètres (m). Le travail est donné en newtons-mètres (N·m) ou
en joules (J).
Exemple 9.1.13
On veut monter
bloc illustré
Représentons
la lesituation
dans ci-un
contre en
le tirant
avec une
force de
système
d’axes.
Le vecteur
déplacement
350 un
N angle
faisant
de 52° avecet
fait
de un
23° angle
avec l’horizontale
l’horizontale.
L’inclinaison
plan est :
est
représenté par
le vecteur du
algébrique
de 23°.
d = (10 cot 23°; 10)
Le vecteur algébrique décrivant la force
En considérant que la longueur du bloc
est :
est négligeable, calculer le travail
F = (350 cos 52°; 350 sin 52)
effectué pour monter le bloc jusqu’en
Le travail est donné par le produit
haut du plan incliné.
scalaire de ces deux vecteurs, soit :
S
T =d•F
= (10cot23°;10) • (350cos52°;350sin 52°)
= 3500cot 23 cos 52° + 3500 sin 52°
= 7834,46… N·m ≈ 7,83 kJ.
Le travail effectué est d’environ 7,83 kJ.
Conclusion
Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui est le produit
des modules des vecteurs et du cosinus de l’angle entre ceux-ci
Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R2 ou de R3 peut
être obtenu directement à partir des composantes en effectuant la
somme des produits des composantes de même rang. En effet, dans
une base orthonormée, les composantes véhiculent l’information sur
la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre
ceux-ci.
On utilise le produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux
vecteurs et la projection orthogonale d’un vecteur. D’autres
applications seront présentées en géométrie vectorielle.
Le travail effectué par une force pour déplacer un objet est le
produit scalaire du vecteur déplacement et du vecteur force. La
représentation par des vecteurs algébriques simplifie le traitement
de l’information pour calculer le travail.
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 9.1, p. 253 à 266.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 9.2, p. 267 et 269.