z - EPFL moodle service

2.1.5 Rotations in 3D: Rotation axis
2D:
•Angle
•Center of rotation
3D:
•Angle
In 3 dimensions, we need to specify
angle and axis

Rotations around axes as direction cosines
J
y1
x1
x2,y2,z2
é
ëù
û=
x1x2x1y2x1z2
y1x2y1y2y1z2
z1x2z1y2z1z2
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
=cos
J
-sin
J
sin
J
0
cos
J
0
0
0
1
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
z1=z2
Interpretation as
active transformartion
of the base vectors

Rotations around axes as direction cosines
J
z1
x1
x2,y2,z2
é
ëù û=
x1x2x1y2x1z2
y1x2y1y2y1z2
z1x2z1y2z1z2
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
y1=y2
Ex. 5: Ry=?

Rotation around x,y,z
Rz=cos
j –sin j 0
sin j cos j 0
0 0 1
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
Ry=cos
j 0 sin j
0 1 0
–sin j 0 cos j
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
Rx=1 0 0 0 cos j –sin j
0 sin j cos j
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú

Exercice 6
a): rotation by 90°around z, then rotation
by 90°around y
b): rotation by 90°around y, then rotation
by 90°around z