Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Inversion
de matrices

Introduction
Nous présentons dans ce diaporama la définition de matrice
inverse d’une matrice carrée et deux méthodes pour la
déterminer.
La première méthode est analogue à la méthode de Gauss-Jordan
pour résoudre un système d’équations. Nous allons simplement
utiliser cette méthode pour résoudre simultanément plusieurs
systèmes d’équations.
La deuxième méthode, appelée méthode de la matrice adjointe,
utilise la propriété de la matrice adjointe présentée dans le
diaporama sur les propriétés des déterminants.

Matrice inverse
DÉFINITION
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de
A, si elle existe, la matrice A–1telle que :
Exemple
Les matrices Aet Bsont donc inverse l’une de l’autre.
Soit les matrices A = –5
7
–2
3et B = –3 7
–2
5.
1 0
C11 =–5–3 + (–2) 7 = 1
0 1
C12 =–5–2 + (–2) 5 = 0C21 = 7 –3 + 3 7 = 0
Leur produit est A • B = –5
7
–2
3•–3 7
–2
5=
C22 = 7 –2 + 3 5 = 1
A •A–1= A–1 •A= I
où Iest la matrice identité d’ordre n.

Méthode de Gauss-Jordan
Mise en situation
2
3
1
2
Soit la matrice A= . Cette matrice est-elle inversible ?
2
3
1
2
a
b
c
d
•1
0
0
1
=
On veut savoir s’il existe une matrice A–1=a
b
c
dtelle que :
2a+ b
3a+ 2b
2c+ d
3c+ 2d
1
0
0
1
=ou
L’égalité des matrices donne deux systèmes d’équations linéaires :
2a+ b= 1
3a+ 2b= 0
2c+ d = 0
3c+ 2d = 1
ou ouet
2
3
1
2
1
0
2
3
1
2
1
0
0
1
S
Puisque la matrice des coefficients est la même, on peut résoudre
simultanément ces deux systèmes en considérant la matrice augmentée
suivante :
S
2
3
1
2
0
1

Méthode de Gauss-Jordan
Solution 2
3
1
2
1
0
0
1≈L1
2L2–3L1
2 1 1 0
≈L1 –L2
L2
2 0 4 –2≈L1 /2
L2
1 0 2 –1
SSS
La partie droite de la matrice donne la solution des deux systèmes
d’équations.On a donc :
A–1=On peut vérifier que c’est bien la matrice inverse.
2
–3
–1
2.
A•A–1=2
3
1
2•
2
–3
–1
2=1
0
0
1
A–1•A=2
3
1
2
•
2
–3
–1
2=1 0
0
1
0 1 –3 2
0 1 –3 2 0 1 –3 2