Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Inversion
de matrices
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous présentons dans ce diaporama la définition de matrice
inverse d’une matrice carrée et deux méthodes pour la
déterminer.
La première méthode est analogue à la méthode de Gauss-Jordan
pour résoudre un système d’équations. Nous allons simplement
utiliser cette méthode pour résoudre simultanément plusieurs
systèmes d’équations.
La deuxième méthode, appelée méthode de la matrice adjointe,
utilise la propriété de la matrice adjointe présentée dans le
diaporama sur les propriétés des déterminants.
DÉFINITION
Matrice inverse
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. On appelle matrice inverse de
A, si elle existe, la matrice A–1 telle que :
A • A–1 = A–1 • A = I
où I est la matrice identité d’ordre n.
Exemple
Soit les matrices A =
–5
–2
7
3
et B =
–3
–2
7
5
.
C22
7 –2
–3
–3
–2++3(–2)
7 =7
5
5
0 = 10
1
11 = –5
12
21
Leur produit est A • B =
–5
–2
7
3
•
–3
–2
7
5
=
1
0
Les matrices A et B sont donc inverse l’une de l’autre.
0
1
Méthode de Gauss-Jordan
Mise en situation
Soit la matrice A =
2
1
3
2
. Cette matrice est-elle inversible ?
On veut savoir s’il existe une matrice A–1 =
2
1
3
2
•
a
c
b
d
=
1
0
0
1
ou
a
c
b
d
telle que :
2a + b
2c + d
3a + 2b
3c + 2d
=
1
0
0
1
L’égalité des matrices donne deux systèmes d’équations linéaires :
2 1 1
2a + b = 1
2c + d = 0
2 1 0
ou
et
ou
3 2 0
3a + 2b = 0
3c + 2d = 1
3 2 1
S
Puisque la matrice des coefficients est la même, on peut résoudre
simultanément ces deux systèmes en considérant la matrice augmentée
suivante :
2 1 1 0
3
2
0
1
Méthode de Gauss-Jordan
Solution
≈
2
1
1
0
3
2
0
1
≈
L1 – L2
2
0
L2
0
1 –3
L1
2
1
1
0
2L2 – 3L1
0
1 –3
2
4 –2
≈
2
L1 /2
1
0
2 –1
L2
0
1 –3
2
La partie droite de la matrice donne la solution des deux systèmes
d’équations. On a donc :
2 –1
–1
A =
. On peut vérifier que c’est bien la matrice inverse.
–3 2
A•
A–1
=
A –1 • A=
2
1
3
2
2 –1
–3
2
•
•
2 –1
–3
2
2
1
3
2
=
=
1
0
0
1
1
0
0
1
S
Procédure
Procédure de Gauss-Jordan
pour construire la matrice inverse (méthode de Gauss-Jordan)
1. Construire une matrice augmentée dont la partie gauche est la
matrice à inverser et la partie droite, la matrice identité du
même ordre.
2. Effectuer les opérations élémentaires sur les lignes pour obtenir
la matrice échelonnée réduite dans la partie gauche de la matrice
augmentée.
3. Écrire la matrice inverse lorsque celle-ci existe.
4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que
A • A–1 = I.
Soit A =
2
3
5
Exemple 4.1.1
1 –2
Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour
2 2 .
trouver la matrice inverse de la matrice A
4 3
si elle existe.
Vérifions
ce
résultat.
Construisons
Effectuons
Écrivons
lales
matrice
d’abord
opérations
inverse.
la matrice
de lignesaugmentée.
pour échelonner la partie gauche.
2
3
5
1 –2
2 2
2/7
4 3
–1
A = –1/7
2
L1 – L2 –2/7
0
≈ L2
0
L3 – 3L2
1 0 0
0 1 0
11/7
–6/7
0 0 1
–16/7
10/7
0 –12
–2
3/7 4–1/7
1 10 –3 2
0 –14 4 –6
2 1 –2
1 1 0 0 2/7
L1 /14
–1
3 2 2 •
A• A = 7
0 1 0 –1/7
≈ L2 /7
5 4 3
L3/(–14)
0 0 1 –2/7
1 –2 1
1 10 –3
≈ 2L2 – 3L1 2
11 –6
2L31– 5L1
0 3 16
–5
–1
10
–16
= 7
0 7L1 ––2
4
6L3 143 0 –1 0
0 ≈ 7L2 + 5L3 0 7
0 –1
2 L3
0 0 –14 4
1 0
2
11 –6
11/7
–6/7
0 1
=
–1 –16 10
–16/7
10/7
0 0
–2
3 –1
3/7
–1/7
L1
2
0
0
2
0
0
0
2
22 –12
–16 10
–6
2
0
0
1
S
Exercice
1 2 4
Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour
Soit A = –4 4 1 . trouver la matrice inverse de la matrice A
3 –4 –2
si elle existe.
S
–4échelonner
–12 –14la partie gauche.
–2les
–6 inverse.
–7
Écrivons
la
matrice
Construisons
Effectuons
d’abord
opérations
la matrice
de lignesaugmentée.
pour
1
–1
–5 –14 –17
–7 –17/2 =
A = –5/2
1 2 4 1 0 0
1
2
4 1 0 0
L1 2
4
10
12
2
5
6
–4 4 1 0 1 0 ≈ L2 + 4L1 0 12 17 4 1 0
3 –4 ce
–2résultat.
0 0 1
0 1
L3 – 3L1 0 –10 –14 –3
Vérifions
6 0 7 2 –1 0 L1 – 7L3
0 12 17 4 1 0 ≈ L2 – 17L3
≈ L2
1 2 4
–4 –12
1 2 5 6 L3
6L3+5L2–1 0 10
A• A =
–5 –14
2 0–4 4 –61 • –7
0
L1 /6 1
3 –2
–4 –2
4
10
≈ L2 /12 0 1 0 –5/2 –7 –17/2
5
6
0 0 1
2
L3
6L1 – L2
6
0
0 –12 –36
0 12 0 –30
1
–14
0 0 1 2
0
–17
=
0
12
–84
0
5
1
0
–42
–102
0
6
0
1
S
2
Soit A = –1
5
Exemple 4.1.3
1 3
Utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour
5 –2 .
trouver la matrice inverse de la matrice A
8 7
si elle existe.
S
Construisons
Effectuons
lesd’abord
opérations
la matrice
de lignesaugmentée.
pour échelonner la partie gauche.
2
–1
5
1 3
5 –2
8 7
L1
≈ L2
L3 – L2
2
0
0
1
0
0
1
11
0
0
1
0
0
0
1
3 1
–1 1
0 –6
L1
≈ 2L2 + L1
2L3 – 5L1
0
2
–2
0
0
2
2
0
1
11
3
–1
1
1
0
2
0
0
0
11
–1 –5
0
2
S
Les éléments de la troisième ligne de la matrice de gauche se sont
annulés au cours des transformations. Cela signifie que les systèmes
d’équations permettant de trouver les éléments de la matrice inverse
n’ont pas une solution unique et la matrice A n’est pas inversible.
Matrice inverse et système d’équations linéaires
Par la matrice inverse, lorsqu’elle existe, on peut résoudre un
système de n équations linéaires à n inconnues.
Soit un système d’équations linéaires représenté sous forme
matricielle par A • X = B, où A est une matrice carrée d’ordre n
inversible.
On peut alors multiplier des deux côtés de l’égalité par la matrice
inverse A–1. Cela donne :
A–1 • A • X = A–1 • B
d’où : I • X = A–1 • B , puisque A–1 • A = I
et :
X = A–1 • B , car I • X = X
Par conséquent, en multipliant la matrice des constantes B par A–1, la
matrice inverse de A, on isole la matrice des inconnues X, cela donne
la solution du système d’équations linéaires.
Exemple 4.1.2
Soit les systèmes d’équations linéaires suivants :
2x1 + x2 – 2x3 = 10
2x1 + x2 – 2x3 = –9
3x1 + 2x2 + 2x3 = 7
3x1 + 2x2 + 2x3 = 10
5x1 + 4x2 + 3x3 = 15
5x1 + 4x2 + 3x3 = 13
Résoudre en utilisant la matrice inverse :
A–1
1
= 7
S
2
–1
–2
11
–16
3
–6
10
–1
Puisque la matrice des coefficients est inversible, on a :
Remarque
AX = B implique que X = A–1 B
S
En pratique, la matrice inverse est rarement donnée, il faut la
La solutionselon
du deuxième
premier
système
système
d’équations
d’équationsest
estalors
alors: :
déterminer
la méthode
demandée.
–9
2
–6
11est particulièrement
10
12
La méthode de lax1matrice inverse
intéressante
1
lorsqu’on
doit
résoudre
plusieurs
systèmes
–1
10 d’équations
x
7 = ayant
–3
4 la même
X=A B=
= 7 –1 –16
• 10
2
matrice des coefficients.
–2
x3
3 –1
15
–25
13
Exercice
Soit les systèmes d’équations linéaires suivants :
x1 + 2x2 + 4x3 = 17
x1 + 2x2 + 4x3 = –4
–4x1 + 4x2 + x3 = –26
–4x1 + 4x2 + x3 = 32
3x1 – 4x2 – 2x3 = 17
3x1 – 4x2 – 2x3 = –26
Résoudre en utilisant la matrice inverse :
A–1
1
= 2
S
–4
–5
4
–12 –14
–14 –17
10 12
Puisque la matrice des coefficients est inversible, on a :
AX = B implique que X = A–1 B
La solution du deuxième
premier système
systèmed’équations
d’équationsest
estalors
alors: :
X=
A–1 B
=
x1
x2
x3
1
= 2
–4
–5
4
–12 –14
–14 –17
10 12
–4
–2
17
3
32 = –57
• –26
–26
–4
17
6
S
Théorème
Théorèmes et propriétés
Critère d’inversibilité d’une matrice
Soit A, une matrice carrée. A est inversible si et seulement si :
det A ≠ 0

Montrons que : si la matrice A est inversible, alors det A ≠ S
0.Montrons que : si det A ≠ 0, alors la matrice A est inversible.
Si la matrice A est inversible, alors il existe une matrice A–1 telle
que :
0, les
systèmesded’équations
représentées par la matrice
ASi• det
A–1 A
= I≠, par
définition
la matrice inverse;
augmentée
dont la partie de droite est la matrice identité ont tous
–1
det (A • A ) = det I , des matrices égales ont le même déterminant;
une solution unique. Par conséquent, la matrice A est inversible.
(det A)(det A–1) = 1 , puisque det(A • B) = (det A)(det B) et det I = 1;
par conséquent, det A ≠ 0.
Théorème
Théorèmes et propriétés
Unicité de la matrice inverse
Soit A, une matrice carrée. Si A est inversible alors l’inverse de A
est unique.
Soit démonstration
A une matriced’unicité
carrée inversible
B et C,
deux
matrices
Une
consiste à et,
supposer
qu’il
existe
deux
inverses
de A.
on a alors
objets
dont
onPar
veuthypothèse,
montrer l’unicité
et:à démontrer que ces deux
A • B = B • égaux.
A = I et A • C = C • A = I
objets sont nécessairement
B = Ble• Iprésent
, puisquecas,
I eston
le neutre
multiplicatif;
Dans
supposera
qu’il existe deux matrices
inverses,
B • et
que ces deux matrices sont
caretA •on
C =montrera
I par hypothèse;
= B • (A
C) ,C,
nécessairement égales.
= (B • A) • C , par associativité du produit matriciel;
= I • C , car B • A = I par hypothèse;
= C , puisque I est le neutre multiplicatif.
Donc, B = C et l’inverse de A est unique.
S
Propriétés
Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse
Soit Ann, une matrice inversible. Alors :
1
det (A–1) =
det A
S
A • A–1 = I , par définition de la matrice inverse;
det (A • A–1) = det I , comme déterminant de matrices égales;
(det A)(det A–1) = det I , comme déterminant d’un produit;
En divisant les deux membres de l’équation par det A, on obtient :
1
det (A–1) =
det A
Propriétés
Théorèmes et propriétés
de la matrice inverse
Soit Ann, une matrice inversible. Alors :
(A–1)–1 = A
(A–1)–1 • A–1 = I, puisque (A–1)–1 est la matrice inverse de A–1;
De plus, A • A–1 = I , puisque A–1 est la matrice inverse de A.
D’où (A–1)–1 = A, car l’inverse de A est unique.
S
Théorèmes et propriétés
Propriétés
de la matrice inverse
Soit Ann, une matrice inversible. Alors :
(At)–1 = (A–1)t
S
(At)–1At = I , puisque (At)–1 est l’inverse de At;
(A–1)tAt = (AA–1)t , par les propriétés de la transposition;
= It = I , une matrice diagonale est sa propre transposée;
D’où (At)–1 = ( A–1)t, car l’inverse de (At)–1 est unique.
Théorèmes et propriétés
Propriétés
de la matrice inverse
Soit Ann et Bnn, deux matrices inversibles. Alors :
(AB)–1 = B–1 A–1
S
Il faut montrer que (AB)(B–1A–1) = (B–1A–1)(AB) = I pour pouvoir
conclure que l’inverse de AB est B–1A–1. Or,
(AB)(B–1A–1) = A(BB–1)A–1 , par associativité de la multiplication;
= A(I)A–1 , puisque B–1 est la matrice inverse de B;
= AA–1 , puisque I est neutre pour la multiplication;
= I , puisque A–1 est la matrice inverse de A.
De la même façon, on montre que (B–1A–1)(AB) = I. L’inverse de AB,
soit (AB)–1, est donc B–1A–1.
Théorèmes et propriétés
Propriétés
de la matrice inverse
Soit Ann, une matrice inversible. Alors :
1
–1
(kA) = k A–1
S
Puisque A–1 est l’inverse de A et que 1/k est l’inverse multiplicatif
de k, l’associativité de la multiplication par un scalaire avec le
produit des matrices permet d’écrire :
1
1
–1
= k  (AA–1) = 1 I = I
(kA) k A
k
De la même façon, on a :
1
1
–1 (kA) = k 
–1A) = 1 I = I
A
(A
k
k
1
–1
Par conséquent : (kA) = k A–1
Exemple 4.1.4
On donne det A = –4 et det B = 5. Calculer les déterminants
suivants :
a) det (A–1)
a) det
(A–1)
b) det [B(AB)–1]
c) det (AB–1)
1
1
=–
=
det A
4
S
b) det [B(AB)–1] = det [BB–1A–1] = det [(BB–1)A–1]
= det [IA–1] = det [A–1]
1
1
=
–
=
det A
4
c) det
(AB–1)
= (det A) (det
B–1)
1
4
=
–
= det A 
det B
5
Méthode de la matrice adjointe
Dans la présentation des propriétés du déterminant, nous avons vu que
la multiplication d’une matrice carrée A par son adjointe donne une
matrice scalaire dont le scalaire est le déterminant de la matrice A.
b c
e f
b c
–
e f
h i
h i
det A 0
0
a b c
d f
a c
a c
•
d e f
=
–
0 det A 0
–
g i
g i
d f
g h i
0
0 det A
d e
a b
a b
–
g h
g h
d e
Cette propriété est généralisable à des matrices d’ordre n. On a donc
A•(adj A) = (det A)I. Si det A ≠ 0, on peut diviser les deux membres de
cette égalité par det A et on obtient :
1
1
–1
det A A • (adj A) = I , d’où l’on tire : A = det A (adj A)
Procédure de la matrice adjointe
Procédure
pour construire la matrice inverse (méthode de l’adjointe)
1. Calculer le déterminant de A pour déterminer si la matrice A est
inversible.
2. Construire la matrice des cofacteurs (cof A).
3. Transposer la matrice des cofacteurs pour obtenir la matrice
adjointe (adj A = (cof A)t) et multiplier cette matrice par le
scalaire 1/det A pour obtenir la matrice inverse.
4. S’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de calcul en vérifiant que
A • A–1 = I ou encore en vérifiant que A • (adjA) = (det A)I.
Soit A =
Exemple 4.1.1
2
3
5
1 –2
2 2 . Utiliser la méthode de l’adjointe pour
trouver la matrice inverse de la matrice A.
4 3
Le déterminant
Les
Écrivons
cofacteurs
est
la première
non
de la
nul,
première
la
ligne
matrice
deligne
la A
matrice
permettent
est inversible.
des cofacteurs.
le calcul
On peut
du donc
Transposons
la autres
matrice
Écrivons
des
lacofacteurs
matrice
inverse.
pour
Lales
matrice
Vérifions
obtenue
est
le
bien
l’inverse
de A.l’adjointe.
écrire
lignes
déterminant.
de
larésultat.
matrice
desobtenir
cofacteurs.
–2
1 2
cof A = –11 16 –3
6 –10 1
adj A =
A•
A–1
–2 –11 6
1 16 –10
2 –3 1
1
=
7
2
3
5
, det A = 2 –2 + 1 1 + (–2) 2
A–1
1
= 7
2
–1
–2
1 –2
2 11 –6
2 2 • –1 –16 10
4 3
–2
3 –1
11
–16
3
1
=
7
= –7
S
–6
10
–1
7
0
0
0
7
0
0
0
7
Exercice
1 2 4
Soit A = –4 4 1 . Utiliser la méthode de l’adjointe pour
trouver la matrice inverse de la matrice A.
3 –4 –2
Le déterminant
Les
Écrivons
cofacteurs
est
la première
non
de la
nul,
première
la
ligne
matrice
deligne
la A
matrice
permettent
est inversible.
des cofacteurs.
le calcul
On peut
du donc
Transposons
la autres
matrice
Écrivons
des
lacofacteurs
matrice
inverse.
pour
Lales
matrice
Vérifions
obtenue
est
le
bien
l’inverse
de A.l’adjointe.
écrire
lignes
déterminant.
de
larésultat.
matrice
desobtenir
cofacteurs.
–4 –5 4
cof A = –12 –14 10
–14 –17 12
adj A =
–4 –12 –14
–5 –14 –17
4 10 12
, det A = 1 (–4) + 2 (–5) + 4 4 = 2
A–1
1
= 2
–4
–5
4
S
–12 –14
–14 –17
10 12
1 2 4
–4 –12 –14
1 –4 4 1
–1
A•A =
• –5 –14 –17
2
3 –4 –2
4 10 12
=
1
2
2
0
0
0
2
0
0
0
2
Exemple 4.1.6
On donne det A = –4, où A est une matrice carrée d’ordre 3.
Calculer les déterminants suivants :
a) det (adj A)
b) det (A • adj A)
c) det (cof A)
a) det (adj A) = det [(det A) A–1] = (det A)n [det A–1]
1
n
= (det A) 
= (det A)n–1 .
det A
On a donc det (adj A) = (det A)n–1 = (–4)2 = 16.
S
b) Le déterminant d’un produit est égal au produit des déterminants. On a donc :
det (A • adj A)= (det A)[det (adj A)] = (–4)3 = –64.
c) Le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa
transposée, on a donc : det (cof A) = det (adj A) = (–4)2 = 16.
Inversion et matrice nilpotente
Dans les chaînes de Markov avec états absorbants, on doit parfois
inverser une matrice de la forme I – Q, où Q est une matrice
nilpotente. On utilise alors une procédure particulière.
Soit Q, une matrice nilpotente de degré 4 (Q4 = 0). Montrons que
l’inverse de I – Q est la matrice I + Q + Q2 + Q3.
(I – Q)(I + Q + Q2 + Q3) = I(I + Q + Q2 + Q3) – Q(I + Q + Q2 + Q3)
= I + Q + Q2 + Q3 – Q – Q2 – Q3 + Q4
= I + Q4
= I, puisque Q4 = 0.
Puisque l’inverse est unique, on a :
(I – Q)–1 = I + Q + Q2 + Q3
De façon plus générale, si Q est nilpotente de degré n, alors :
I – Q)–1 = I + Q + Q2 + ... + Qn–1
S
Conclusion
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non
nul.
Nous avons deux procédures générales pour trouver la matrice
inverse d’une matrice A. Avec un peu de pratique, la méthode de
l’adjointe est la plus rapide pour des matrices d’ordre 2 ou 3.
La méthode de Gauss-Jordan est facile à programmer sous Excel. Les
opérations sur les lignes sont les mêmes que celles pour déterminer la
matrice échelonnée réduite d’un système d’équations.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature, section 4.1, p. 83 à 90.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines, section 4.1, p. 83 à 90.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature, section 4.2, p. 91 et 92.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines, section 4.2, p. 91 et 92.