Descente pour les n-champs

Descente pour les n-champs
Andr´eHirschowitz1et Carlos Simpson 2
Abstract
We develop the theory of n-stacks (or more generally Segal n-stacks which are ∞-stacks
such that the morphisms are invertible above degree n). This is done by systematically
using the theory of closed model categories (cmc). Our main results are: a definition
of n-stacks in terms of limits, which should be perfectly general for stacks of any type
of objects; several other characterizations of n-stacks in terms of “effectivity of descent
data”; construction of the stack associated to an n-prestack; a strictification result saying
that any “weak” n-stack is equivalent to a (strict) n-stack; and a descent result saying that
the (n+ 1)-prestack of n-stacks (on a site) is an (n+ 1)-stack. As for other examples, we
start from a “left Quillen presheaf” of cmc’s and introduce the associated Segal 1-prestack.
For this situation, we prove a general descent result, giving sufficient conditions for this
prestack to be a stack. This applies to the case of complexes, saying how complexes
of sheaves of O-modules can be glued together via quasi-isomorphisms. This was the
problem that originally motivated us.
R´esum´e
On d´eveloppe une th´eorie des n-champs (plus exactement celle des n-champs de Se-
gal, qui sont des ∞-champs o`u les morphismes sont inversibles en degr´e≥n). Pour
cela on utilise syst´ematiquement la th´eorie des cat´egories de mod`eles ferm´ees (cmf). Nos
contributions principales sont: une d´efinition de n-champ en termes de limites, qui est par-
faitement g´en´eralisable `a toutes sortes d’autres champs; plusieurs autres caract´erisations
des n-champs en termes d’“effectivit´e” des donn´ees de descente; la construction du champ
associ´e`aunn-pr´echamp; un r´esultat de strictification assurant que tout n-champ “faible”
est ´equivalent `aunn-champ (strict); et un r´esultat de descente affirmant que le (n+1)-
pr´echamp des n-champs (sur un site) est un (n+ 1)-champ. Pour d’autres exemples, nous
partons d’un pr´efaisceau de cmf “de Quillen `a gauche” et introduisons le 1-pr´echamp de
Segal associ´e. Dans ce cadre, nous prouvons un r´esultat de descente g´en´eral donnant
des conditions suffisantes pour que ce pr´echamp soit un champ. Ceci s’applique au cas
des complexes, et dit comment on peut recoller des complexes de O-modules `a l’aide de
quasi-isomorphismes. C’est ce probl`eme qui ´etait la motivation initiale du pr´esent travail.
1Universit´e de Nice-Sophia Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice cedex 2, France
2CNRS, Laboratoire Emile Picard, Universit´e Toulouse 3, 31062 Toulouse cedex, France
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Sommaire
1. Introduction—p. 4
Motivation, description des r´esultats.
2. Les n-cat´egories de Segal—p. 16
D´efinition des n-cat´egories de Segal, troncation, int´erieur. La m´ethode g´en´erale pour obtenir
une structure de cmf, et son application aux n-cat´egories de Segal. Les classes d’homotopie de
morphismes.
3. Les n-pr´echamps de Segal—p. 36
La structure de cmf pour les n-pr´echamps de Segal (notions d’´equivalence faible, de cofibration,
de fibration), comparaison avec la topologie grossi`ere, compatibilit´e avec la troncation, propret´e.
Donn´ees de descente.
4. Les fonctorialit´es p∗,p∗,p!—p. 50
Relation entre n-pr´echamps de Segal sur Xet Zpour un foncteur p:Z→X,crit`eres de
pr´eservation des objets fibrants.
5. La structure de type Bousfield-Kan d’apr`es Hirschhorn—p. 54
La structure HBKQ de cmf pour les n-pr´echamps de Segal, o`u les cofibrations sont obtenues par
libre addition de cellules; application `a la notion de donn´ee de descente.
6. Le point de vue de la localisation—p. 61
Les cmf de n-pr´echamps de Segal pour la topologie Gpeuvent ˆetre obtenues `a partir des cmf
pour la topologie grossi`ere par inversion de fl`eches correspondant aux cribles de G.
7. Cat´egories de Segal et cat´egories simpliciales—p. 66
Relation entre les 1-cat´egories de Segal et les cat´egories simpliciales; produits et coproduits
homotopiques et l’argument de Gabriel-Zisman.
8. Localisation de Dwyer-Kan—p. 71
La localisation de Dwyer-Kan fournit beaucoup d’exemples de cat´egories simpliciales, et permet
en outre de montrer que toute 1-cat´egorie de Segal est ´equivalente `a une cat´egorie simpliciale.
9. Premi`ere d´efinition de champ—p. 85
D´efinition de n-champ de Segal comme n-pr´echamp de Segal Adont les A(X)sontdesn-
cat´egories de Segal et pour lequel le morphisme A→A0vers le remplacement G-fibrant est une
´equivalence objet-par-objet. Notion de champ associ´e, compatibilit´es.
10. Crit`eres pour qu’un pr´echamp soit un champ—p. 92
Aest un n-champ de Segal si et seulement si les A1/(x, y)sontdesn−1-champs de Segal sur
X/X pour tout x, y ∈A0(X), et si les donn´ees de descente pour un crible B⊂X/X sont
effectives. On a plusieurs versions de ce crit`ere.
11. Cat´egories de mod`eles internes—p. 106
On definit la notion de cat´egorie de mod`eles interne et on l’utilise pour d´efinir le n+1-pr´echamp
nSeCHAM P (X)desn-champs de Segal au-dessus de X, ainsi que sa n+1-cat´egorie de Segal
nSeCHAM P (X) de sections globales. Comparaison avec la localis´ee de Dwyer-Kan.
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12. La famille universelle—p. 123
On d´efinit un morphisme nSeCHAMP (X)→Hom(Xo,nSeCAT0), on montre qu’il est pleine-
ment fid`ele (et on ´enonce le r´esultat 12.1 qui identifie son image essentielle). Ceci nous conduit
`a une nouvelle version de la notion de champ.
13. Le champ associ´e`aunpr´echamp—p. 134
On d´efinit le foncteur “champ associ´e`aunpr´echamp” de nSeCHAMP (Xgro)vers
nSeCHAM P (XG), qui est adjoint au foncteur d’inclusion dans l’autre sens.
14. Limites—p. 142
Calcul des limites `a l’aide des structures de cmf; d´efinition des champs en termes de limites.
15. Un peu plus sur la condition de descente—p. 145
On refait les crit`eres de §10 en termes de limites, et on explicite le calcul de ces limites dans le
cas d’un crible d´efini par une famille couvrante, en termes de limites prises au-dessus de ∆.
16. La construction de Grothendieck—p. 151
On construit la “n-cat´egorie fibr´ee” associ´ee `aunn-pr´echamp au-dessus d’une cat´egorie, op´era-
tion not´ee comme une int´egrale suivant Thomason. On compare les sections du n-pr´echamp et
celles de la n-cat´egorie fibr´ee associ´ee.
17. Pr´efaisceaux de Quillen—p. 169
On introduit la notion de pr´efaisceau de Quillen `a gauche, une sorte de pr´efaisceau de cmf o`u
les foncteurs de restriction sont des foncteurs de Quillen `a gauche. On donne diverses structures
de cmf pour les sections de l’int´egrale d’un pr´efaisceau de Quillen.
18. Strictification—p. 182
On strictifie les sections faibles des 1-pr´echamps de Segal qui proviennent de pr´efaisceaux de
Quillen par localisation de Dwyer-Kan. Ceci permet de strictifier des familles faibles de n-
cat´egories de Segal, en n-pr´echamps de Segal. Fin de la preuve de 12.1.
19. La descente pour les pr´efaisceaux de Quillen `agauche—p. 206
Pour un pr´efaisceau de Quillen `a gauche Mon donne un crit`ere pour que le 1-pr´echamp de Segal
associ´e L(M)soitunchamp.
20. Exemple: la descente pour les n-champs—p. 219
On utilise le crit`ere du §19 pour prouver que nSeCHAMP (X)estunn+ 1-champ de Segal.
Ceci g´en´eralise le th´eor`eme classique de recollement des faisceaux. On donne aussi une preuve
directe.
21. Exemple: la descente pour les complexes—p. 228
On utilise le crit`ere du §19 pour prouver que L(CpxO,qis) est un 1-champ de Segal, pour un site
annel´e raisonnable (X,O). On ´enonce un r´esultat de g´eometricit´e pour le champ de modules
des complexes parfaits.
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1. Introduction
La descente: des modules aux complexes
Pour donner une id´ee du contenu du pr´esent travail, on peut l’aborder, en premi`ere ap-
proximation, comme une contribution `alath´eorie des complexes de faisceaux de modules.
Pour le mettre en perspective, nous commen¸cons par r´esumer la th´eorie des faisceaux de
modules localement libres (de rang fix´er):
Il existe un champ BG, muni d’un module universel Uet d’un fibr´e universel dont U
est le module des sections. Ce champ “classifie” les modules localement libres de rang r
sur les sch´emas en ce sens que le champ de modules Fib
X,r de tels modules sur un sch´ema
Xs’identifie au champ des morphismes de Xvers BG.LechampBG est alg´ebrique
et si Xest projectif, il en est de mˆeme pour Fib
X,r.LechampBG est un ouvert dans
(au moins) deux champs plus g´en´eraux Coh et Qcoh qui classifient respectivement les
faisceaux coh´erents et quasi-coh´erents (on n’entre pas ici dans les d´etails concernant en
particulier la topologie choisie). Le fait que Qcoh soit un champ signifie plus concr´etement
que les donn´ees de descente pour un module quasi-coh´erent (ou pour un morphisme en-
tre deux modules quasi-coh´erents) sont effectives. On peut observer que Coh n’est pas
alg´ebrique, ce qui est un peu contrariant.
On se propose de g´en´eraliser cette th´eorie au cas des complexes. Le point crucial est
qu’on veut parler de recollement de complexes `a l’aide non pas d’isomorphismes mais de
quasi-isomorphismes (compatibles en un sens ad´equat), de sorte que ce travail rel`eve dans
une large mesure de la th´eorie de l’homotopie.
Les champs dont on vient de parler sont des champs de cat´egories et lorsqu’on se
pr´eoccupe d’´etendre ce qui pr´ec`ede au cas des complexes, il faut tˆot ou tard organiser ces
complexes en cat´egories munies de structures ad´equates.
La solution qui vient d’abord `a l’esprit consiste `aconsid´erer des cat´egories d´eriv´ees.
On peut en effet former par exemple le pr´echamp DQcoh qui `aunsch´ema affine SpecA
associe la cat´egorie d´eriv´ee DQcoh(A) de celle des A-modules quasi-coh´erents. Demander
si ce pr´echamp est un champ est la fa¸con savante de demander si on peut recoller des
complexes `a l’aide de quasi-isomorphismes “compatibles” (i.e. v´erifiant une condition
de cocycle par ailleurs assez technique). Cette question a ´et´etr`es tˆot reconnue comme
impertinente, les objets de ces cat´egories d´eriv´ees ´etant “de nature essentiellement non-
recollables” 3([12] Expos´e 0, p.11).
3Pour le lecteur qui ne serait pas convaincu que cette voie des cat´egories d´eriv´ees est sans issue, sig-
nalons que le sous-pr´echamp (plein) Parf{0,1}de DQcoh des complexes parfaits `a support cohomologique
dans [0,1] est bien un champ, mais qu’il n’est pas localement alg´ebrique (au sens d’Artin): en fait, comme
on le verra plus loin, le “bon” objet est un 2-champ localement alg´ebrique (au sens de [93]).
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Les homotopies sup´erieures
Pour formuler les probl`emes de recollement des complexes d´efinis `a quasi-isomorphisme
pr`es, il faut consid´erer des homotopies sup´erieures, ce qui complique singuli`erement le
tableau. En topologie ordinaire, le prototype d’un tel probl`eme consiste par exemple `a
recoller sur U1∪U2∪U3∪U4des donn´ees du genre suivant: pour 1 ≤i≤4, Ciest
un complexe sur Ui;pour1≤i≤j≤4, fij est une ´equivalence d’homotopie entre les
restrictions Cij et Cji de Ciet Cj`a Uij := Ui∩Uj;pour1≤i≤j≤k≤4, hijk est une
´equivalence d’homotopie entre les restrictions de fjkofij et fik `a Uijk := Ui∩Uj∩Uk;etles
hijk doivent encore v´erifier une condition de compatibilit´esurU1∩U2∩U3∩U4, condition
dont la formulation mˆeme n’est pas imm´ediate. On con¸coit facilement comment, pour
des recouvrements plus complexes (en topologie ´etale par exemple), la combinatoire de ce
genre de donn´ees de descente peut devenir inextricable. La d´efinition que nous donnons
des donn´ees de descente d´epasse (ou ´evite) les consid´erations combinatoires.
Dans la situation pr´ec´edente les fij sont des flˆeches entre complexes, les hijk doivent
ˆetre consid´er´ees comme des 2-fl`eches, et les donn´ees sur U1∩U2∩U3∩U4seront des
3-fl`eches. Concr´etement, hijk par exemple est un morphisme d’objet gradu´ededegr´e
−1 entre Ciet Cksur Uijk,´etablissant une homotopie entre fjkofij et fik.Demˆeme,
l’information cruciale dans une 3-flˆeche est un morphisme d’objet gradu´ededegr´e−2
´etablissant une homotopie entre morphismes de degr´e−1, etc. On a donc bien besoin
d’une notion d’∞-cat´egorie comme pr´econis´ee par Grothendieck [49], avec des n-fl`eches
pour tout net les lois de composition ad´equates.
Cat´egories simpliciales ou de Segal
En fait, une forme rudimentaire d’∞-cat´egorie adapt´ee `a nos complexes est con-
nue depuis trente ans, c’est la notion de cat´egorie simpliciale. Introduite en th´eorie
d’homotopie par Kan et Quillen (voir [83]), cette notion a ´et´e reprise par Dwyer et Kan
[31] [32] [33]: en particulier, `atoutecat´egorie Mmunie d’une sous-cat´egorie W, ces
auteurs associent une cat´egorie simpliciale “localis´ee” L(M, W). Celle-ci capture bien
l’information homotopique concernant le couple (M, W) dans la mesure o`usiMest une
cat´egorie de mod`eles ferm´ee (cmf) simpliciale au sens de Quillen, et Wsa sous-cat´egorie
des ´equivalences, alors L(M, W)est´equivalente `alacat´egorie simpliciale des objets cofi-
brants et fibrants de M. Ceci montre par exemple que la structure simpliciale sur une
cmf est unique `a´equivalence pr`es, et mˆeme ne d´epend (toujours `a´equivalence pr`es) que
de la sous-cat´egorie des ´equivalences.
Plus particuli`erement, dans la situation des complexes si Ch d´esigne la cat´egorie des
complexes et qis la sous-cat´egorie des ´equivalences faibles, alors la cat´egorie simpliciale
L(Ch,qis)repr´esente ad´equatement la th´eorie homotopiquement des complexes. 4
4Ceci veut dire que si A·et B·sont des complexes alors l’ensemble simplicial de morphismes dans L
entre A·et B·est ´equivalente `a l’ensemble obtenu par application de la construction de Dold-Puppe au
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