on some f`ractional differential equations in banach spaces

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USTHB
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne
Faculté de Mathématiques
Département d'Analyse
ON SOME F'RACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN
BANACH SPACES AND THEIR APPLICATIONS
Présenté oar
Amar DEBBOUCHE**
Résumé
La théorie des dérivées d'ordre non entier revient â la création du calcul différentiel : le philosophe et le
créateur du calcul modeme G.W.Leibniz qui a doruré quelques remarques dans sa liste â L'Hospital [41] en
date du 30 septembre 1695, sur le sens et la possibilité de la dérivée fractionnelle d,or&e l/2.
Une des branches émergeant de cette étude est la théorie d'équations d'évolution où la dérivée d'ordre
entier par rapport au temps est remplacée par une dérivée d'ordre fractionnaire.
L'intérêt dans cette classe d'équations est motivé par leur application aux problèmes de viscoélasticité, la
conduite de chaleur dans un matériau avec mémoire, l'électrodynamique avec mémoire etc...
Dans cette thèse on a étudié I'existence et I'turicité de solutions d'une classe d'équations différentielles
abstraites d'ordre fractionnaire 0<o<1, contenant des opérateurs fermés linéaires définis sur des ensembles
denses dans un espace de Banach. ces opérateurs sont supposés être générés par des semi groupes
analytiques, les solutions ont été obtenues en utilisant le principe de Gelfand-Shilov dans le calcul
fiactionnaire et sont données en terme de certaines fonctions de densité de probabilité.
Sous des conditions convenables, l'existence de solutions de Duhamel optimales pour les équations
d'évolution fiactionnaires linéaires est prouvée, ensuite la condition de Bochner de presque périodicité est
utilisée pour montrer que ces solutions sont faiblement presque périodiques. En plus, la même chose est
montrée pour une classe d'équations différentielles fractionnaires sous des conditions supplémentaires.
Ainsi, notre outil fondamental est les opérateurs à puissances fractionnaires pour établir I'existence,
I'unicité et la régularité des solutions de Duhamel d'une classe d'équations intego différentielle
fractionnaire non linéaires.
Nous généralisons les résultats précédents par les techniques utilisés dans [2, 3, 49, 53, 63, 64, 651. Ces
techniques ont été testées sur certains cas et ont donné des résultats satisfaisants.
Les résultats obtenus dans cette thèse sont nouveaux et I'approche utilisée justifre son efficacité et
présente des résultats très prometteurs. La fiabilité de I'ordre fractionnaire donne un sentiment de plus
applicabilité et I'utilisation de cette technique présentée dans ce travail pour résoudre d'autres modèles
incluant les problèmes décrits dans [22,23,24] peuvent être un champ intéressante d'investigations.
' Thèse de Doctorat
** Directeur de Thèse : MEDJDEN Mohamed
*** Co Directeur de Thèse : Mahmoud Mohamed El Borai