Les vecteurs

Physique mécanique (NYA)
Chapitre 2: Les vecteurs
2.1 Scalaire et vecteurs
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Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. Il a une
valeur numérique mais pas d'orientation. Les scalaires obéissent aux lois de
l'algèbre ordinaire (Ex. masse, distance, température, volume, densité)
Un vecteur est une entité mathématique définie par plusieurs valeurs numériques.
Ces valeurs numériques décrivent le module et l'orientation du vecteur. Les
vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle (Ex. déplacement, vitesse,
accélération, force, quantité de mouvement).
Les vecteurs sont souvent imprimées en caractères gras et/ou surmontées d'une
flèche. A
Un vecteur peut être représenté géométriquement comme un segment de droite
orienté de longueur proportionnelle à son module. On le représente par une flèche
dont l'orientation est précisée par l'angle.
Le module d'un vecteur est un scalaire positif. A  A
Lorsqu'on dessine un vecteur, on peut placer son
origine en n'importe quel point par rapport aux axes
du système de coordonnées. Mais, dans un problème
de physique, l'emplacement d'une grandeur vectorielle
peut avoir une importance, comme c'est le cas par
exemple du point d'application d'une force.
2.1 (suite)
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L'égalité vectorielle A = B signifie que les vecteurs
ont le même module et la même orientation:
A B
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
A B
et
 A  B
Multiplier un vecteur par un nombre pur (ou un
scalaire) revient simplement à modifier le module du
vecteur (Ex. v  at )
2.2 L’addition des vecteurs
Méthode du polygone

R est la résultante
R  A B C  D
2.2 (suite) Commutativité de l’addition
L’addition est commutative:
R  A B C  AC  B  B C  A
2.2 (suite)
Inverse d’un vecteur
Soustraction de vecteurs
 
A  C  A  C
2.3 Composantes et vecteurs unitaires
Un vecteur A peut être décomposé en ses
composantes rectangulaires Ax et Ay.
Ax  A cos  A
Ay  A sin  A
Il est possible d’additionner des vecteurs en
additionnant les composantes de ces vecteur.
Ax  A cos  A
Ay  A sin  A
Bx  B cos  B
By  B sin  B
Rx  Ax  Bx
Ry  Ay  By
R  Rx2  Ry2
tg  R 
Ry
Rx
Notez que l’inverse tangente a deux solutions …
2.3 (suite)
Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est egal a 1.
Par exemple, u A est un vecteur unitaire dans la direction de A
A
A
Les vecteurs unitaires dans les directions x, y et z sont notes i, j et k.
A  uA A
uA 
Il est possible de decomposer tout vecteur en fonction de i, j et k.
A  Ax  Ay  Az  Ax i + Ay j + Az k
2.4 Le produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs
est le produit du module du premier
par la composante du second dans la
direction du premier.
Produit scalaire en fonction du module et de l’angle:
A  B  AB cos
Produit scalaire en fonction des composantes:
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
Angle entre deux vecteurs:
cos  
Ax Bx  Ay By  Az Bz
AB
2.4 (suite) Exemple
Calculez l'angle entre les vecteurs M et P.
M= ( -30 ; -20 ; +10 ) m/s et P= ( -30 ; -20 ; -10 ) m/s
M  P= (-30)(-30) + (-20)(-20) + (10)(-10) = 1200 m²/s²
||M|| = ||P|| = 37,42 m/s (Dans ce cas particulier)
MP = 1400,26 m²/s²
(Un vecteur sans flèche est synonyme
de la grandeur du vecteur)
cos() = 1200/1400,26 = 0,85699
(le résultat est adimensionnel)
 = 31,02°
2.5 Le produit vectoriel
Le module du produit vectoriel de deux
vecteurs est le produit du module du
premier par la composante du second qui
est perpendiculaire au premier.
A  B  A  B sin    B  A sin    AB sin 
Le produit vectoriel est un vecteur
perpendiculaire à A et à B dont le sens
est donné par la règle de la main droite
ou celle du tire-bouchon.
A  B   AB sin   un
Notez que le produit vectoriel est nul si les deux
vecteur sont parallèles et maximal s’ils sont
perpendiculaires.
2.5 (suite)
Produit vectoriel en fonction des composantes:
i
A  B  Ax
Bx
j
Ay
By
k
Ay
Az  i
By
Bz
Az
Ax
j
Bz
Bx
Ax
Az
k
Bx
Bz
Ay
 i  Ay Bz  By Az   j ...
By
Exemple :
i
j
k
A B  1
2
4  i
3 1
5
2
4
1
5
j
1 4
3
5
k
1
2
3 1
A  B  i  2  5   1   4    j 1 5  3   4    k 1  1  3  2 
A  B  6i  17 j  7 k