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suIenm:aTicéncMNucrUbFatu
CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
1
suIenm:aTic (Cinématique)
• suIenm:aTic
KWCakarsikSaclnarbs;GgÁFatuTaMgLayedayminKitBI
buBVehtu
EdlbgáeGaymanclnaTaMgenaHeT.
• La cinématique est l’étude des mouvements des corps
indépendamment des causes qui les produisent.
2
TItaMgrbs;cMnucrUbFatukñúglMhr
Position d’un point dans l’espace
kñúgtMruy  TItaMgrbs;cMnucrUbFatu A
enAxN³ t RtUVv)ankMNt;edayvuicT½r
r (t )
Dans un référentiel , la position d’un point matériel M à
l’instant t est définie par le vecteur r(t), appelé vecteur
position.
r (t )  OA
3
TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúgl
Mh
Position d’un point dans l’espace
kUrGredaenedkat 
kUGredaensuILaMg 
kUGredaenb:UEl 
cm¶aycr nigbmøas;TI
smIkar):ar:aEmRténKnøgsmIkarKnøg
Gab;suIsExSekag
nigviFIKNnaGab;suIsExSekag

= Oxyz
c = Oz
p = Or
4
TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúgl
Mh
Position d’un point dans l’espace
kUrGredaenedkat  = Oxyz
kUGredaensuILaMg c = Oz
kUGredaenb:UEl p = Or
smIkar):ar:aEmRt
smIkarKnøg
Gab;suIsExSekag cm¶aycr
nigbmøas;TI

5

kUrGredaenedkat  = Oxyz /
Coordonné cartésiennes
z
(c)
A
uz
ux
O
y
uy
x
P
6

kUrGredaenedkat  = Oxyz /
Coordonné cartésiennes (suite)
kñúgRbB½n§kUrGredaenedkatTItaMgrbs;cMnucrUbFatu
AenAxN³eBlmYykMNt;eday³
x
 
r (t )  OA  xu x  yu y  zu z   y 
z 
 Oxyz
 (u x

, u y , u z ) ehAfa)asedkat
ux , u y , uz
CavuicT½rÉktaelIG½kS
Ox, Oy, Oz
Edl
du y
dux
du z
 0,
 0,
0
dt
dt
dt
7

kUrGredaenedkat  = Oxyz …
Coordonné cartésiennes…
Exemple1
cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A
EdlmankUGredaenr (3,2,5)
8

kUrGredaensuILaMg  = Oz
Coordonnées cylindrique
A

A

9

kUrGredaensuILaMg  = Oz
Coordonnées cylindrique (suite)
kñúgRbB½n§kUrGredaensuILaMgTItaMgrbs;cMnucrUbFatu
AenAxN³eBlmYykMNt;eday³

 
r (t )  OA   u   zu z   0 
z 
 c O z

(u  , u , u z ) ehAfa )asénkUGredaensuILaMg
(base
locales des coordonées cylindriques)

u
CavuicT½rÉkata r:adüal (vecteur unitaire
radial)

u
CavuicT½rÉkata GUtUr:adüal (vecteur unitaire ortho
radial)
10
 Relation entre =(Oxyz), C=(Oz)
  x2  y 2
 x   cos 

1. 

y
 y   sin 


Arc
tan(
)

x

u  cos  u x  sin  u y
2. 
u   sin  u x  cos  u y
11
 Relation entre u et u
 du 
  u

dt
.
 du   u

 dt
12

kUrGredaensuILaMg  = Oz
Coordonnées cylindrique (suite)
Exemple 2
cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A
EdlmankUGredaenr (3,30 ,5) .
o
13

kUrGredaenb:UEl  =
Or
Coordonnées polaire

P
y

u
u


O
x
Pour z = 0, on note que les coordonnées cylindriques
s’identifient aux coordonnées polaires du plan xOy
14

kUrGredaenb:UEl  =
Or
Coordonnées polaire (suite)
r 
r (t )  OA  rur   
 0 P Or
En générale
A
y
u
r
ur

O
x
dur
d
 (cos  u x  sin  u y )   ur
dt
dt
du
d
 ( sin  u x  cos  u y )   ur
dt
dt

ur
vecteur unitaire radial

u
vecteur unitaire ortho radial
 r
 x  r cos 

 y  r sin 
hAfakaMb:UEl (rayon polaire)
r  x 2  y 2
  hAfamuMb:UEl (angle


y polaire)


Arc
tan(
)

x

15

kUrGredaenEs‘Vr  =
Or
Coordonnées sphérique
• A(r,,)
A
r


A(x,y,z)
 x  r sin  cos 

 y  r sin  sin 
 z  r cos 

•A(x,y,z)  A(r,, )


2
2
2
r

x

y

z


x2  y 2

)
  Arc tan(
z

y



Arc
tan(
)

x

16

kUrGredaenEs‘Vr  =
Or
Coordonnées sphérique (suite)
A
r


r 
 
r (t )  OM  r ur   0  , r  0
0
 
(ur , u , u )
ehAfa
)asénkUGredaenEs‘
V
(base locales des
17
cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et

déplacement
A
O
18
cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement

(suite)
A’(t’)
A(t)
O
A ' A  OA  OA ' appelée déplacement
A ' A  S  S (t )  S (t ') appelée parcours
19

smIkar):ar:aEmRt rW smIkareBl
l’équation paramétrique ou l’équation horaire
 x  x(t )

Dans coordonnées cartésiennes:  y  y (t )
 z  z (t )

Dans coordonnées polaire:
    (t )

   (t )
    (t )

Dans coordonnées cylindrique:    (t )
 z  z (t )

21
smIkarKnøg L’équation de la courbure trajectoire

Dans coordonnées cartésiennes: f ( x, y, z )  0
Dans coordonnées polaire:
r  f ( )
Dans coordonnées cylindrique:
f ( , , z)  0
22
• Exemple:
23
Gab;suIsExSekag / abscisse curviligne

A(t)
S(t)
(C)
trajectoire
r (t )
(+)
O (t = 0)
S (t ) appelée abscise curviligne
r (t ) appelée position du A a l'instant t par rapport à O
24

karKNnaGab;suIsExSekag /Calculer abscisse
curviligne
•En utilisant coordonnées cartésiennes:
dx2  dy 2  dz 2
ds 
•En utilisant coordonnées cylindrique:
ds 
d    d   dz 
2
2
2
2
•En utilisant coordonnées polaire:
ds 
d    d 
2
2
2
25
Exemple
26
Vitesse d’un point par rapport à un référentiel 
 Vitesse moyenne
 Vitesse moyenne de parcours
Vitesse moyenne de déplacement
 Vitesse instantanée (garndeur vectorielle)
Composantes cartésiennes
Composantes cylindriques
Composantes polaires
Composantes de Frenet
27
Vitesse moyenne
 Vitesse moyenne de parcours
Par définition, la vitesse moyenne de parcours est:
S
v 
t
Où S - le parcours du point pendant t = t2 – t1
28
Vitesse moyenne …
 Vitesse moyenne de déplacement
Par définition, la vitesse moyenne de déplacement est:
OA OA(t  t )  OA(t )
v 

t
t
29
• Exemple:
30
 Vitesse instantanée
v A/ 
 dOA 
 lim v  

A2  A1
 dt 
La vitesse instantanée (ou vecteur vitesse instantanée)
d’un point par rapport à un référentiel est égale à la dérivée
sa position (ou vecteur-position) par rapport au temps
calculée dans ce référentiel
31
 Vitesse instantanée …
 Composantes cartésiennes
Comme
v A/ 
 x(t ) 


OA(t )   y(t ) 
 z (t ) 


, il vient :
x
 
  y ; v  v 
z 
 
x y z
2
2
2
32
 Vitesse instantanée …
 Composantes cylindriques
Le vecteur position du point A en coordonnées cylindriques
s’exprime:
v A/   v A/ 
ρ 


 ρu ρ +  u + zu z    
z 

C
33
 Vitesse instantanée …
 Composantes polaires
v A/ 
dans coordonnées polaire :
v A/   v A/ 
r 
 ru r + r u  

 r P
Pour Z = 0 =>
34
 Vitesse instantanée …
 Composantes de Frenet
Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre
défini en un point de la trajectoire (c) par les trois
vecteurs unitaires suivantes:

ut tangent à la trajectoire

un normal à la trajectoire , tel que:

ub  ut  un
vecteur unitaire bi- normale
35
 Vitesse instantanée …
 Composantes de Frenet
du t
un

dS
R
Où
relation de Frenet
S - représente l’abscisse curviligne sur (c) orienté
R- le rayon de courbure
v A/ 
dS

ut  Sut
dt
36
Accélération d’un point par rapport àun
référentiel 
 Définition
 Composantes cartésiennes
 Composantes polaire
 Composantes polaire
 Composantes Frenet
37
• Exemple:
38
 Définition
L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel 
est le vecteur suivant
2

d
v
d
OA 
 A/  
a A/   
 


2
 dt   dt 
39
 Composantes cartésiennes de l’accélération
Comme
on a:
x
 
OA   y  ,
z 
 
x
 
a A/    y 
z 
 Oxyz
40
 Composantes polaire
r 
r 
OA     v A/    
 0  P
 r P
a A/ 
 r  r 2 
d r 
 dv A /  

   



 dt P dt  r P  2r  r P
Donc: a A/ 
 r  r 2 

 2r  r 

 P
41
 Composantes de Frenet
v A/   v(t )ut
 a A/ 
 dv A /  


dt

 Frenet
dut
dv
 a A/   ut  v
dt
dt
dut dut dS v
Mais
=
 = un
dt dS dt R
Donc: a A/ 
dv
v2
 ut  u n
dt
R
42
 Composantes de Frenet de

dv
at  ut
dt
accélération tangentielle

v2
an  u n
R
accélération normale
43
Exemple

nv
anekagedayel ,Ó
Icl natams<
ImeFV
ycab;epþ
mY
rfynþ
aycrtamkenSam³
l tamcm¶
bY
bR
l ER
Du
Edl manm:U
v  k S.
M
gmu
vnw
tU
R
Ú
an)anExSFñ
stams<
enAxN³vaKU
Hrfynþ
Tu
rksM
α(rd)
Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un
référentiel 
Nous appellerons :
- mouvement absolu, le mouvement de A par rapport à ;
- mouvement relatif, le mouvement de A par rapport à ’;
- mouvement entraînement, le mouvement de ’ par
rapport à .
z
z’
y’
’
O’

x’
O
y
x
45
Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un
référentiel 
 mouvement de translation
 mouvement de rotation autour d’un axe de 
 mouvement le plus général de ’ par rapport à 
46
 mouvement de translation
Le référentiel d’espace ’est en translation par rapport à
un référentiel , si les bi points A et B de ’ , au cours de
mouvement sont équipollents entre. Donc le vecteur AB
est en constante dans 
B
z
AB  A'B'  .....  Cte
AB  Cte
A
 dAB 
 
  0
 dt 
 dOB 
 dOA 
 
  
  0
 dt   dt 
Donc, v A/   vB / 
B’

AB  OB  OA
B’’
A’’
A’
O
y
x
47
mouvement de rotation autour d’un axe de 
Les points situé sur cet axe commun à ’ et , noté OZ, ont une
vitesse nulle. Un point A fixe dans ’ décrit, par rapport à  , un
cercle de centre H et de rayon HA, H étant la projection A sur l’axe
de rotation
dS
 d 
v A/   ut  HA 
 ut ;
dt
 dt 
dS= HA.d
v A/   R ut
Sou la form vectoriel:
v A/    '/   OA
48
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (1)
 dOA 
 dOO'   dO'A 
OA  OO'  O'A  
  
  

dt
dt
dt

 
 

 dOA 
 dOO' 

  vM /  ; 
  vO'/ 
 dt 
 dt 
y’
z
 dO'A 
Déterminer 
 ?avec O'A vect.posit.de A/  '
 dt 
Levecteur O'A étant fixe dans '.
Il évolue par rapport a  en conservant sa norm.
A
’
O’
x’
O
y
2
Donc: O'A.O'A  O'A  Cte
 d O'A 
 d O'A 
 2 O'A 

0

O'A


  0
 dt 
 dt 

z’
x
49
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (2)
On a :
 d O'A 
 d O'A 
O'A 
  0  
  O'A
 dt 
 dt 
Dans , la dérivée temporelle de O'A peut se metre
 d O'A 
sou la forme 
   M  O'A
 dt 
[M] l’opérateur qui caractérise le mouvement de ’/
Dans , l’opérateur [M] se met sous la forme matricielle(3×3)
 m11 m12 m13 


[M] =  m 21 m 22 m 23 
m m m 
 31 32 33 
50
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (3)
 du 
On a : u x 'u x '  1  u x '  x '   0  u x ' [ M ]u x '  0
 dt 
 1   m11 m12 m13   1 
 
  
0
m
m
m
   21 22 23   0   0
0  m m m 0
  '  31 32 33    '
1   m11
  
  0   m 21
0  m
  '  31


0


 m11  0
Pour u y 'u y '  1
 m 22  0
Pour u z 'u z '  1
 m 22  0
51
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (4)
 du y ' 
 du x ' 
On a : u x 'u y '  0  
u y '  ux ' 
 0

 dt 
 dt 
 [ M ]u x 'u y '  u x ' [ M ]u y '  0
 m11

  m 21
m
 31
0
 1   m12
 
  
1

 
 0   m 22
  
0
   '  0  '  m32


0


m 21  m12  0
 m12   m 21
Pour u x 'u z '  0
 m13   m31
Pour u y 'u z '  0
 m32   m 23
52
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (5)
 dO'A 
Donc : 
  [ M ]O'A
 dt 
m12 m13   x ' 
0

 
=  -m12 0
m 23   y ' 
 -m -m 0   z ' 
23
 13
   '
 m12 y' + m13 z ' 


  -m12 x '  m 23 z '  (1)
 -m x '  m y ' 
23
 13

53
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (6)
En introduisant le produit vectoriel d’un vecteur équivalent
M  -m 23u x '  m13u y ' - m12u z ' par le vecteur O'A :
 -m 23   x ' 
 m12 y' + m13 z ' 

  


M  O'A   m13    y '    -m12 x '  m 23 z '  (2)
- m   z ' 
 -m x '  m y ' 
23
 12    '  13
 '
Par (1) et (2)
Donc: [M]O'A  M  O'A
54
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (7)
 dOA 
 dOO' 
Donc: 
  
  M  O' A
 dt   dt 
 v A/   vO'/   M  O' A
55
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (8)
Pour bi- points A et B de ’ avec AB = Cte :
v A /   vO '/   M  OA
vB /   vO '/   M  OB
 vB /   v A /   M  (OB  OA)
 vB /   v A /   M  AB
56
 mouvement le plus général de ’ par rapport à  (9)
i) Cas le repère ’ est en rotation autour d’un axe dans 
v A/    '/   OA
v A/   vO'/  M  O'A
Mais O  O'  vO'/  0 ; OA  O'A
 M   '/ 
Donc: v A/   vO'/   '/   O'A
ii) Cas le repère ’ est en translation par rapport à 
vB /   v A / 
Mais vB /   v A /   M  AB
 M  0  ω'/  0
57
Composition de mouvements
 Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’
 Loi de composition des vitesses
 Loi de composition des accélérations
 Loi de composition des vitesses
 Loi de composition des vitesses angulaire
58
 Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’
 Soient deux référentiels  et
’ayant respectivement les
trièdres orthogonaux Oxyz et
O’x’y’z’
 En considérons un vecteur
A de composantes (x,y,z)
dans  et de composantes
(x’,y’,z’) dans ’
y’
z
z’
’
O’

A
x’
O
y
x
59
Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’
OA = xu x  yu y  zu z et O'A  x ' u x '  y ' u y '  z ' u z '
x
 dOA 
d

 

xu

yu

zu

xu

yu

zu

y



x
y
z 
x
y
z



 dt   dt
z 
 
 dO'A 
d


    x ' ux '  y ' u y '  z ' uz ' 
 '
 dt  '  dt
 x'
 
 x ' ux '  y ' u y '  z ' uz '   y ' 
z'
  '
 dO'A 
Nous voulons exprimer 

 dt 
60
Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’ …
 dO'A 
d


    x ' ux '  y ' u y '  z ' uz ' 

 dt   dt
 uy ' 
 ux ' 
 uz ' 
 x ' ux '  y ' u y '  z ' uz '  x ' 
 y '
  z '


dt
dt


 dt 


 dO'A 

  x '('/  u x ' )  y '('/  u y ' )  z '('/  u z ' )
 dt  '
 dO'A 

  '/   x ' u x '  y ' u y '  z ' u z ' 
 dt  '
 dO'A 

  '/  O'A
 dt  '
'/ et O'A seront xprimés dans la base
u
x'
, u y ' , uz ' 
61
 Loi de composition des vitesses
v A/ 
 dOA 
 dOO' 
 dO'A 

 
 

dt
dt
dt

 
 

 dO'A 
 vO '/   
  ω'/  O'A
 dt  '
 v A/  '  vO '/   ω'/  O'A
. va  v A/ 
 dOA 

  vitesse absolue
 dt 
. vr  v A/  '
 dO'A 

  vitesse relative
 dt  '
. ve  v A/  '  vO '/   ω'/  O'A  vitesse d'entraînement
62
 Loi de composition des vitesses …
va  vr  ve
63
• Exemple:
64
 Loi de composition des accélérations
On a :
v A/   v A/  '  vO '/   ω'/  O'A
 a A/ 
 dv A /  


dt


 d(ω'/  O'A) 
 dv A /  ' 
 dvO '/  


 



dt
 dt   dt  

 dv A /  ' 
 dv A /  ' 
Avec:  

+ ω'/  v A/  '


 dt   dt  '
 a A/  '  ω'/  v A/  '
 dvO '/  
 
 aO '/ 

 dt 
65
 Loi de composition des accélérations …
 d(ω'/  O'A) 
 
 
dt


 dO'A 
 dω'/ 

 O'A  ω'/  


 dt 
 dt 
 dO'A 

 dω'/ 

 O'A  ω'/  
  ω'/  O'A 

 dt 
 dt  '


 ε'/  O'A  ω'/  v A/ '  ω'/  O'A


 ε'/  O'A  ω'/  v A/ '  ω'/  ω'/  O'A

66
 Loi de composition des accélérations …
a A/   a A/  '  ω'/  v A/  '  aO '/   ε'/  O'A

 ω'/  v A/ '  ω'/  ω'/  O'A
 a A/  '


 aO '/   ε'/  O'A  ω'/  ω'/  O'A

 2ω'/  v A/ '
67
 Loi de composition des accélérations …
. aa  a A/ 
 d 2 OA 
 dv A /  


  accélération absolue

2
 dt   dt 
.ar  a A/  '
 d 2 O'A 
 dv A /  ' 


  accélération relative

2
 dt  '  dt  '

.ae  aO '/   ε'/  O'A  ω'/  ω'/  O'A

accélération d'entraînement
.ac  2ω'/  v A/ '  accélération de Coriolis
 dω 
Note :  '/   ε'/ - vecteur accélération angulaire (rd/s 2 ).
 dt 
Sa direction est perpendiculaire au plan de rotation
68
 Loi de composition des accélérations …
aa  ar  ae  ac
Note : accélération de coriolis ac  2ω'/  vA/ ' est null dans les cas :
i). ω'/  0
- le repère ' est en translation par rapport à 
ii). vA/ '  0 - la point M est en fixe dans '
69
• Exemple:
70
 Loi de composition des vitesses angulaire
On pose :
ω2 / 1  vitesse angulaire de 2 / 1
ω1 / 0  vitesse angulaire de 1 / 0
ω2 / 0  vitesse angulaire de 2 / 0
Pour les deux points A and B dans d'espace
 d AB 


 dt 0
 d AB 
=
 + ω1 / 0  AB
 dt 1
 d AB 


 dt 0
 d AB 
=
 + ω2 / 0  AB
 dt 2
71
 Loi de composition des vitesses angulaire …
 d AB 
 d AB 

 + ω1 / 0  AB = 
 + ω2 / 0  AB (1)
 dt 1
 dt 2
 d AB 
 d AB 

 
 + ω2 / 1  AB
 dt 1  dt 2
(2)
 d AB 
 d AB 

 + ω1 / 0  AB = 
 - ω2 / 1  AB+ ω2 / 0  AB
 dt 1
 dt 1
 ω1 / 0  AB + ω2 / 1  AB = ω2 / 0  AB

ω2 / 0  ω2 / 1 + ω1 / 0
72