TP TRIPLETS PYTHAGORICIENS FICHE 21

TP TRIPLETS PYTHAGORICIENS
FICHE 21 (solutions)
1) On trouve x  3 , y  4 , z  5 ; x  5 , y  12 , z  13 et x  6 , y  8 , z  10 .
2) Il suffit de diviser les deux membres par d 2 . La réciproque est que si ( x ; y ; z ) est une solution, et d un
entier naturel non nul, alors ( xd ; yd ; zd ) en est une autre.
3) a) Supposons par exemple que y et z ne soient pas étrangers ; ils ont donc un diviseur commun, donc un


diviseur commun premier p. z  pz  et y  py . On obtient donc : x 2  p 2 z  2  y  2 . D'après une des
conséquences du théorème de Gauss, x est divisible par p. Le triplet ( x ; y ; z ) ne serait donc pas primitif.
b) Si x et y sont impairs, alors x 2  y 2 serait pair, et donc z doit être pair.
c) Si deux entiers sont pairs, cela contredit a).
Il y a donc un unique nombre pair parmi les trois.
d) Si c'était z le nombre pair et x et y les impairs : x  2x  1, y  2 y   1 et z  2 z  .
x 2  y 2  z 2 donne : 2 x  12  2 y   12  4 x 2  4 x  4 y  2  4 y   2  4 z  2 . Ceci est impossible. Le
nombre pair est donc x ou y.
4) a) Supposons que ( x ; y ; z ) soit un triplet pythagoricien primitif, avec x pair.
2
x
 x
 z  y  z  y 
De x 2  y 2  z 2 on tire facilement    

 . Puisque x est pair et y et z sont impairs ,
2
2
 2  2 
z y zy
,
sont bien des entiers naturels.
2
2
z y
zy
z y
zy
 pk1 et
 pk 2 , d'où : z  pk1  k 2 
Si
et
avaient un facteur premier commun p :
2
2
2
2
et y  pk1  k 2  . Le triplet ne serait donc pas primitif.
x
x
 z  y  z  y 
Si la décomposition de est  p1a1 p 2 a 2  p k a k , la décomposition de 

 est
2
2
 2  2 
z y
zy
p12a1 p 2 2a 2  p k 2a k . Puisque
et
sont premiers entre eux, les nombres premiers intervenants
2
2
z y
zy
dans leurs décompositions forment deux ensembles disjoints.
et
sont donc deux carrés
2
2
z y 2 zy
u2 
,v 
avec 0  v  u .
2
2
On en tire facilement : x  2uv , y  u 2  v 2 et z  u 2  v 2 .
Si u et v étaient de même parité, z  u 2  v 2 serait pair, ce qui n'est pas le cas.
Si u et v avaient un diviseur p commun, alors y  u 2  v 2 et z  u 2  v 2 auraient p 2 comme diviseur
commun, or ils sont étrangers.
5) a) Vérification facile de (1). Il reste à montrer par exemple que y et z sont étrangers.
y et z sont tous les deux impairs puisque u et v sont de parités différentes. Si p était un nombre premier
impair, diviseur commun de y et de z, on pourrait écrire : y  py  , z  pz  d'où 2u 2  p( y   z ) et
2v 2  p( y   z ) et p divise 2u 2 et 2v 2 . D'après le théorème de Gauss, p doit diviser u et v contrairement à
l'hypothèse que u et v sont étrangers.


b) D'après les questions précédentes les triplets primitifs sont donc de la forme : 2uv ; u 2  v 2 ; u 2  v 2 ou
 u 2  v 2 ; 2uv ; u 2  v 2  avec u et v deux entiers premiers entre eux, de parité différente et tels que
0 v u.
De façon générale, les triplets pythagoriciens sont donc de la forme : 2duv ; d u 2  v 2  ; d u 2  v 2  ou
 d u 2  v 2 ; 2duv ; d u 2  v 2  avec u et v deux entiers premiers entre eux, de parité différente et tels que
0  v  u et d  1entier.
6) On trouve les triplets primitifs suivants (avec x pair) :
(4 ; 3 ; 5) ; (8 ; 15 ; 17) ; (12 ; 35 ; 37) ; (12 ; 5 ; 13) ; (20 ; 21 ; 29) ; (28 ; 45 ; 53)
(24 ; 7 ; 25) ; (40 ; 9 ; 41) ; (56 ; 33 ; 65) ; (60 ; 11 ; 61) ; (84 ; 13 ; 85).