TP TRIPLETS PYTHAGORICIENS FICHE 21

TP TRIPLETS PYTHAGORICIENS FICHE 21 (solutions)
1) On trouve
3x
,
4y
,
5z
;
5x
,
12y
,
13z
et
6x
,
8y
,
10z
.
2) Il suffit de diviser les deux membres par
2
d
. La réciproque est que si
);;( zyx
est une solution, et d un
entier naturel non nul, alors
);;( zdydxd
en est une autre.
3) a) Supposons par exemple que y et z ne soient pas étrangers ; ils ont donc un diviseur commun, donc un
diviseur commun premier p.
zpz 
et
.ypy 
On obtient donc :
2222 yzpx 
. D'après une des
conséquences du théorème de Gauss, x est divisible par p. Le triplet
);;( zyx
ne serait donc pas primitif.
b) Si x et y sont impairs, alors
22 yx 
serait pair, et donc z doit être pair.
c) Si deux entiers sont pairs, cela contredit a).
Il y a donc un unique nombre pair parmi les trois.
d) Si c'était z le nombre pair et x et y les impairs :
12  xx
,
12  yy
et
zz  2
.
222 zyx 
donne :
222
22 4244441212 zyyxxyx 
. Ceci est impossible. Le
nombre pair est donc x ou y.
4) a) Supposons que
);;( zyx
soit un triplet pythagoricien primitif, avec x pair.
De
222 zyx 
on tire facilement
222
2yzyzx
. Puisque x est pair et y et z sont impairs
2
x
,
2yz 
,
2yz 
sont bien des entiers naturels.
Si
2yz 
et
2yz 
avaient un facteur premier commun p :
1
2pk
yz 
et
2
2pk
yz 
, d'où :
21 kkpz 
et
21 kkpy 
. Le triplet ne serait donc pas primitif.
Si la décomposition de
2
x
est
k
a
k
aa ppp
x
21 21
2
, la décomposition de
22 yzyz
est
k
a
k
aa ppp 22
2
2
121 
. Puisque
2yz 
et
2yz 
sont premiers entre eux, les nombres premiers intervenants
dans leurs décompositions forment deux ensembles disjoints.
2yz 
et
2yz 
sont donc deux carrés
2
2yz
u
,
2
2yz
v
avec
uv 0
.
On en tire facilement :
uvx2
,
22 vuy 
et
22 vuz 
.
Si u et v étaient de même parité,
22 vuz 
serait pair, ce qui n'est pas le cas.
Si u et v avaient un diviseur p commun, alors
22 vuy 
et
22 vuz 
auraient
2
p
comme diviseur
commun, or ils sont étrangers.
5) a) Vérification facile de (1). Il reste à montrer par exemple que y et z sont étrangers.
y et z sont tous les deux impairs puisque u et v sont de parités différentes. Si p était un nombre premier
impair, diviseur commun de y et de z, on pourrait écrire :
ypy 
,
zpz 
d'où
)(2 2zypu 
et
)(2 2zypv 
et p divise
2
2u
et
2
2v
. D'après le théorème de Gauss, p doit diviser u et v contrairement à
l'hypothèse que u et v sont étrangers.

b) D'après les questions précédentes les triplets primitifs sont donc de la forme :
2222 ;;2 vuvuuv 
ou
2222 ;2; vuuvvu 
avec u et v deux entiers premiers entre eux, de parité différente et tels que
uv 0
.
De façon générale, les triplets pythagoriciens sont donc de la forme :
2222 ;;2 vudvudduv 
ou
2222 ;2; vudduvvud 
avec u et v deux entiers premiers entre eux, de parité différente et tels que
uv 0
et
1d
entier.
6) On trouve les triplets primitifs suivants (avec x pair) :
(4 ; 3 ; 5) ; (8 ; 15 ; 17) ; (12 ; 35 ; 37) ; (12 ; 5 ; 13) ; (20 ; 21 ; 29) ; (28 ; 45 ; 53)
(24 ; 7 ; 25) ; (40 ; 9 ; 41) ; (56 ; 33 ; 65) ; (60 ; 11 ; 61) ; (84 ; 13 ; 85).