Examen partiel

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE 3M245 – Probabilités Élémentaires Année 2015–16
Examen partiel du 26 octobre 2015 (cours A)
1. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité et Xune variable aléatoire sur cet espace
suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0.
a) Donner la loi de Xet vérifier que c’est bien une loi de probabilité.
b) Soit Al’évènement {Xest pair}et Bl’évènement {Xest impair}. Montrer les
égalités suivantes :
P(A) + P(B) = 1
P(A)−P(B) = e−2λ
c) En déduire P(Xest pair)et P(X= 0|Xest pair).
2. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. On considère sur cet espace une variable
aléatoire réelle X,FXsa fonction de répartition, ainsi qu’une variable aléatoire Uuniforme
sur [0,1].
a) On suppose dans cette question que FXest strictement croissante et continue et
on notera F−1
Xson inverse.
i) Quel est l’ensemble de définition de F−1
X?
ii) Quelle loi suit la variable aléatoire Y=F−1
X(U)?
b) Application :
i) Rappeler l’expression de la fonction de répartition d’une variable exponentielle
de paramètre θ > 0.
ii) En déduire la loi de −1
θlog(U).
iii) Comment pourrait-on simuler une variable exponentielle de paramètre θà l’aide
d’une variable uniforme ?
3. La température sur une certaine planète est une variable aléatoire Tsuivant la loi
exponentielle de paramètre θ.
a) Quelle est la probabilité que la température Tsoit supérieure à t≥0?
b) Montrer que
P(T≥t+t0|T≥t0) = P(T≥t)∀t, t0≥0.
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4. On considère les performances successives d’un coureur au cours de l’année. Les
courses sont numérotées de 1 à ndans l’ordre chronologique. On peut représenter les
performances du coureur par une permutation Πde {1,· · · , n}, où Π(k)est le numéro de
course de sa k−ième meilleure performance de l’année. Par exemple, Π(n)est le numéro
de la course où l’athlète a réalisé son pire temps. À chaque fois qu’une performance est
meilleure que toutes celles qui précèdent, on dit que l’athlète bat son record.
a) Si on admet que l’athlète ne s’améliore pas au cours du temps, donner un espace de
probabilité correspondant à ce problème. On pourra prendre Ωl’espace de toutes
les permutations de {1,· · · , n}.
On cherche à calculer l’espérance du nombre Rnde fois où l’athlète a battu son
record.
b) Soit Akl’évènement réalisé si à la k−ième course l’athlète bat son record. Calculer
P(Ak).
c) Montrer que
Rn=
n
X
k=1
Ak
d) Calculer l’espérance de Rn.
e) Calculer limn→∞ E(Rn)/log(n).
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