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1. Activité 1
2. Expériences aléatoires et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Objectifs
PLAN
1. Activité 1
Modéliser une expérience aléatoire à l’aide
- Objectifs
de simulations d’échantillons de chiffres au
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience simulée
- Conclusion
hasard.
Déterminer la probabilité de réalisation d ’un
2. Expérience aléatoire
et modélisation
événement.
3. Activité 2
Connaître le langage des probabilités :
4. Probabilités
expérience aléatoire, univers, éventualité,
événement contraire.
PLAN
Enoncé
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
On lance une pièce de monnaie bien équilibrée.
On est en présence d’une expérience aléatoire.
On a deux possibilités : « pile » ou « face »
qui ne sont pas prévisibles à l ’avance .
Ces résultats sont appelés les éventualités.
L’ensemble de toutes les éventualités est appelé
l’univers des possibles noté E.
Quel est le nombre d’éventualités de E ? Une partie
de l’univers est aussi appelée un événement ou si
une unique éventualité événement élémentaire.
PLAN
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience
réelle
- Expérience simulée
- Conclusion
Expérience réelle avec une pièce
a) Réaliser l’expérience en lançant une pièce à
10 reprises. Regrouper les résultats sous la forme
d’un tableau.
Résultats possibles
Nombre de sorties
Fréquence empirique
Pile
Face
b) Comparer les différents résultats obtenus par les
élèves de la classe.
2. Expérience aléatoire
et modélisation
c) Regrouper les résultats obtenus par une moitié de la
classe, par l’autre moitié, puis par la classe entière.
d) Comparer les quatre tableaux (le tableau personnel,
3. Activité 2
4. Probabilités
les tableaux des deux moitiés de la classe et le tableau de
la classe entière).
Les résultats sont-ils conformes avec l’hypothèse
d’équilibre de la pièce émise au départ ?
On dit que les fréquences fluctuent.
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Une calculatrice dispose d’un " générateur de
nombres aléatoires ", c’est-à-dire d’un dispositif qui
fournit un nombre pris au hasard dans un intervalle
donné. On admet que chaque nombre de cet intervalle
a autant de chances d’être obtenu.
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Une calculatrice peut ainsi produire un nombre
de 14 chiffres de l’intervalle [0 ; 1[ .
Sur T I, grâce à la touche " rand " (pour random, " au
hasard " en anglais).
Les 10 premières décimales (resp. 14) sont affichées
par les calculatrices TI 82 (resp. pour TI 89).
(touches « MATH » « PRB » « RAND »
ou « MATH » « Probabilité» « nbrAleat() » ).
Sur CASIO, « OPT » « PROB » « RAN# ».
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
Question
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Déterminer la fréquence empirique d’apparition du
côté Pile de 100 lancers.
Utilisation de votre calculatrice
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Technique 1
On
partage
l’intervalle
.
[0 ; 1[ en deux
intervalles de même
amplitude :
- si l’on obtient un
nombre de l’intervalle
[0 ; ½[, cela revient à
obtenir Pile ;
- si l’on obtient un nombre de l’intervalle
[½; 1[, cela revient à obtenir Face.
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Technique 2
On partage l’ensemble des
chiffres affichés en deux
parties, par exemple :
les
chiffres
correspondent à Pile ;
pairs
- les chiffres impairs correspondent à Face.
Le tirage « RAND »ci-contre permet d’obtenir :
« Face, Pile, Face, Pile, Pile, Pile, Face, Pile, Pile,
Pile ».
La sortie d’un seul nombre aléatoire simule 10 lancers de
pièce.
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Technique 3
On combine plusieurs commandes de la calculatrice
ou du tableur. « rand » fournit un nombre décimal de
l’intervalle [0 ; 1[ , « 2 * rand » fournit un nombre décimal
de l’intervalle [0 ; 2[ , « 2 * rand + 1 » fournit un nombre x
de l’intervalle [1 ; 3[ .
En prenant la partie entière de " 2 * rand + 1 "
(notée " Int " sur la TI et la CASIO), on obtient alors un
nombre entier égal à 1 ou 2.
La commande " Int(2 * rand + 1) " SUR TI ou
« Int(2*Rand#+1) » sur CASIO permet donc de simuler le
jet d’une pièce.
PLAN
Expérience simulée avec une calculatrice
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Technique 4
Analyser le programme suivant et expliquer comment
il peut simuler le lancer d’une pièce.
Algorithme
entrer le nombre de lancers N
initialiser à 0 le nombre de Piles P
initialiser à 1 le nombre de lancers I
si le nombre aléatoire est inférieur à 0,5
ajouter 1 dans P
ajouter 1 au nombre de lancers
si le nombre de lancers est inférieur à N
continuer la boucle
P
sinon afficher
N
PLAN
Expérience simulée avec un tableur
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience
simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Utilisation du tableur
Expérience simulée avec un tableur
PLAN
1. Activité 1
00
19
00
17
00
15
00
13
00
11
0
90
0
70
0
0,53
0,52
0,51
0,5
0,49
0,48
0,47
0,46
0
0,48909
0,4875
0,48538
0,48429
0,49067
0,49625
0,49588
0,49889
0,5
0,4985
50
2. Expérience aléatoire
et modélisation
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
30
- Conclusion
0,51
0,52
0,5133
0,5075
0,494
0,4867
0,4957
0,495
0,5044
0,491
0
- Expérience
simulée
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
10
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
Résultats et conjecture
b) Sur un tableur, on a obtenu les résultats pour 2 000
3. Activité 2
4. Probabilités
lancers, avec un pas de 100 et la courbe ci-dessus.
Commenter ces résultats. Conjecturer le comportement
de la fréquence empirique de Pile lorsque le nombre de
lancers devient grand.
Quel nombre théorique obtient-on ?
PLAN
Conclusion :
Approche de la loi des grands nombres
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
Le nombre obtenu est appelé probabilité de
réalisation de l’événement A : « obtenir Pile ». On a :
P(A) = 0,5
La modélisation permet ainsi de choisir une loi de
probabilité selon « la loi des grands nombres »
Conclusion :
Précision des résultats
PLAN
1. Activité 1
- Objectifs
- Enoncé
- Expérience réelle
- Expérience simulée
- Conclusion
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
La fréquence obtenue est comprise entre 0,478
et 0,522 avec un niveau de confiance de 95 %.
On dit que l ’hypothèse de bon équilibre du dé
est au seuil de risque de 5 %.
Les formules permettant d ’obtenir la fourchette
pour une valeur p = 0,5 et un échantillon de taille n
avec un intervalle de confiance de 95% sont :
p  1,96
p(1  p)
 0,5  1,96 0,5  0,5  0,478
n
2000
4. Probabilités
p(1  p)
p  1,96
 0,5  1,96 0,5  0,5  0,522
n
2000
Loi des grands nombres
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience
aléatoire
et modélisation
- Loi des grands
nombres
- Définition
- Expérience
aléatoire, éventualités,
univers
- Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
Pour une expérience donnée, dans le modèle
défini par une loi de probabilité P, les distributions
des fréquences calculées sur des séries de taille n se
rapprochent de P quand n devient grand.
Définition
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience
aléatoire
et modélisation
- Loi des grands
nombres
- Définition
Définir une loi de probabilité sur l ’univers
E=
x1, x2, …, xn
, signifie associer à chacun
des éléments xi de E un réel pi vérifiant :
a)
0 < pi < 1
b)
p1 + p2 + … + pn = 1
- Expérience
aléatoire, éventualités,
univers
- Evénement
notation : pi = p(xi) = p( xi )
3. Activité 2
La probabilité d ’un événement A est la somme
des probabilités des événements élémentaires de A.
4. Probabilités
… Cf exemple
PLAN
Expérience aléatoire, éventualités, univers
1. Activité 1
2. Expérience
aléatoire
et modélisation
- Loi des grands
nombres
Lors d ’une expérience aléatoire, un résultat possible
est appelé une éventualité.
- Définition
- Expérience
aléatoire,
éventualités,
univers
- Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
L ’ensemble de toutes les éventualités est appelé
univers E (ensemble des cas possibles)
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience
aléatoire
et modélisation
- Loi des grands
nombres
- Définition
- Expérience
aléatoire, éventualités,
univers
- Evénement
3. Activité 2
4. Probabilités
Evénement
Un événement est une partie de l ’univers
E est l ’événement certain
est l ’événement impossible
L ’événement contraire d ’un événement A est
l ’ensemble des éventualités de E qui
n ’appartiennent pas à A, noté A
Objectifs
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs,
énoncé
- Questions (1 à 8)
4. Probabilités
Connaître le langage des probabilités :
intersection et réunion de deux événements,
événements incompatibles.
Calculer l ’espérance, la variance et l ’écart
type d ’une loi de probabilité (cas xi réels)
Enoncé
On tire au hasard une carte d’un jeu de 32
cartes.
Soit A, B et C les événements suivants :
A : « tirer un as »
B : « tirer une figure » (c’est à dire un roi,
une dame ou un valet)
C : « tirer un cœur »
Question 1
PLAN
1. Activité 1
Combien y a-t-il de résultats possibles au total ?
Combien y a-t-il de résultats dans les événements A,
B et C ?
2. Expérience aléatoire
et modélisation
Question 2
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
On note A
C l’événement A et C.
a) Nommer les éventualités des événements A
et B C.
b) Comment appelle-t-on l’événement A
B?
U
U
U
4. Probabilités
U
- Questions
(1 à 8)
C
Question 3
PLAN
1. Activité 1
Représenter l’ensemble des 32 tirages possibles dans
le diagramme suivant en précisant le nombre
d’éventualités de chaque plage :
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
E
C
- Objectifs, énoncé
- Questions
(1 à 8)
B
4. Probabilités
A
Question 4
PLAN
On note A U C l’événement A ou C. Expliciter par une
phrase l’événement A U C. Donner la liste de ses
éventualités.
1. Activité 1
Question 5
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
On note B l’événement constitué des tirages qui ne
réalisent pas B. Expliciter par une phrase ne
contenant pas de forme négative cet événement B.
Que peut-on dire de B par rapport à B ?
- Questions
(1 à 8)
Définir de même C. Donner la liste des
éventualités constituant chacun des événements
suivants : B
C
et B
C.
U
U
4. Probabilités
Question 6
Question 7
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire
et modélisation
a) Dans l’activité 1 on répète un grand nombre de
fois le tirage. La fréquence de l’événement A est de
0,125. Donner p(A). Vérifier qu ’il est égal au
quotient du nombre de cas favorables par le nombre
de cas possibles (loi de probabilité équirépartie).
b) Calculer la probabilité des événements suivants :
B, C, A
B, A C, A U C, C.
3. Activité 2
- Objectifs, énoncé
- Questions
(1 à 8)
4. Probabilités
Question 8
Conjecturer une relation liant :
a) p(A U C) et p(A), p(C), p(A
b) p(C ) et p(C).
C).
Equiprobabilité
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire
et modélisation
Si tous les événements élémentaires ont la même
probabilité, alors on dit qu ’il y a équiprobabilité. On a :
pi =
1
n
3. Activité 2
Si A événement de E alors :
4. Probabilités
- Equiprobabilité
- Définitions
- Théorèmes
- Espérance, variance
écart-type d ’une loi
de probabilité
Nombre de cas favorables à la réalisation de A
p(A) =
Nombre de cas possibles
Exemples : 1) jeu de pile ou face 2) dé à 6 faces non pipé
Remarque : on repère l ’équiprobabilité par « au hasard »,
par des boules « indiscernables au toucher », ou par « bien
équilibré »
Définitions
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité
- Définitions
- Incompatibilité
- Théorèmes
- Espérance, variance
écart-type d ’une loi
de probabilité
U
1. Activité 1
L ’événement A et B est formé des éventualités
appartenant à A ou à B , ou aux deux (A inter B).
(Cf exemple)
A
B
Si A et B sont deux événements n ’ayant aucune
éventualité commune, on dit qu ’ils sont
incompatibles (ou disjoints).
(Cf exemple)
A
B=
U
PLAN
L ’événement A ou B est formé des éventualités
appatenant à A ou à B (A union B).
(Cf exemple)
AUB
Théorèmes
PLAN
2. Expérience aléatoire
et modélisation
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité
- Définitions
- Théorèmes
- Espérance, variance
écart-type d ’une loi
de probabilité
Si A et B sont deux évènements de E, on a :
p ( A U B) = p(A) + p(B) - p (A
U
1. Activité 1
B)
Si A et B sont deux événements incompatibles, on a :
p (A U B) = p(A) + p(B)
Si A est l ’événement contraire de A, on a :
p (A) = 1 - p(A)
(… cf Exemple)
PLAN
1. Activité 1
2. Expérience aléatoire
et modélisation
Espérance, variance, écart-type d ’une loi de
probabilité (xi réel)
L’espérance d’une loi de probabilité est la moyenne
des xi pondérés par les pi :
n
E = p1x1 + p2x2 + … + pnxn =  pixi
i=1
3. Activité 2
4. Probabilités
- Equiprobabilité
- Définitions
- Théorèmes
- Espérance,
variance
écart-type d ’une
loi de probabilité
La variance est le réel positif :
V = pi (xi - E)2 + … + pn (xn - E)2
n
V =  pi (xi - E)2
i=1
L ’écart type est la racine carrée de la variance :
(Cf exemple)
 =V V
FI
N