Présentation

MATHÉMATIQUES
SERIE SCIENCES ET
TECHNOLOGIES DE LA GESTION
Statistique et Probabilités
Statistique et probabilités

Des programmes identiques en 1ère et en Terminale pour
toutes les spécialités.
Introduction des probabilités en s’appuyant sur des
simulations
« Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la
notion de probabilité, en s’appuyant sur les notions de fluctuation
d’échantillonnage et de simulation abordées dans la partie
statistique du programme de la classe de seconde pour souligner
les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence
d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand
nombre de fois. »

La calculatrice et le tableur : des outils à privilégier
« L’usage de la calculatrice ou d’un tableur permet d’enrichir le
champ des épreuves aléatoires simulées. »

STATISTIQUE
Niveau première

Étude de séries de données à une variable





Histogrammes, diagrammes en boîte, diagrammes en
secteurs ou en bâtons.
Tendance centrale - moyenne ( notamment à partir de
sous population)
- médiane
Dispersion :
- quartiles, déciles
- intervalle interquartile,intervalle interdécile.
- écart type
Rédiger l’interprétation d’un résultat ou d’un graphique
Tableaux croisés d’effectifs
Étude fréquentielle, notion de fréquence de A sachant B
Caractéristiques de
position et de dispersion
Moyenne + écart type
(Sensibles aux valeurs extrêmes)
ou
Médiane + écart interquartile
Calcul de la médiane et des
quartiles.
Dans un lycée, on a relevé
les pointures de trois groupes d’élèves :

Pour le groupe 1 : (15 élèves)
36_ 38_38_38_39_39_39_39_40_40_41_43_ 43_45_46

Pour le groupe 2 : (16 élèves)
35,5_36_36_36_37_37_37.5_38_38_38_38_39_41_41_42_42
•Pour le groupe 3 : (16 élèves)
35,5_36_36_36_37_37_37.5_37,5_38_38_38_39_41_41_42_42
Médiane = 37,75
La médiane n’est pas toujours une valeur de la série.
Les quartiles sont des valeurs de la série.
Exemple de calcul de Q3:
Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des
données y soient inférieures ou égales
36 38 38 38 39 39 39 39 40 40 41 43 43 45 46
0,75×15 = 11,25
Le troisième quartile est la 12ème valeur
Q3 = 43
Comparons ces valeurs à celles données par la
calculatrice et celles trouvées sur tableur:
35,5 36 36 36 37 37 37.5 38 38 38 38 39 41 41 42 42
Calcul à la main
Avec la
calculatrice
Avec un tableur
Quartile 1
36
36,5
36,5
Médiane
38
38
38
Quartile 3
39
40
39,5
Diagrammes en boîtes
calculatrice
site académique Euler (n°63)
tableur
Série 2
Série 1
35,5 36
min
38
39
Q1 me
42
43
46
Q3
max
Moyenne et écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes
Tableau des salaires en euro des employés d’une
entreprise au 31 -12- 02
A
898,93
F
1474,16
K
1665,49
Q
898,93
V
1 303,36
B
1883,54
G
1295,06
L
898,93
R
1 303,66
W
2 057,93
C
2 295,9
H
827,93
M
898,93
S
1 491,54
X
898,93
D
898,93
I
1146,08
N
947,2
T
898,93
Y
1 200,51
E
1099,44
J
1303,75
P
4 106,25
U
1 007,13
Z
1 303,36
1 200,51 €
le salaire moyen : 1 360,18 €
Le salaire médian :
écart interquartile :
574,9 €
s = 678,96 €
si on ne tient pas compte des salaires extrêmes :
1200,51 €
le salaire moyen = 1263,92 €
Le salaire médian :
écart interquartile :
574.9 €
s = 389,39 €
la moyenne et l’écart type sont sensibles aux valeurs extrêmes
Tableaux croisés d’effectifs - Etude fréquentielle
Répartition des familles (en milliers) selon l’âge de la femme
En bleu les marges.
Familles
traditionnelles
Familles
monoparentales
Familles
recomposées.
Total
712
197
92
1 001
De 30 à 39
ans
2 460
558
326
3 344
De 40 à 49
ans
2 460
656
255
3 371
Plus de 50
ans
842
229
35
1 106
6 474
1 640
708
8 822
Effectifs
Moins de
30ans
Total
Fréquence conjointe :
Fréquence des familles monoparentales où la femme a un âge compris
entre 40 et 49 ans
Familles
traditionnelles
Familles
monoparentales
Familles
recomposées
Total
Moins de 30
ans
712
197
92
1 001
De 30 à 39
ans
2 460
558
326
3 344
De 40 à 49
ans
2 46O
656
255
3 371
Plus de 50 ans
842
229
35
1 106
Total
6 474
1 640
708
8 822
656 / 8 822
soit 8%
Les familles monoparentales où la femme a un âge compris
entre 40 et 49 ans représentent 8% des familles.
Tableau des fréquences conjointes
Familles
traditionnelles
Familles
monoparentales
Familles
recomposées.
Total
Moins de 30
ans
De 30 à 39
ans
De 40 à 49
ans
8
Plus de 50
ans
Total
100
Fréquences marginales
Exemple : fréquence des familles monoparentales
Familles
traditionnelles
Familles
monoparentales
Familles
recomposées
Total
Moins de 30
ans
712
197
92
1 001
De 30 à 39
ans
2 460
558
326
3 344
De 40 à 49
ans
2 460
656
255
3 371
842
229
35
1 106
6 474
1 640
708
8 822
Plus de 50 ans
Total
1 640 / 8 822 = 0,186 soit 18,6%
Les familles monoparentales représentent 18,6% des familles
Fréquences conditionnelles
La fréquence des femmes de moins de 30 ans parmi les
familles traditionnelles :
Familles
Traditionnelles
Familles
Monoparentales
Familles
Recomposées
Total
712
197
92
1 001
De 30 à 39
ans
2 460
558
326
3 344
De 40 à 49
ans
2 460
656
255
3 371
Plus de 50
ans
842
229
35
1 106
6 474
1 640
708
8 822
Moins de 30
ans A
Total
fT (A) = 712 / 6 474 soit 11%
Dans les familles traditionnelles 11 % des femmes ont
moins de 30 ans
Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes
l’ordre des fréquences conjointes n’est pas le même
que celui des fréquences conditionnelles
Les familles où la femme a moins de 30 ans sont plus nombreuses: chez
les familles traditionnelles que chez les familles monoparentales pourtant
la proportion des familles où la femme a moins de 30 ans est plus petite
chez les traditionnelles .
Familles
traditionnelles
Familles
monoparentales
Familles
recomposées
Moins de 30 ans
11%
12%
13%
De 30 à 39 ans
38%
34%
46%
De 40 à 49 ans
38%
40%
36%
Plus de 50 ans
13%
14%
5%
Total
100%
100%
100%
Niveau terminale


Nuage de points, point moyen.
Ajustement affine réalisé :
- soit par une méthode graphique
- soit par la méthode des moindres carrés
à l’aide de la calculatrice ou du tableur

Séries chronologiques
Comparaison des droites obtenues par la méthode des
moindres carrés et par la méthode de Mayer.
Utilisation d’un tableur
(voir fichier dte_mayer.xls)
Droite d’ajustement : méthode des moindres carrés
un nuage de points Mi (xi ; yi ) et une droite D d’équation
y = ax +b
Pi (xi ; axi + b) le point de D de même abscisse xi que le point Mi
M5
P6
M4
P5
M1
P3
P4
M6
P2
M3
P1
M2
o
La droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés
est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs
observées yi et celles du modèle : axi + b , soit la quantité: Σ MiPi²
MATHÉMATIQUES
SERIE SCIENCES ET
TECHNOLOGIES DE LA GESTION
Probabilités
Probabilités
En Première :




Épreuves, événements élémentaires ou issues, univers,
répartition de probabilité.
Connaître les symboles ,  et la notation A pour
l’événement contraire.
Calculer la probabilité d’événements : Faire le lien avec les
propriétés des fréquences.
Expérimentation et simulation :
Comparer une fréquence observée à une probabilité
théorique. Dans des situations élémentaires, reconnaître et
réinvestir des situations de probabilités issues de différents
types de tirages aléatoires.
Introduire la notion de
probabilité en 1ère STG
« Pour étudier une épreuve aléatoire, on a
besoin d'un modèle, qui précise d'une part les
issues (on les suppose ici en nombre fini),
d'autre part la distribution de probabilité
entre ces issues. »
Daniel Schwartz, « Le Jeu de la science et du hasard, La statistique
et le vivant » chez Flammarion
En 1ère STG, il s’agit d’un premier contact avec les
probabilités. Cette partie du programme doit constituer un
moment important de la formation en classe de première et il
est nécessaire que les élèves disposent d’un temps suffisant
pour se familiariser avec cette introduction aux probabilités.
Introduire la notion de
probabilité en 1ère STG
 Introduction de la notion de probabilité par une
approche statistique simulée.
 Validation d’un modèle par la confrontation avec une
simulation.

Dans la continuité du travail effectué en 2nde,
intervient alors :
- la notion de fluctuation d’échantillonnage,
- l’analyse des trois approches d’un problème :
« Réaliser l’expérience », « Utiliser un modèle
mathématique », « Simuler l’expérience »,
- la relative stabilité des fréquences lorsque
l’expérience est répétée un grand nombre de fois.
Introduire la notion de probabilité en
1ère STG : Quelques exemples

A propos de « pile ou face »
1. Approche théorique
On peut considérer qu'une pièce est parfaite si les deux
résultats « pile » et « face » sont équiprobables. On a alors
une chance sur deux d'obtenir « pile » et une chance sur deux
d'obtenir « face ».
2. Contrôle statistique
Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un
tableur.
Pile – Face (voir fichier pf.xls)
Introduire la notion de probabilité
en 1ère STG : Quelques exemples

A propos de dés
L’expérience consiste à lancer deux dés « équilibrés » et à considérer
la somme des deux faces supérieures.
Estimer le nombre de chances de gagner suivant des règles fixées.
1. Approche théorique


Introduction d’arbres ou de tableaux
Définition d’une loi de probabilité
Introduire la notion de probabilité
en 1ère STG : Quelques exemples
Somme
obtenue
D’après le tableau ci-dessus ou l’arbre,
il se conçoit que « la somme 7 » ait « 6
chances sur 36 » d’être obtenue.
Introduire la notion de probabilité
en 1ère STG : Quelques exemples
2. Contrôle statistique
Simulation : « à la main », avec la calculatrice, avec un tableur.
3. Probabilité d’évènements
Règle du jeu : « Le joueur gagne si la somme obtenue est un
multiple de 3 »
Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?

La probabilité d'un événement est la somme des
probabilités de ses issues.
Somme de deux dés
(voir fichier somme.xls)
Probabilités
En Terminale :

Conditionnement, probabilité, sachant B, de A :
PB ( A) 
P( A  B)
si P ( B )  0
P( B)
Déterminer P(AB) connaissant PB(A) et P(B).
Déterminer PB(A) dans des cas simples : expériences aléatoires
définies à partir de tableaux croisés d’effectifs, cas de deux tirages
successifs.
Utiliser les tableaux et les arbres de probabilité pour calculer des
probabilités et résoudre des problèmes.

Indépendance de deux événements :
Caractériser l’indépendance par chacune des égalités :
PB ( A)  P( A)
P( A  B)  P( A) P( B)
Démontrer ou utiliser l’indépendance de deux événements.
Approche de la notion de
probabilité conditionnelle
Le personnel d’une entreprise est composé d’hommes
et de femmes qui sont cadres ou ouvriers.
Fréquences
conjointes
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,10
0,30
0,40
Hommes
0,20
0,40
0,60
Total
0,30
0,70
1
Peut-on calculer les fréquences conditionnelles ?
f H et C 
fC H  
f C 
f H C  
f H et C 
f H 
Fréquences
conditionnelles
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,25
0,75
1
Hommes
0,33
0,67
1
Total
0,30
0,70
1
Fréquences
conditionnelles
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,33
0,43
0,40
Hommes
0,67
0,57
0,60
Total
1
1
1
25% des femmes et 33% des hommes sont cadres
33% des cadres et 43% des ouvriers sont des femmes
On dispose d’un tableau de fréquences
conditionnelles.
Peut-on calculer les fréquences conjointes ?
Fréquences
conditionnelles
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,25
0,125
0,15
Hommes
0,75
0,875
0,85
Total
1
1
1
Fréquences
conjointes
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,25.x
0,125.(1  x)
0,15
Hommes
0,75.x
0,875 .(1  x)
0,85
Total
x
1x
1,00
0,15 =0,25.x + 0,125.(1x)
0,125x = 0,025
x = 0,2
x = 0,2
Fréquences
conjointes
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,25.x
=0,05
0,125.(1  x)
=0,1
0,15
Hommes
0,75.x
=0,15
0,875 .(1  x)
=0,7
0,85
Total
x = 0,2
1  x = 0,8
1,00
Fréquences
conjointes
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,030
0,120
0,150
Hommes
0,170
0,680
0,850
Total
0,200
0,800
1
Fréquences
conditionnelles
Cadres
Ouvriers
Total
Femmes
0,150
0,150
0,150
Hommes
0,850
0,850
0,850
Total
1
1
1
fC(F)=f(F) 
f(F et C) = f(F)f(C)
Effet de structure
Dans un même lycée :
Classe B
Classe A
Taille
moyenne
Effectif
Garçons
1,73
32
28
Filles
1,66
8
40
Total
1,72
40
Taille
moyenne
Effectif
Garçons
1,75
12
Filles
1,68
Total
1,70
Taille moyenne
12 1,75  28 1,68
Classe A : x A 
 1,70
40
32 1,73  8 1,66
Classe B : x B 
 1,72
40
Effet de structure
Dans un même lycée :
Classe A
Classe B
Taille
moyenne
Fréquence
Garçons
1,73
t
28
Filles
1,66
1 t
40
Total
1,72
1
Taille
moyenne
Effectif
Garçons
1,75
12
Filles
1,68
Total
1,70
Taille moyenne
Classe A :
xA
xA
12  1,75  28  1,68

40
 1,70
Classe B :
1,72  t  1,73  1  t   1,66
1,72  7t  1,66
6
t
7