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Le cosinus d’un
angle aigu
Vocabulaire
Dans un triangle rectangle,
chaque angle aigu est déterminé par 2 côtés :
l’hypoténuse qui est le côté opposé à l’angle droit
le côté adjacent qui est l’autre côté de l’angle
A
le côté adjacent
à l’angle C
C
B
l’hypoténuse
Voici 3 triangles rectangles dont
Superposons
triangles différentes
rectangles
les côtés sontces
de 3longueurs
et dont les angles sont de même mesure.
Dans le triangle ABC,
les droites (AB) et (ZY) sont parallèles,
le théorème
de Thalès
on a
Les droites d’après
(AB), (RV)
et (ZY) sont
perpendiculaires
à
CY
CA
CZ elles
CZ
la droite (AC),
sont
donc
parallèles
entre
elles.
ou
encore
=
=
CA
CY
CB
CB
A
B
On a donc
R
Z
C
V CZ
CR = CA
CY = CV CB
Y
Dans le triangle RVC,
Dans chacun des triangles rectangles
les droites (RV) et (ZY) sont parallèles,
le rapport du côté adjacent par
d’après le théorème de Thalès on a
l’hypoténuse
est
le
même,
CZ = CY ou encore CZ = CR
c’est
C.
CRle cosinus
CV de l’angleCY
CV
Définition
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d’un angle aigu C est égal au quotient :
longueur du côté adjacent de l’angle C
longueur de l’hypoténuse
On le note cos C.
Z
Y
Dans le triangle rectangle CZY
C
cos C = CZ
CY
leçon
Utilisation de la calculatrice
La calculatrice peut donner la valeur du cosinus
d’un angle connaissant la mesure de cet angle.
On utilise la touche cos
cos 13
0,974370064
Pour trouver le cosinus de
l’angle mesurant 13°, on tape :
cos
1
3
=
On arrondit au millième :
cos13° = 0,974
C
Calculer une valeur arrondie
à 0,1 cm près de BC
?
30°
A
8 cm
B
Dans le triangle ABC rectangle en A
cos B = BA
BC
On écrit la formule du cosinus,
AB est la longueur du côté adjacent
BC est la longueur de l’hypoténuse
8
On remplace les lettres par les valeurs connues
cos 30° =
BC
On utilise le produit en croix pour isoler BC
BC = 8
cos30°
BC = 9,2 cm
On utilise la calculatrice pour effectuer le
quotient et on arrondit à 0,1 près.
leçon
C
Calculer une valeur arrondie
à 0,1 cm près de AB
8 cm
30°
A
?
B
Dans le triangle ABC rectangle en A
cos B = BA
BC
On écrit la formule du cosinus,
AB est la longueur du côté adjacent
BC est la longueur de l’hypoténuse
BA
On remplace les lettres par les valeurs connues
cos 30° =
8
BA = 8×cos30° On utilise le produit en croix pour isoler AB
BA = 6,9 cm
On utilise la calculatrice pour effectuer le
produit et on arrondit à 0,1 près.
leçon
Utilisation de la calculatrice
La calculatrice peut donner la mesure d’un angle
connaissant son cosinus.
Pour trouver la mesure en degrés de l’angle Â
connaissant son cosinus 0,654
shift
ou
on tape :
2nde
cos
0,654
=
ou
inv
Variable selon la calculatrice utilisée
on lit
49,15613192
on écrit  = 49°
C
Calculer une valeur arrondie
au degrés près de l’angle B
7 cm
A
6 cm
?
B
Dans le triangle ABC rectangle en A
cos B = BA
BC
On écrit la formule du cosinus,
AB est la longueur du côté adjacent
BC est la longueur de l’hypoténuse
cos B = 6
7
On remplace les lettres par les valeurs connues
cos B = 0,85714257 On calcule le quotient
B = 31°
On utilise la calculatrice pour trouver la valeur
de l’angle et on arrondit au degrés près. leçon
EXERCICES
C
?
ex1
25°
A
Dans le triangle ABC rectangle en A
BA
cos B =
BC
cos 25° = 9
BC
BC = 9
cos25°
BC = 9,9 cm
9 cm
B
ex2
R
?
40°
C
7 cm
P
Dans le triangle CPR rectangle en C
CP
cos P =
PR
cos 40° = 7
PR
PR = 7
cos40°
PR = 9,1 cm
retour
Ex 3
C
8 cm
36°
A
Dans le triangle ABC rectangle en A
cos B = BA
BC
BA
cos 36° =
8
BA = 8×cos36°
BA = 6,5 cm
?
B
ex4
E
10 cm
38°
D
Dans le triangle ABC rectangle en A
?
L
cos L = LD
LE
LD
cos 38° =
10
LD = 10×cos38°
LD = 7,9 cm
retour
ex5
C
9 cm
A
Dans le triangle ABC rectangle en A
cos B = BA
BC
cos B = 5
9
cos B = 0,5555555555
B = 56°
5 cm
?
B
ex6
A
6 cm
T
Dans le triangle OAT rectangle en T
cos O = OT
OA
cos O = 2
6
cos O = 0,333333333
O = 71°
2 cm
?
O