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ASI 3
Méthodes numériques
pour l’ingénieur
Interpolation
f(x)
1
Approximation de fonctions
• Soit une fonction f (inconnue explicitement)
– connue seulement en certains points x0,x1…xn
– ou évaluable par un calcul coûteux.
• Principe :
– représenter f par une fonction simple, facile à évaluer
• Problème :
– il existe une infinité de solutions !
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Approximation de fonctions
• Il faut se restreindre à une famille de fonctions
– polynômes,
– exponentielles,
– fonctions trigonométriques…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
3
Quelques méthodes d'approximation
• Interpolation polynomiale
– polynômes de degré au plus n
• polynômes de Lagrange
• différences finies de Newton
• Interpolation par splines
– polynômes par morceaux
• Interpolation d'Hermite
– informations sur les dérivées de la fonction à approcher
• ...voir le groupe de TT…
4
Théorème d’approximation de Weierstrass
soit f une fonction définie et continue sur l' intervalle a, b
Alors, e  0, il existe un polynôme P( x), définit sur a, b tel que :
f ( x)  P( x)  e
 x  a, b
f (x)  e
P(x)
P(x)
f(x)
f (x)
f(x)+ e
f (x)  e
f(x)-e
plus e , est petit,
plus l' ordre du polynome est grand
ab
ab
Interpolation :
n  1 points, n  1 contraintes, n  1 équations, n  1 inconnues : ordre n5
Interpolation polynomiale
• Le problème : les données, la solution recherchée
 x0 , y0  f ( x0 ) ,...,  xi , yi  f ( xi ) ,...,  xi , yi  f ( xi ) 
P( x) tel que P( xi )  f ( xi ), i  0, n
• mauvaise nsolution : résoudre le système linéaire
P( x)   ai x i  Va  y
V : matrice de Vandermond e
i 0
• la combinaison linéaire de polynômes est un polynôme
P ( x)  y0 P0 ( x)  ...  yi Pi ( x)  yn Pn ( x)
tel que Pi ( xi )  1 et Pi ( x j )  0
ji
ainsi P ( xi )  y0 P0 ( xi )  ...  yi Pi ( xi )  yn Pn ( xi )



0
1
0
6
Interpolation polynomiale : Lagrange
• Théorème
– Soient n+1 points distincts xi réels et n+1 réels yi,
il existe un unique polynôme p  Pn tel que
p(xi) = yi pour i = 0 à n
démonstration
– Construction de p :
n
p( x )   y i Li ( x )
i 0
x  x 
L (x)
x  x 
n
avec Li polynôme de Lagrange
– Propriétés de Li
j
i
j 0
j i
i
j
L est un polynôme d’ordre n
• Li(xi)=1
• Li(xj)=0 (j  i)
7
Lagrange : exemple n°1
• Exemple avec n=1
– on connaît 2 points (x0,y0) et (x1,y1)
– on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1)
qui passe par les 2 points :
• y0 = a x0 + b
• y1 = a x1 + b
–
a = (y0 - y1) / (x0 - x1)
b = (x0 y1 - x1 y0) / (x0 - x1)
y1
y0
y0  y1
x0 y 1  x 1 y 0
y
x
x0  x1
x0  x1
x0
x1
x  x0
x  x0
x  x1
x  x1
y  y0
 y1
 y0
 y1
x0  x1
x0  x 1
x0  x1
x1  x0
L0(x)
L1(x)
8
Lagrange : exemple n°2
• Exemple avec n=2
– on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17)
– polynômes de Lagrange associés :

x x  2 
x  2 x  4 
x x  4 
L2 ( x ) 
L0 ( x ) 
L1 ( x ) 
8
8
4
-
0
2
4
0
2
4
0
2
4
9
Lagrange : exemple n°2
– calcul du polynôme d'interpolation
30
25
• p(x)=L0(x) + 5 L1(x) + 17 L2(x)
20
15
10
5
0
-1
0
1
2
3
4
5
• en simplifiant, on trouve p(x)=x2+1
10
Lagrange : l’algorithme
Fonction y = lagrange(x,xi,yi)
pour i  1 jusqu' à n
pour j  1 jusqu' à n, j  i;
x  xi ( j )
l l*
xi (i )  xi ( j )
fait
y  y  yi * l
fait
Complexité du calcul : n2
11
Lagrange : exemple n°3
• Exemple avec n=2
(fonction à approcher y=ex)
– on connaît 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4,54.5982)
– Polynôme d'interpolation
• p(x) =L0(x) + 7.3891 L1(x) + 54.5982 L2(x)
60
50
40
30
20
10
0
-10
-1
0
1
2
3
4
5
12
Lagrange : exemple n°3
– Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-1
0
1
2
3
4
5
13
Lagrange : erreur d'interpolation
• Théorème :
– si f est n+1 dérivable sur [a,b],  x  [a,b], notons :
• I le plus petit intervalle fermé contenant x et les xi
• (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)
( n 1 )
– alors, il existe   I tel que
ex  
   x 
n  1!
f
– NB :  dépend de x
• Utilité = on contrôle l’erreur d’approximation donc
la qualité de l’approximation
.
14
Lagrange : choix de n
• Supposons que l'on possède un nb élevé de points pour
approcher f … faut-il tous les utiliser ?
– (calculs lourds)
• Méthode de Neville :
– on augmente progressivement n
– on calcule des Li de manière récursive
– on arrête dès que l'erreur est inférieure à un seuil
(d’ou l’utilité du calcul de l’erreur)
15
La méthode de Neuville
• Définition
Pm1 ,m2 ,..., mk ( x) polynôme de Lagrange calculé sur
•
xm , ym , xm , ym ,..., xm , ym 
Théorème
x  x j P0,1,..., j 1, j 1,..., n ( x)   x  xi P0,1,...,i1,i1,..., n ( x)
P( x) 
les k points
1
1
2
2
k
k
xi  x j
• Démonstration
P( xi )  f ( xi ); P( x j )  f ( x j ) et P( xk )  f ( xk )
• Application systématique
x0
x1
x2
x3
P0  Q0,0
P1  Q1,0
P2  Q2,0
P3  Q3,0
P0,1  Q1,1
P1, 2  Q2,1
P2,3  Q3,1
Qi , j  Pi  j ,i  j 1,..., i 1,i
P0,1, 2  Q2, 2
P1, 2,3  Q3, 2
P0,1, 2, 4  Q3,3
16
L’algorithme de Neuville
Fonction y = Neuville(x,xi,yi)
pour i  1 jusqu' à n
Q(i,0)  yi (i )
fait
pour i  1 jusqu' à n
pour j  1 jusqu' à i
 x  xi (i  j ) Q(i,j  1 )   x  xi (i) Q(i  1,j  1 )
Q(i,j) 
xi (i )  xi (i  j )
fait
y  Q ( n, n )
fait
Complexité du calcul : n2
17
Interpolation polynomiale : Newton
• Polynômes de Newton :
– base = {1, (x-x0), (x-x0)(x-x1), …, (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)}
– on peut ré-écrire p(x) :
p(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1)+…+ an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
– calcul des ak : méthode des différences divisées
18
Newton : différences divisées
• Définition :
– Soit une fonction f dont on connaît les valeurs en des points
distincts a, b, c, …
– On appelle différence divisée d’ordre 0, 1, 2,...,n
les expressions définies par récurrence sur l’ordre k :
– k=0
f [a] = f (a)
– k=1
f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a )
– k=2
f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b )
– …
f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a )
aX, bX, ab
19
Newton : différences divisées
• Théorèmes :
– détermination des coefficients de p(x) dans la base de
Newton :
f [x0, x1,…, xk] = ak
avec k = 0 … n
– erreur d'interpolation :
e(x) = f [x0, x1,…, xn, x] (x)
20
Newton : différences divisées
• Calcul pratique des coefficients :
a0
x0
f [x0]
a1
x1 f [x1]
x2 f [x2]
… …
… …
f [x0, x1]
f [x1, x2]
…
…
f [x0, x1, x2]
...
f [xn-3, xn-2, xn-1]
xn
f [xn-1, xn]
f [xn-2, xn-1, xn] …
f [xn]
a2
an
f [x0, ..., xn]
21
Newton : exemple
• (ex. n°2) : n=2
(0,1), (2,5) et (4,17)
a
0
0
f [x0]=1
2
f [x1]=5
4
f [x2]=17
a1
f [x0, x1]
=(1-5)/(0-2)=2
f [x1, x2]
=(5-17)/(2-4)=6
p(x)=1 + 2x + x(x-2)
f [x0, x1, x2]
a2
= (2-6)/(0-4)=1
(et on retombe sur p(x) = 1 + x2)
22
Newton : l’algorithme
Fonction a = Newton(xi,yi)
pour i  1 jusqu' à n
F (i,0)  yi (i )
fait
pour i  1 jusqu' à n
pour j  1 jusqu' à i
F(i,j  1 )  F(i  1,j  1 )
F(i,j) 
xi (i )  xi (i  j )
fait
fait
pour i  1 jusqu' à n
a (i)  F (n, i )
fait
Complexité du calcul : n2
23
A bas les polynômes
• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10
avec 9 points
– entre les points, le polynôme fait ce qu'il veut…
et plus son degré est élevé plus il est apte à osciller !
6
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
24
Interpolation par splines cubiques
• Principe :
– on approche la courbe par morceaux (localement)
– on prend des polynômes de degré faible (3) pour éviter les
oscillations
25
Splines cubiques : définition
• Définition :
– On appelle spline cubique d’interpolation une fonction notée
g, qui vérifie les propriétés suivantes :
• g  C2[a;b] (g est deux fois continûment dérivable),
• g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de degré
inférieur ou égal à 3,
• g(xi) = yi pour i = 0 … n
• Remarque :
– Il faut des conditions supplémentaires pour définir la spline
d’interpolation de façon unique
– Ex. de conditions supplémentaires :
• g"(a) = g"(b) = 0
spline naturelle.
26
Splines : illustration
P2(x)=a2 (x-x2) 3+b2 (x-x2) 2+c2 (x-x2) +d2
P1(x)=a1x3+b1x2+c1x+d1
=a1 (x-x1)3+b1 (x-x1) 2+c1 (x-x1) +d1
27
Splines cubiques : détermination
• Détermination de la spline d’interpolation
– g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de
degré inférieur ou égal à 3
 g" est de degré 1 et est déterminé par 2 valeurs:
• mi = g"(xi) et mi+1 = g"(xi+1)
(moment au noeud n°i)
– Notations :
• hi = xi+1 - xi
pour i = 0 … n-1
• di= [xi; xi+1]
• gi(x) le polynôme de degré 3 qui coïncide avec g sur l’intervalle di
28
Splines cubiques : détermination
– g"i(x) est linéaire :
•  x  di
• on intègre
(ai constante)
• on continue
(bi constante)
– gi(xi) = yi
– gi(xi+1) = yi+1
x  xi
x x
 mi i 1
hi
hi


x  xi 2
xi 1  x 2
g i x   mi 1
 mi
 ai
2hi
2hi
g ix   mi 1
g i x   mi 1
x  xi 3  m xi 1  x3  a x  x   b
i
6 hi
mi hi 2
yi 
 bi
6
1
yi 1
6 hi
i
mi 1hi 2

 ai hi  bi
6
i
i
2
29
Splines cubiques : détermination
– g'(x) est continue :
– 1 et 2
ai 
g i xi   mi
hi
h
 ai  mi i 1  ai 1  g i1 xi  3
2
2
1
 yi 1  yi   hi mi 1  mi 
hi
6
– on remplace les ai dans : 3
4
hi 1mi 1  2hi  hi 1 mi  hi mi 1
1

1
 yi  yi 1 
 6   yi 1  yi  
hi 1
 hi

– Rappel : on cherche les mi (n+1 inconnues)
 on a seulement n-1 équations grâce à
 il faut rajouter 2 conditions, par exemple
m0 = mn =0
4
(spline naturelle)
30
Splines cubiques : détermination
4
hi 1mi 1  2hi  hi 1 mi  hi mi 1
1

1
 yi  yi 1 
 6   yi 1  yi  
hi 1
 hi

– Ex de résolution avec hi = xi+1 - xi constant :
• mi 1  4 mi  mi 1 
• forme matricielle :
Tm=f
1
h
2
 y i 1  2 y i  y i  1  
fi
0  m1   f 1 
4 1
 



 

1 4 1


      
  
 



 


1 4 1 
 



m
f
1
4

 n 1   n 1 
• T inversible (diagonale strictement dominante)
31
Splines cubiques : l’algorithme
pour i  2; n  1
T (i, i )  2hi  hi 1 
T (i, i  1)  hi 1
T (i, i  1)  2hi
 yi 1  yi yi  yi 1 


f (i  1)  6
hi 1 
 hi
fait
T  T 2:n-1,2:n-1
m T \ f
m  [0, m,0]
pour i  1; n  1
hi
1
a (i )   yi 1  yi   mi 1  mi 
6
hi
mi hi
b(i )  y (i ) 
6
fait
Complexité du calcul : complexité du solveur
32
Splines cubiques : exemple
• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10
avec 9 points
6
4
spline
2
0
-2
-4
-6
-6
polynôme de degré 8
-4
-2
0
2
4
6
33
Conclusion
• Interpolation polynomiale
– évaluer la fonction en un point : Polynôme de Lagrange ->
méthode de Neville
– compiler la fonction : Polynôme de Newton
• Interpolation polynomiale par morceau : splines
–
–
–
–
spline cubique d’interpolation
spline cubique d’approximation (on régularise)
b spline
spline généralisée : splines gausiènnes (multidimensionelle)
• approximation - apprentissage
34