Cours de Mécanique Deust 1

Cours de Mathématique
Pierre Joli
[email protected]
1
Chap 1: Calculs Vectoriels
2
Vecteur géométrique

Un vecteur géométrique est un segment orienté, noté AB ,
Où A est l'origine et B l'extrémité du vecteur. Il possède les
caractéristiques suivante :

• une longueur, appelée norme du vecteur, et notée AB
• une direction définie par un angle orienté de sa droite de support .
• un sens, indiqué par une pointe de flèche et défini par un angle
orienté.
Chap 1: Calculs Vectoriels
3
Vecteur géométrique (suite)
B
A
y0


y0 x B
=θ >0
x
j

i
θ=+ 
y0
j
θ=+
 >0
A
j

y0
i
x
A
x
B
i
A
j
=θ<0
i
- /2  /2 caractérise la direction de la droite de support
-   θ  caractérise le sens (ou l'orientation) du vecteur
Chap 1: Calculs Vectoriels
 <0
B
y = tg(α) x +y0
tg(α)= tg()
4
Vecteur géométrique (suite)

On ne change pas les caractéristiques d'un
vecteur par translation c'est-à-dire sa norme,
sa direction, son sens restent les mêmes.
B
V
A


AB  CD  V
D
C
5
Représentations physiques





Vecteur position d'un point dans l'espace
Vecteur vitesse d'un point par rapport à un référentiel
Vecteur accélération d'un point par rapport à un référentiel
Vecteur force (ou densité de force) en un point
Moment d'une (ou d'une densité de force) par rapport à un point
de référence
Chap 1: Calculs Vectoriels
6
Définitions

Deux vecteurs ayant même direction sont dits
parallèles. La multiplication par un scalaire ne
change pas la direction du vecteur.



.   BA sont deux vecteurs de sens opposés
AB
<-1
U  V
U
V
U   V  0
Chap 1: Calculs Vectoriels
>1
U
V
U  V 0
7
Addition de deux vecteurs
U
V
V
U
Méthode du triangle
UV
U
UV
Méthode du parallélogramme
V
Chap 1: Calculs Vectoriels
8
Relation de Chasles
Pour tout point A, B, et X du plan ou de l'espace, on a l'égalité :



AD  AX XD
D
X
A
Chap 1: Calculs Vectoriels
9
Angles et triangles (rappels de trigonométrie)

Lois des sinus
A
a
b
c


 2R
sin( A ) sin( B ) sin( C )
A
c=
R est le rayon du cercle circonscrit à ABC

Lois des cosinus
b=
AB
C
B
B
AC
a=
C
BC
a 2  b 2  c 2  2bc cos( A )
b 2  c2  a 2  2ca cos( B )
c 2  a 2  b 2  2ab cos( C )
Chap 1: Calculs Vectoriels
10
Norme du vecteur somme
2
2
2
U  V  U  V  2 U V cos(   )
U
θ
UV
-θ
V
0 θ   est l'angle entre les deux vecteurs
Chap 1: Calculs Vectoriels
U et V
11
Vecteur normé
L’orientation d’un vecteur quelconque U
rapport un axe orientée (0, i ) tel que i
dans un plan peut être définie par
1
U
u
0
i
u est le vecteur normé de U , il a le même sens et la même orientation
U u U  u   U u
Chap 1: Calculs Vectoriels
U
U
12
Cercle trigonométrique (R=1)
j
cos( )
+
1
- -/2 /2 
-1

sin( )
P
u y  sin( ) j
0
1
- -/2
u
/2

I
u x  cos( )i

-1
  IP; -    
i
u  u x  u y  cos( )i  sin( ) j

cos( )  sin(  )
2

cos( )  cos( )  fonction paire
cos(  )  sin( )
sin( )   sin( )  fonction impaire
2
Chap 1: Calculs Vectoriels
u  1  cos( )2  sin( )2  1
13
Vecteurs algébriques
Un vecteur peut être défini de manière unique dans un base
orthonormée par ses composantes (ou coordonnées) algébriques.
Dans un plan cartésien
U
Uy
Ux
: vecteur projeté sur l'axe des x
Uy  Uy j
: vecteur projeté sur l'axe des y
 Ux 
U  Ux i  Uy j  U   
 U y ( i , j)
j
i
Ux  Ux i
Écriture vectorielle
Écriture algébrique
Avec i  j  1, i  j et d'aprés la normr d'une somme
on obtient
U 
Ux 2  Uy2
Chap 1: Calculs Vectoriels
14
Vecteurs algébriques (suite)
 U x  U cos( )

U U u  
 U y  U sin( )
tg()
sin()
sin( ) U y
tg( ) 

cos( ) U x
+

cos()
tang( )
-/2
/2  3/2
tg( )  tg(   )
15
Vecteurs algébriques (suite)
U
Uy
arctan est une fonction disponible sur la calculatrice
définie sur -/2    /2
Ux
j
θ= arctan (Uy /Ux)
i
tg( ) 
Ux
j
Uy
Ux
Uy





arc
tan(
)
si





Ux
2
2

 
Uy

sinon   arc tan( )  

Ux
U Uy
i θ= arctan (Uy /Ux)+
Chap 1: Calculs Vectoriels
16
Vecteurs algébriques (suite)
Dans un espace cartésien
U
k
Ux  Ux i
: vecteur projeté sur l'axe des x
Uy  Uy j
: vecteur projeté sur l'axe des y
Uz  Uz k : vecteur projeté sur l'axe des z
j
i
Ux
 Ux 
 
U  Ux i  Uy j  Uz k  U   Uy 
U 
 z ( i , j,k)
Écriture vectorielle
Écriture algébrique
Avec i  j  k  1, i  j, j  k, i  k et d'aprés le module
d'une somme on obtient
Chap 1: Calculs Vectoriels
U  U x 2  U y2  Uz2
17
Produit scalaire
U.V  U V cos( ) 0    
U.V  0
U.V  0
Chap 1: Calculs Vectoriels
U.V  0
18
Produit scalaire (suite)
U V  (U x i  U y j  U z k) (Vx i  Vy j  Vz k)
 U x Vx  U y Vy  U z Vz
i i  j j  k k 1
Car
et i j  j k  i k  0
 Base orthonormée
Le produit scalaire est commutatif
Chap 1: Calculs Vectoriels
19
Vecteurs algébriques (suite)
L'orientation d'un vecteur U en 3D peut être définie par trois angles dont
on connaît les cosinus par:
cos( ) 
U i
cos(  ) 
U j
cos( ) 
Uk
U
U
U

Ux

Uy

Uz
Chap 1: Calculs Vectoriels
U
U
U

avec   (i , u)

avec   ( j, u)

avec   (k, u)
20
Produit vectoriel
W
W  UV  U V sin( )n 0    
V
n
θ
n.U  n.V  0 et n  1
L'orientation du produit vectoriel est donnée
par la règle du tire-bouchon (ou la règle de
la main droite).
U
U V sin( ) correspond à l'aire du parallélogramme
formé par les deux vecteurs
Chap 1: Calculs Vectoriels
21
Produit vectoriel (suite)
U  V  (U x i  U y j  U z k)  (Vx i  Vy j  Vz k)
 (U y Vz  U z Vy )i  (U z Vx  U x Vz ) j  (U x Vy  U y Vx )k
Uy

Uz
Vy
Ux
i
Vz
Uz
Ux
Vx
j
Uy
Vz
Vx
k
Vy
i  i  j j  kk 0
Car
i  j  k; i  k   j
et j  i  k; j  k  i
 Base orthonormée directe
k  i  j; k  j   i
Le produit vectoriel est non commutatif:
Chap 1: Calculs Vectoriels
U  V  V  U
22
Equations cartésiennes (en 2D)
• Droite
M
y


M0
j
x
i
y  y0
 tg( )  y  tg( ) x  (y 0  tg( )x 0
x  x0
a
b
• Cercle
M0
j
0
 x0 
x
OM    ;OM 0   
 y
 y0 
 x  x0 
M 0 M  M 0 O  OM  

y

y
0

i
 x0 
x
OM    ;OM 0   
 y
 y0 
M 0 M   x  x 0    y  y0 
2
2
2
(x-x0)2 +(y- y0)2= R2
Chap 1: Calculs Vectoriels
23
Equations paramétriques (en 2D)
• Droite
y
M
M0
y0

u

x   cos( )  x 0
M0 M   u  
 y   sin( )  y0

i
j
• Cercle
j
M0

u
 est le paramètre
x
x0
M
θ
0
i
x  R cos( )  x 0
M0 M  R u  
 y  R sin( )  y0

θ est le paramètre
Dans le cas d’une trajectoire (t) (t) sont des fonctions du temps (lois horaires).
Chap 1: Calculs Vectoriels
24
Rappels de trigonométrie (suite)
j
cos( 

u
O
θ
i
sin( 

2

2

u
)   sin( )
)  cos( )
O
j
θ
i
cos(  )  sin( )
2

sin(  )   cos( )
2
j

u
O

j
cos(   )   cos( )
θ
sin(   )   sin( )
i

u
O
i
cos(   )   cos( )
θ sin(   )  sin( )
25
Rappels de trigonométrie (suite)
cos(a+b)= cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a+b)= sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
(1)
(2)
(1) → cos(a-b)= cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
(2) → sin(a-b)= sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
(3)
(4)
(1)+(3) → cos(a)cos(b)= ½[cos(a-b)+ cos(a+b)]
(3)- (1) → sin(a)sin(b)= ½[cos(a-b)- cos(a+b)]
(2)+(4) → sin(a)cos(b)= ½[sin(a-b)+sin(a+b)]
(5)
(6)
(7)
On pose p=a+b et q=a-b → a=(p+q)/2 et b=(p-q)/2
(5)
(6)
(7)
(8)
→ cos(p)+ cos(q)= 2cos((p+q)/2 )cos((p-q)/2 )
→ cos(p)- cos(q) = -2sin((p+q)/2 )sin((p-q)/2 )
→ sin(p)+sin(q)= 2sin((p+q)/2 )cos((p-q)/2 )
→ sin(p)-sin(q)= 2sin((p-q)/2 )cos((p+q)/2 )
(8)
26
Rappels de trigonométrie (suite)
x,  1  x  1, cos( )  x
y,  1  x  1, sin( )  x
y , tang( )  x
 1  arcos(x)
 
 2  arcos(x)
 1  arcsin(x)
 
2    arcsin(x)
 1  arctan(x)
 
2  arctan(x)  
arcos, arcsin,arctan étant respectivement les fonctions inverses
de cos, sin et tang définies sur la calculatrice, elles ont respectivement comme
domaines de définition [0, ],[- /2, /2 ] et [- /2, /2 ].
27
7°) Calculer arcsin(cos(2Π/3))
sans calculatrice
Solution
Π/6
2Π/3
Π/6
2Π/3=Π/2 +Π/6
cos(2Π/3) =-sin(Π/6)
= sin (-Π/6)
Arcsin (sin(-Π/6))= -Π/6
8°) Que vaut le produit scalaire?
V1 V2
avec V1  i  2 j et V2  6i  3 j  k
avec (i , j , k ) qui est une base orthonormée
 i .i  i 2  1 


2


 j . j  j  1 les vecteurs sont normés


2
k .k  k  1



 i . j  j .i  0 
 j .k  k . j  0  les vecteurs sont orthogonaux

 k .i  i .k  0 

Solution
Par le calcul vectoriel
V1 V2  (i  2 j ) (6i  3 j  k )
 i (6i  3 j  k )  2 j (6i  3 j  k )
 6i i  3i j  i k  12 j i  6 j j  2 j k
 6  6  0
Par le calcul algébrique
 6 
 
V1 V2  1 2 0   3   1 (6)  2  3  0 1  0
1
 
V1 V2 =0  Les deux vecteurs sont orthogonaux V1  V2
9°) Que vaut le produit vectoriel?
V1  V2
avec V1  i  2 j et V2  6i  3 j  k
avec (i , j , k ) qui est une base orthonormée directe
i i  0

j j 0
k  k  0


i  j  k   j  i
 j  k  i  k  j

 k  i  j  i  k
9°) Que vaut le produit vectoriel?
Solution par le calcul vectoriel
V1  V2  (i  2 j )  (6i  3 j  k )
 i  (6i  3 j  k )  2 j  (6i  3 j  k )
 3i  j  i  k  12 j  i  2 j  k
 3k  j  12k  2i
 2i  j  15k
9°) Que vaut le produit vectoriel?
Solution par le calcul algébrique
 2

 0
 1   6  
1
   
V3  V1V2   2    3    
0  1   0
    
 1
 2

3 

1 
 2 1  0  3   2 
6  
  (11  0  (6))   1
  
1  
  1 3  2  (6)  15 
6 
3 