Groupes: compléments

MAT 1231 : Algèbre multilinéaire et théorie des groupes
Groupes: compléments
Exercice 1 Soit f : G → G0 un morphisme de groupes, H, K des sous-groupes de G
et H 0 , K 0 des sous-groupes de G0 . Montrer que
H ⊂ f −1 (f (H)),
f (f −1 (H 0 )) ⊂ H 0 ,
f (H ∩ K) ⊂ f (H) ∩ f (K),
f −1 (H 0 ∩ K 0 ) = f −1 (H 0 ) ∩ f −1 (K 0 ),
f (H ∨ K) = f (H) ∨ f (K),
f −1 (H 0 ) ∨ f −1 (K 0 ) ⊂ f −1 (H 0 ∨ K 0 ).
Exercice 2 Soit f : G → G0 un morphisme surjectif de groupes et H, K des sousgroupes de G.
1. Montrer que f −1 (f (H)) = ker(f ) · H. En déduire que si ker(f ) ⊂ H, alors
f −1 (f (H)) = H.
2. Montrer que si H est normal dans G, alors f (H) est normal dans G0 .
3. Montrer que si ker(f ) ⊂ H ou ker(f ) ⊂ K, alors f (H ∩ K) = f (H) ∩ f (K).
4. On suppose que H et K soient normaux dans G.
(a) Montrer que f (H ∩ K) est un sous-groupe normal de f (H) ∩ f (K).
(b) Montrer que pour tout x ∈ H, y ∈ K, on a xyx−1 y −1 ∈ H ∩ K.
(c) En déduire que le groupe quotient (f (H) ∩ f (K))/f (H ∩ K) est abélien.
Exercice 3 Soit G un groupe.
1. Soit A ⊂ G. Montrer que hAi = A si et seulement si A est un sous-groupe de
G.
2. Soit (a, b) ∈ G2 . L’implication hai = hbi ⇒ a = b est-elle vérifiée ?
3. Le groupe Z est-il engendré par 2 ? par {5, 12} ? Le groupe Z×Z est-il engendré
par (1, 1) ?
Exercice 4 Soit H un sous-groupe normal d’un groupe G et A une partie de G.
On note π la surjection canonique de G dans G/H. Montrer que G/H = hπ(A)i si
et seulement si G = hA ∪ Hi.
Exercice 5 Soit H et K deux groupes et notons Aut(H) le groupe des automorphismes de H. Soit α: K → Aut(H) un morphisme de groupes. On définit une loi de
composition ∗ sur H × K par
(h, k) ∗ (h0 , k 0 ) = (h · α(k)(h0 ), k · k 0 )
pour tout (h, k), (h0 , k 0 ) ∈ H × K.
1. Montrer que (H × K, ∗) est un groupe. On l’appelle produit semi-direct de H
et K relativement à α, et on le note H oα K.
2. Déterminer pour quel morphisme de groupes α: K → Aut(H), le produit semidirect H oα K est le produit direct des groupes H et K.
3. On suppose que H et K sont des sous-groupes d’un groupe G tel que H / G et
H ∩ K = {1}. On définit β: K → Aut(H) par β(k)(h) = k · h · k −1 pour tout
h ∈ H, k ∈ K.
(a) Montrer que β est un morphisme de groupes.
(b) Soit φ: H oβ K → HK l’application définie par φ(h, k) = h · k, pour tout
h ∈ H, k ∈ K. Montrer que φ est un morphisme de groupes. L’application
φ est-elle un isomorphisme ?
Exercice 6 Soit G un groupe.
1. Montrer que l’ensemble Int(G) de tous les automorphismes intérieurs de G est
un sous-groupe normal de Aut(G).
2. Montrer que Int(G) et G/Z(G) sont isomorphes.
indication : Considérer le morphisme φ: G → Int(G) tel que φ(a): x 7→ axa−1
pour tout a ∈ G.
Exercice 7 Soit H et K des sous-groupes normaux d’un groupe G. On définit le
commutateur de H et K, noté [H, K], comme le sous-groupe de G engendré par
tous les commutateurs [h, k] pour tout h ∈ H, k ∈ K. Montrer que [H, K] est un
sous-groupe normal de G tel que [H, K] ⊂ H ∩ K. Montrer que si H ∩ K = {1},
alors hk = kh pour tout h ∈ H, k ∈ K.
Exercice 8 Soit G un groupe tel que g 2 = 1 pour tout g ∈ G. Montrer que G est
abélien.
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