présentation utilisée en cours

Polytech'Nice-Sophia, Départements S.I et M.A.M. Cours de 4ème année :
Commande par Ordinateur – séance 2 : Représentation d’état de Lunar Lander
version du 21/04/2017 Page 1
Établir et implémenter les équations discrétisées de
Lunar Lander durant l’alunissage.
Contenu de cette séance :
• Équations différentielles de Lunar Lander durant l’alunissage
•Représentation d'état de Lunar Lander sous la forme de commande
• Discrétisation de l’équation d’état de Lunar Lander
• Retour à l’équilibre et étude de stabilité de Lunar Lander
• Détails tirés des sources de l’animation ‘lunarlander.fla’
• En TD, début du projet : il s’agit d’implémenter les équations
discrétisées du processus dans l’animation et la commande manuelle.
* cf. http://cours.polytech.unice.fr/intcom/2.seance/REtat.ppt

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On écrit les équations différentielles de Lunar Lander (LL) en appliquant
la seconde loi de Newton ou relation fondamentale de la dynamique :
•LL (x, y) centre de gravité de Lunar Lander
•vecteur vitesse de LL
•m=massevide+massecarburant masse de LL,
(massevide=6839kg, massecarb =816.5kg)
•force appliquée à LL :
•glune= 1.6 m/s2pesanteur lunaire,
•Éjection des gaz à la vitesse :
–Horizontalement :
–Verticalement :
•Vitesses des gaz dans le repère (O,x,y):
•Équation de Lunar Lander :
jyixv 
lune
mgjf 
lune
mgj
dtvmd dt
pd 
 )(
i
j
v
x
y
lune
mgj
O
m
yxLL ,
1
4500  msve
ivv ex
iviv eex
iviv eex
jvjv eey
jvjv eey
ivex
v
ivv ex
jvv ey

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On évalue la variation de la quantité de mouvement de
Lunar Lander entre les instants t et t+dt
• L’équation de Lunar Lander s’écrit :
•Entre t et t+dt, le réacteur horizontal éjecte une masse dmx de
carburant, et le réacteur vertical éjecte dmy :
jyixj
dtyd
i
dtxd dt
vd 
 2
2
2
2
vmvjvdmvivdmvdvdmm
vmdpd
eyyexx
)()()()(
)(
dtjmgjvdmivdmvddmvmd luneeyyexx 
)0(  vddmavec 
dtjmgpd lune  
yx dmdmdm 
jmgjv
dt
dm
iv
dt
dm
dt
vd
mluneey
y
ex
x

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On en déduit les équations différentielles de Lunar Lander
jmgjv
dt
dm
iv
dt
dm
j
dtyd
i
dtxd
m
dt
vd
mluneey
y
ex
x
 )( 2
2
2
2
luneeyy
exxmgvmym
vmxm
luneeyy
exxgmvmy
mvmx
/
/
luney
xgay
ax
11
5887.0   kgms
m
véjection
: coefficient de poussée des réacteurs
yeyy
xexxmva
mva
)sgn(
)sgn(
ax et ay : débits de carburant dans les réacteurs, en kg/s
Équations différentielles de Lunar Lander

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On traduit les équations différentielles de Lunar Lander sous la
‘forme de commande’ de la représentation d’état
y
y
x
x
XtX )(
BaAX
dt
dX
X
/
0
0
0
0
0
0
0000
1000
0000
0010
luney
x
ga
a
y
y
x
x
y
y
x
x
X
XaDXCs 
XXs 
1000
0100
0010
0001
Principe : si on construit le vecteur d’état X en prenant x, y et leurs dérivées
premières , on obtient la forme de commande de la représentation d’état.
Note: tout changement de repère dans l’espace d’état (espace de dimension 4 ici) conduit à une
forme différente de la représentation d’état des équations de Lunar Lander.