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Polytech'Nice-Sophia, Cours de Commande par Ordinateur, séance n°4
Jean-Paul Stromboni, SI4 SAR et VIM et MAM4 VIM
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Commande en boucle fermée et par retour d’état de
l'alunissage de Lunar Lander
Contenu du cours :
1. Principe de la commande par retour d'état
2. Effet de la discrétisation sur les valeurs propres
3. Reproduire le temps de réponse d’une valeur propre réelle
4. Reproduire le temps de croisement de deux valeurs propres
complexes conjuguées
5. Commande par retour d’état de la vitesse de Lunar Lander
6. Comparaisons de deux retours d’état pour l’alunissage
* document http://cours.polytech.unice.fr/intcom/4.seance/RetourEtat.ppt et
script solution du TD 4-2012.doc : TD4RetourEtat.sce et TD4.sce.

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Principe de la commande par retour d’état
•À tout instant, le vecteur de commande est calculé à partir de la valeur
du vecteur d’état retourné par les capteurs, et du vecteur d’état désiré,
ou consigne.
• Soit l’équation d’état :
• Voici la loi de commande par retour d’état :
•Cn est la consigne, ou référence, de la commande
•Cn – Xn est l’erreur de commande
• K est la matrice de commande ou de gain du retour d’état
• il s’agit d’un système en boucle fermée, loi de commande+équation
d’état, ou encore d’une contre réaction (feedback)
ndndn UBXAX  1
nnn XCKU 

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Formulation du retour d'état pour Lunar Lander
1
/
1
luneyn
xn
dndndndn ga
a
BXAUBXAX
2
nn
yn
xn XCK
a
a
•Ad- BdK est la matrice d’état du système bouclé
•BdK est la matrice de commande
•K est une matrice (2 lignes, 4 colonnes)
•Question : comment calculer K ?
)3(
/
0
)(
1
lune
dndnddn g
BKCBXKBAX

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Calcul de K par placement des valeurs propres de la
matrice d’état du système bouclé (pole mapping)
•Les valeurs propres vd de la matrice d’état, qui sont aussi les
pôles de la fonction de transfert, ou encore les racines du
polynôme caractéristique, déterminent le comportement
dynamique d’un système en temps discret :
–La stabilité au sens EBSB (si |vd| < 1)
–La rapidité (plus la partie réelle de vd est faible en valeur absolue,
et plus le temps de réponse est petit)
•Si vd=0, on obtient la réponse pile, réponse en temps fini !
–La forme du régime transitoire :
•Une valeur propre vd réelle donne un régime transitoire apériodique
•Valeurs propres complexes conjuguées vd et vd* : régime sinusoïdal amorti
•On calcule K de façon à imposer les valeurs propres de Ad-BdK

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Effet de la discrétisation sur les valeurs propres
•Soit un processus en temps continu de matrice d’état A discrétisé à la période
d’échantillonnage Te. On démontre que Ad, la matrice d’état du processus
discrétisé vaut :
•En conséquence, on obtient les valeurs propres vd de la matrice Ad à
partir des valeurs propres v de la matrice A en utilisant la relation :
•On utilise ce résultat pour reproduire dans un système discret le
comportement dynamique connu d’un processus continu :
1. Du premier ordre, c’est-à-dire doté d’une unique valeur propre v réelle
2. Du second ordre, c’est-à-dire doté d’une paire de valeurs propres
complexes conjuguées : v, v*
...
!
...
2
2
2 n
TATA
ATIeA n
e
n
e
e
AT
de
e
vT
dev 