Rappel de cours, roulement sans glissement

ROULEMENT SANS GLISSEMENT
VITESSE DE
CONDITIONS DE
RAPPEL DE COURS
ETUDE DE CAS
EXERCICES
METHODE ANALYTIQUE
ICAM NANTES
21/04/2017
Rappel de cours, roulement sans glissement
1
ROULEMENT ET GLISSEMENT
y
Si on s’intéresse à la
vitesse de I
Nulle ? Voir la trajectoire
si la roue roule sans
glisser)
°(t) x ?
???
x1
S1
P
(t)
x
RAYON R
(t)
21/04/2017

SOL
x
I
Rappel de cours, roulement sans glissement
2
y
x1
S1
(t)
P
(t)
x
 C
RAYON R


Si on s’intéresse à la
vitesse de I
Nulle ? Voir la trajectoire
si la roue roule sans
glisser)
°(t) x ?
???
SOL
x
I
Il y a 3 points I :
 I, point de contact entre les deux solides. Ce point n’appartient à aucun solide. On
l’appelle aussi point coïncidant ou point géométrique. C’est la vitesse que l’on obtient si on
dérive le vecteur OI = (t) x.
VI/0 = [dOI/dt]0
21/04/2017
Rappel de cours, roulement sans glissement
3
y


S1






x1
(t)
Si on s’intéresse à la
vitesse de I
Nulle ? Voir la trajectoire
si la roue roule sans
glisser)
°(t) x ?
???
x
 C

(t)
 
RAYON R

x

SOL
I
 I, point du solide S1. Avant, ce point s’appelait P. Quand ce point est au contact de
l’autre solide, il s’appelle I.
Son vecteur position est OI = (t) x + r y – r x1 avec x1 confondu avec – y, ce qui nous
interdit de dériver pour trouver VI1/0 ;
la dérivée d’une fonction nulle à l’instant t (r y – r x1), n’est pas nulle.

On utilise alors l’équiprojectivité des vecteurs vitesse des points du solide S1/S0
VI1/0 = VC1/0 + IC  1/0.
 I, point du solide S0. Dans ce cas, cette vitesse est nulle.
21/04/2017
Rappel de cours, roulement sans glissement
4
2
CONCLUSION
A
C
I
B
O
1
La vitesse du point de contact s’obtient par dérivation.
VI/0 = [dOI/dt]0
La vitesse de I, point du solide 1, se calcule par équiprojectivité à partir d’un autre point
dont on peut calculer la vitesse.
VI1/0 = VA1/0 + IA  1/0
La vitesse de I, point du solide 2, se calcule par équiprojectivité à partir d’un autre point
dont on peut calculer la vitesse.
VI2/0 = VB2/0 + IB  2/0
VI1/2 s’appelle la vitesse de glissement entre les deux solides.
21/04/2017
Rappel de cours, roulement sans glissement
5
CONCLUSION
La vitesse du point de contact s’obtient par dérivation du
vecteur unitaire : VI/0 = [dOI/dt]0
1
2
A
I
B
La vitesse de glissement se calcule par composition des vitesse
des points des solides en présence :
VI1/2 = VI1/0 - VI2/0
Ou bien par composition des vitesse des points géométriques
(méthode plus compliquée)
VI/1 = VI/2 + VI1/2
Avec :
VI/1 = [dAI/dt]1 avec A point fixe de 1
VI/2 = [dBI/dt]2 avec B point fixe de 2
Et :
La vitesse de glissement est TOUJOURS dans le plan tangent de
contact. On l’exprimera en fin de calcul selon des vecteurs
unitaires appartenant à ce plan tangent de contact.
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Rappel de cours, roulement sans glissement
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EXERCICES TYPES
• Transformation de mouvement : pompe à
essence
• Réducteur train d’engrenages axes parallèles
• Odomètre
• Elévateur
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Transformation de mouvement
Pompe à essence
21/04/2017
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Le dispositif représenté ci-dessous modélise la transformation de mouvement dans un
mécanisme de pompe à essence.
L’excentrique S1 est en liaison pivot d’axe (O, z0) avec le bâti.
Le poussoir S2 est en liaison pivot glissant d’axe (O, x0) avec le bâti.
L’excentrique S1 est en contact avec poussoir S2 au point I.
x1
y0
S1
C
O
S2
I
x0
OC = e. x1
(t) =(x0, x1)
Rayon de S1 : R
21/04/2017
Transformation de mouvement, pompe à
essence
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Déterminer la vitesse de glissement en I entre S1 et S2.
Déterminer l’accélération du point M appartenant au poussoir par rapport au bâti.
Application numérique : N1/0 = 3000tr/min ; R = 20mm ; e = 7mm. Pour quelle position
de S1 la vitesse de glissement est-elle la plus grande ?
x1
y0
S1
S2
I
C
O
(t)
21/04/2017
Transformation de mouvement, pompe à
essence
M
x0
OC = e. x1
(t) =(x0, x1)
Rayon de S1 : R
10
VIS1/S2 = VIS1/S0 - VIS2/S0
VIS1/S2 =[ VOS1/S0 + IO  S1/S0 ] - (t)° x0
VIS1/S2 =[ 0 + ( e x1 + R x0 )  (t)° z ] - (t)° x0
VIS1/S2 = ( e (t)° y1 + R (t)° y - (t)° x0
or
(t) = R + e cos (t)
(t)° = - e (t)°sin (t)
x1
y0
S1
S2
I
C
O
(t)
21/04/2017
Transformation de mouvement, pompe à
essence
x0
OC = e. x1
(t) =(x0, x1)
Rayon de S1 : R
11
VIS1/S2 = e (t)° y1 + R (t)° y0 - (t)° x0
or
(t) = R + e cos (t)
(t)° = - e (t)°sin (t)
y1 = cos (t) y0 - sin (t) x0
VIS1/S2 = [ e cos (t) + R ] (t)° y0
x1
y0
S1
S2
I
C
O
(t)
21/04/2017
Transformation de mouvement, pompe à
essence
La vitesse de glissement est
bien dans le plan tangent de
contact.
x0
OC = e. x1
(t) =(x0, x1)
Rayon de S1 : R
12
Déterminer l’accélération du point M appartenant au poussoir par rapport au bâti.
M/R = (t)°° x0
avec
(t) = R + e cos (t)
(t)° = - e (t)°sin (t)
(t)°° = - e (t)°°sin (t) – e (t)°² cos (t)
x1
y0
S1
S2
I
C
O
(t)
21/04/2017
Transformation de mouvement, pompe à
essence
M
x0
OC = e. x1
(t) =(x0, x1)
Rayon de S1 : R
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Autre problème
REDUCTEUR A AXES FIXES
AXES PARALLELES
21/04/2017
Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages
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y
u
s3
s2
J
O3
O2
I
s1
21/04/2017
x
Le réducteur est composé
• d’une roue motrice 1, de rayon r1 ,de centre O1
• d’une double roue intermédiaire 2, de petit
rayon r2, de grand rayon R2 ,de centre O2
• d’une roue réceptrice 3, de rayon R3 ,de centre
O3
Les trois roues sont en liaison pivot en leur
centre avec le bâti.
1/0 = 1/0 z
2/0 = 2/0 z
3/0 = 3/0 z
Calculer la vitesse de glissement en I et J. Si ces
vitesses de glissement sont nulles, déterminer la
loi entrée sortie 3/0 / 1/0
Si la puissance d’entrée est égale à P = Cm m, si
le rendement est égal à 1, en déduire le couple
de sortie en N.m.
O1
Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages
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VI1/2 = VI1/0 - VI2/0
VI1/2 = [VO11/0 + IO1 1/0 ] - [VO22/0 + IO2  2/0 ]
VJ2/3 = VJ2/0 - VJ3/0
VJ2/3 = [VO22/0 + JO2 2/0 ] - [VO33/0 + JO3  3/0 ]
y
u
s3
Si les vitesses de glissement sont nulles :
IO1  1/0 - IO2  2/0 = 0
JO2 2/0 – JO3  3/0 = 0
-r1 y  1/0 z – R2 y  2/0 z = 0
s2
J
-r2 u  2/0 z – R3 u  3/0 z = 0
O3
-r1 1/0 – R2 2/0 = 0 et r2 2/0 + R3 3/0 = 0
O2
I
s1
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x
O1
En éliminant 2/0 des deux expressions, on
obtient :
3/0
r1 * r2
------ = --------------1/0
R2 * R3
Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages
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y
u
s3
s2
J
Si les vitesses de glissement sont nulles :
3/0
r1 * r2
------ = --------------1/0
R2 * R3
O3
O2
I
s1
x
O1
La relation générale s’écrit : (avec p le nombre de contacts extérieurs
)
SORTIE/0
 (rayons des roues menantes)
----------- = ( -1)p ----------------------------------------------ENTREE/0
 (rayons des roues menées)
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Réducteur axes fixes et parallèles, roues de friction ou engrenages
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ODOMETRE
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z1
y2
s2
(t)
B
Véhicule
s1
s3
y4
(t)
VB/0 = °(t) y1
h
C
s4
y1
I
Rayon roue 4 : r
A quoi est égale la cote (hauteur à la verticale) de B par rapport au sol ? En dérivant cette
expression, déterminer la relation liant les paramètres (t) et (t), et leur dérivées.
° sin +  ° cos = 0
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VI/0 = [d( y1 -  y2 – r z1)/dt]0 = ° y1 - ° y2 -  (2/0y2) = ° y1 - ° y2 -  ° z2
y2 = cos  y1 + sin  z1 ; z2 = - sin  y1 + cos  z1
VI/0 = ° y1 - ° (cos  y1 + sin  z1 )-  ° (- sin  y1 + cos  z1) = ° y1 - ° cos  y1 +  ° sin  y1 - ° sin  z1 -  ° cos  z1
car (° sin +  ° cos) = 0
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Calculer la vitesse du point I, point de contact entre S4 et S0, I point géométrique, dans son
mouvement par rapport à S0.
Montrer que cette vitesse est bien portée uniquement par y1.
y1
I
Rayon roue 4 : r
h
C
s4
VB/0 = °(t) y1
(t)
s1
Véhicule
(t)
B
s3
y4
s2
(t)
y2
z1
z1
y2
s2
(t)
B
Véhicule
s1
s3
y4
(t)
VB/0 = °(t) y1
h
C
s4
y1
I
Rayon roue 4 : r
Calculer la vitesse de glissement en I entre S4 et S0, sachant que S1 a un mouvement de
translation rectiligne de vitesse ° y1. Montrer que cette vitesse est bien portée
uniquement par y1. En déduire alors les conditions de roulement sans glissement, ° en
fonction des autres paramètres.
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21
22
VI4/0 = VC4/0 + IC4/0 (en dérivant OI on obtiendrait VI/0)
VC4/0 = là on peut dériver ! = [dOC/dt]0 = (°- °cos  +  ° sin ) y1
IC4/0 = r z1(°+°) x1 = r (°+°)y1
21/04/2017
VI4/0 = (°- °cos  +  ° sin  + r (°+°)) y1
Conditions de roulement sans glissement : °- °cos  +  ° sin  + r (°+°) = 0
I
y1
Rayon roue 4 : r
h
C
s4
VB/0 = °(t) y1
(t)
s1
Véhicule
B
(t)
s3
y4
s2
y2
z1
Elévateur
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Un élévateur de charge est motorisé par :
 un motoréducteur fixé sur le bâti agit sur le bras S1 en O
un motoréducteur fixé en bout de bras S1 agit sur le pignon S2 en C
Le solide S3 est en liaison glissière avec le bâti S0
Le solide S2 est en liaison pivot (C,z) avec le solide S1
Le solide S1 est en liaison pivot (O,z) avec le solide S0
En I, il y a engrènement du pignon S2 sur la crémaillère S3
y1
A
I
(t)
C
S3
Crémaillère
y
S2
S1
(t)
x
Pignon
(t)
y2
OC = L
Pignon rayon r
O
Déterminer, en utilisant la
condition de roulement sans
glissement, la liaison entre
les deux paramètres (t) et
(t).
S0
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La vitesse de glissement en I est définie par VI3/2
On utilise la composition VI3/2 = VI3/0 + VI0/2 = VI3/0 - VI2/0
Il ne faut surtout pas dériver pour trouver les vitesses des point I appartenant aux solides !
Il faut utiliser le champ distributif des vecteurs vitesses des points d’un solide
(équiprojectivité)
VI3/2 = [ VA3/0 + IA3/0] - [ VC2/0 + IC2/0]
VI3/2 = [ °(t) y+ IA0] - [ VC2/0 + IC2/0]
VI3/2 = °(t) y – [ - L° x1 + (-r y)  (°+°) z] = °(t) y + L° x1 + r (°+°) x
Il faut maintenant vérifier que cette vitesse de glissement est bien sur x
A
S3
y1
(t)
On remarque que :
I
C
y2
Crémaillère
y
S2
S1
(t)
(t)
Pignon
(t)
x1
x
(t) = L cos  + r
En dérivant par rapport au
temps :
°(t) = - L ° sin 
et :
x1 = cos x + sin  y
O
S0
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VI3/2 = °(t) y + L° x1 + r (°+°) x
°(t) = - L ° sin 
x1 = cos x + sin  y
Il faut maintenant vérifier que cette vitesse de glissement est bien sur x
VI3/2 = - L ° sin  y + L° (cos x + sin  y) + r (°+°) x
VI3/2 = (L° cos + r (°+°)) x
Les conditions de roulement sans glissement sont : L° cos + r (°+°) = 0
A
S3
y1
(t)
I
C
y2
Crémaillère
y
S2
S1
(t)
(t)
Pignon
(t)
x1
x
O
S0
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LANCEUR DE PIGEON D’ARGILE
21/04/2017
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Un lanceur de pigeon d’argile est
un dispositif permettant de
lancer des « assiettes » en terre
cuite lors des ball-traps.
L’inclinaison est constante.
On arme le dispositif puis on
lâche. Les forces d’inertie
expulsent le projectile vers
l’extérieur et les frottements lui
appliquent un mouvement de
rotation propre. A la fin du
lancement, il s’élance en l’air
avec une vitesse initiale et un
mouvement de rotation (comme
un frisbee).
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assemblage CAO d'un lanceur, sur you yube
SCHEMA
Ecrire la liaison entre
les 3 paramètres de
position.
S2
S1
(t)
C
I
(t)
O
(t)
21/04/2017
http://www.youtube.com/watch?v=Sq0XFihdC7Q&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=af4eK-gicns&NR=1
29
La vitesse de glissement en I est définie par VI1/2
On utilise la composition VI1/2 = VI1/0 + VI0/2 = VI1/0 - VI2/0
Il ne faut surtout pas dériver pour trouver les vitesses des point I appartenant aux
solides !
Il faut utiliser le champ distributif des vecteurs vitesses des points d’un solide
(équiprojectivité)
VI1/2 = [ VO1/0 + IO1/0] - [ VC2/0 + IC2/0]
VI1/2 = [ O + (- x1 + e y1)°z] - [ VC2/0 + r y1 (°+°)z]
VC2/0 = ° x1 + ° y1 - (r-e) ° x1
VI1/2 = ° y1 + e °x1 - [° x1 + ° y1 - (r-e) ° x1 + r (°+°)x1]
y
Rayon r
VI1/2 = - ( ° + r ° ) x1
(t)
x1
S2 C
S1
O
I
(t)
x
SCHEMA
21/04/2017
30
La vitesse de glissement en I est définie par VI1/2
Mais on aurait pu faire beaucoup plus vite!
En remarquant que l’on connait VC2/1 = ° x1 et donc VC1/2 = - ° x1
VI1/2 = VC1/2 + IC1/2
(1/2 = - 2/1 = - ° z)
VI1/2 = - ° x1 + r y1  - ° z
VI1/2 = - ( ° + r ° ) x1
VI2/1 = + ( ° + r ° ) x1
Les conditions de roulement sans glissement sont donc :
y
° = - r °
Rayon r
(t)
x1
S2 C
S1
O
I
(t)
x
SCHEMA
21/04/2017
31