Gestion de portefeuille 3bis
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GESTION DE PORTEFEUILLE 3bis
Catherine Bruneau
RISQUE &
PROBABILITE
Rappels de calcul de probabilité
• Espace des issues aléatoires €Ω
Exemple : ce qui fait monter ou descendre
un cours d’action
• Évènements : parties de Ω
• Cours au-dessus d’un certain seuil
• Tribu d’évènements ( axiomes) A
• (Ω, A) espace probabilisable
• P: mesure de probabilité définie sur A
•
•
•
•
•
P à valeurs dans [0,1]
Axiomes
Exemple: P(hausse)=2/3 et P(baisse)=1/3
P(Ω)=1
Suite dénombrable d’évènements disjoints 2 à 2:
A1
A2
...
An
...
Ai Aj
P(
Ai ) P(Ai )
i
• (Ω, A,P) espace probabilisé
• Probabilité conditionnelle
P( A / B)
• Indépendance d’événements
P( A B)
P( B)
Variable aléatoire X définie sur (Ω, A,P)
1
X ( B) A
X ( B) / X () B
1
• X 1 ( B) est un évènement:
• X à valeurs dans :
– un ensemble de valeurs fini ou dénombrable
X: VARIABLE DISCRETE
=1 si hausse =-1 si baisse d’un cours boursier
– Un ensemble continu de valeurs (R)
X: VARIABLE CONTINUE
Log(cours boursier)
• Distribution des valeurs possibles de X:
x=X()/distribution de probabilité (de ces
valeurs)
P( x j );1 j J
– Variable discrète:
P( x j ) P( X x j ) P(; X () x j )
– Exemple Bernouilli, Poisson
– Variable continue
• Densité: P(x≤X<x+dx)=f(x)dx
• Fonction de répartition P(X<x)=F(x); F’(x)=f(x)
– Exemples loi normale, log-normale, student, etc…
– Loi N(0,1)
f ( x)
1
1
exp( x 2 )
2
2
• Moments
–
–
–
–
–
–
J
Espérance ( moyenne) E ( X ) P( x ) x
Variance: Var ( X ) P( x )( x E( X ))
écart-type ( volatilité) Var( X )
Skewness E( X E( X ))
E (( X E ( X )) )
k
Kurtosis
Var ( X )
(effet leptokurtique ( queue de distribution plus
épaisse que celle de la loi normale): risques
« extrêmes » plus probables k 3
• Fractiles
VaR=Value at Risk
• P(perte>VaR)=α
j 1
J
2
j
j 1
j
X
3
4
j
j
• Cas de deux variables aléatoires X et Y
exemple: valeur d’un taux d’intérêt ( taux de rendement
d’une obligation ( du trésor ou autre) et valeur d’un cours
boursier
• Loi jointe
– Densité hX ,Y ( x, y)dxdy P( x X x dx et y Y y dy )
– Fonction de répartition F ( x, y) P( X x dx etY y dy )
– Plus que la caractérisation des 2 lois marginales (celles de X et
de Y) f X ( x) et gY ( y)
Cf. tableau de contingence
– Sauf cas d’indépendance h( x, y) f X ( x) gY ( y)
Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))
=E(XY)-E(X)E(Y)
Si X=Y,
cov(X,Y)=E((X-E(X)) 2 )= Var(X)
cov(X,Y)
corr(X,Y)=
X Y
• Loi conditionnelle de Y sachant X
• Cas discret
P(Y yk et X x j )
P(Y yk / X x j )
P( X x j )
• Cas continu: densité conditionnelle
l ( y / x)
hX ,Y ( x, y)
f X ( x)
– Loi de probabilité du cours d’un indice, sachant que les taux
d’intérêt sont élevés / bas
– exemple: Y et Y suivent deux lois normales N(0,1) et ont un
coefficient de corrélation
– Cas d’indépendance
• Espérance conditionnelle E(Y/X)
• Variance conditionnelle
Var (Y / X ) E ((Y E (Y / X ))2 )
• Cas de plusieurs variables
• Matrice de variance du vecteur U de
composantes aléatoires U (U1 ,...,U n ) '
.
. Cov(U ,U )
Var (U )
1
Var (U )
.
.
Cov(U n ,U1 ) .
1
.
Var (U n )
n
E(AU)=AE(U)
Var(AU)=AVar(U)A’
Cov(AU,BV)=ACov(U,V)B’
Calculs d’espérances
J
E (h( X )) P( x j )h( x j )
j 1
E (h( X )) h( x) f X ( x)dx
E ( g ( X , Y )) g ( x, y )hX ,Y ( x, y )dxdy
( g ( x, y )l ( y / x)dy ) f X ( x)dx
Exemple de calculs dans le cas discret
• X=1 avec la probabilité de 2/3 et =-1 avec la
probabilité de 1/3
• skewness (coefficient d’asymétrie)
skewness=E[(X-E(X))3 ]
E(X)=1/3=1x2/3+(-1)x1/3
skewness
=(1-1/3)3 x(2/3)+ (-1-1/3)3 x(1/3)
8 2 64 1
= . .
27 3 27 3
80
81
Remarques: Rendement, taux de
rendement et cours d’une action
• Cours d’une action P(t)
• Log cours : LogP(t)
• Variation ΔLogP(t)= LogP(t)- LogP(t-1)
• ΔLogP(t)=Log[P(t)/P(t-1)]=Log(rendement
de l’investissement dans l’action)
• ΔLogP(t)=Log{1+[P(t)- P(t-1)]/P(t-1)}
• ΔLogP(t)= [P(t)- P(t-1)]/P(t-1)
• =taux de rendement de l’investissement=variation de
richesse/richesse initiale investie
• si [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) est petit devant 1
• P(t)/P(t-1)=rendement=1+taux de rendement
• Question: si une grandeur X varie de 10% de combien varie le carré
de cette grandeur?
