PROBABILITÉS & STATISTIQUES 1) Selon, les lois de Mendel, une certaine variété de pois de senteur a une probabilité 1/4 de fleurir blanche et une probabilité 3/4 de fleurir rouge. Combien faut-il observer de fleurs de cette espèce pour que la fréquence du nombre de fleurs blanches ne s’écarte pas de plus de 0.05 de la fréquence observée, en admettant 1 % d’erreur ? Corrigé : notons qu’il est nécessaire de définir 2 « seuils » : l’écart à l’espérance mathématique, ici 0.05 et la probabilité d’erreur (que l’on désigne souvent par « risque ») ici 1 %. On note X1, X2, … Xn les résultats (1 pour « blanche » avec une probabilité p = 0.25 et 0 pour « rouge » avec une probabilité q = 0.75) d’une observation de n fleurs, traités comme des tirages aléatoires indépendants. On note n la fréquence de fleurs blanches pour un nombre n de fleurs observées : n = (X1 + X2 + … + Xn) / n = Sn / n, où la v.a. Sn suit une loi binomiale B (n, p), soit : E ( Sn ) = n p et Var ( Sn ) = n p q, d’où : E ( n ) = p = 0.25 et Var ( n ) = p q / n = 0.25 x 0.75 / n = ( n )2 .= 2. L’inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff s’écrit : P [ | n – E ( n ) | > t ] < 1 / t2 Ou à l’inverse : P [ | n – E ( n ) | t ] 1 - 1 / t2 Ceci avec : 1 / t2 = 0.01 et donc : 1 - 1 / t2 = 0.99 avec : t = 10. Le problème posé se traduit par : t = 10 0.05, soit : 0.005 et : 2. = 0.25 x 0.75 / n 0.0052. Le calcul donne par conséquent : n 7500. 1