Formation Continue

1
PROBABILITÉS & STATISTIQUES
1) Selon, les lois de Mendel, une certaine variété de pois de senteur a une probabilité 1/4 de
fleurir blanche et une probabilité 3/4 de fleurir rouge. Combien faut-il observer de fleurs de cette
espèce pour que la fréquence du nombre de fleurs blanches ne s’écarte pas de plus de 0.05 de
la fréquence observée, en admettant 1 % d’erreur ?
Corrigé : notons qu’il est nécessaire de définir 2 « seuils » : l’écart à l’espérance mathématique,
ici 0.05 et la probabilité d’erreur (que l’on désigne souvent par « risque ») ici 1 %.
On note X1, X2, … Xn les résultats (1 pour « blanche » avec une probabilité p = 0.25 et 0 pour
« rouge » avec une probabilité q = 0.75) d’une observation de n fleurs, traités comme des
tirages aléatoires indépendants.
On note n la fréquence de fleurs blanches pour un nombre n de fleurs observées :
n = (X1 + X2 + … + Xn) / n = Sn / n,
où la v.a. Sn suit une loi binomiale B (n, p), soit : E ( Sn ) = n p et Var ( Sn ) = n p q, d’où :
E ( n ) = p = 0.25 et Var ( n ) = p q / n = 0.25 x 0.75 / n =  ( n )2 .= 2.
L’inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff s’écrit : P [ | n – E ( n ) | >  t ] < 1 / t2
Ou à l’inverse : P [ | n – E ( n ) |   t ]  1 - 1 / t2
Ceci avec : 1 / t2 = 0.01 et donc : 1 - 1 / t2 = 0.99 avec : t = 10.
Le problème posé se traduit par :  t = 10   0.05, soit :
  0.005 et : 2. = 0.25 x 0.75 / n  0.0052.
Le calcul donne par conséquent : n  7500.