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LEMAZURIER 1 Equation du premier degré à une inconnue – Equation produit nul F ICHE TD 1 (5 PAGES) A C TIV ITE 1 1) Dans chaque cas, trouver la valeur du nombre manquant : a) 7 + ? = 15 b) 3 × ? = −12 c) ? × 7 = 0 d) ? + 5 = 2 e) −2 × ? = 0 2) Résoudre mentalement chacune des équations d’inconnue 𝑥 suivantes : a) 9 + 𝑥 = 21 b) −5 𝑥 = 30 c) 𝑥 × 19 = 0 d) 𝑥 + 9 = 3 e) −9 × 𝑥 = 0 3) On veut résoudre l’équation « 0 × 𝑥 = 8 » d’inconnue 𝑥. Expliquer pourquoi il n’existe pas de nombre 𝑥 qui vérifie cette égalité. On dit que cette équation n’adm et pas de solution. 4) On veut résoudre l’équation « 0 × 𝑥 = 0 » d’inconnue 𝑥. a) Proposer, si possible, 4 nombres différents vérifiant cette égalité. b) Proposer, si possible, un nombre ne vérifiant pas cette égalité. c) Combien y-­‐a-­‐t-­‐il de solution pour cette équation ? LEMAZURIER 2 Equation du premier degré à une inconnue – Equation produit nul A C TIV ITE 2 1) 𝑟 désigne un nombre quelconque. a) Calculer les produits 0 × 𝑟 et 𝑟 × 0. b) Que peut-­‐on dire du produit de deux facteurs dont l’un est égal à 0 ? 2) 𝑥 désigne un nombre quelconque. a) Résoudre l’équation suivante d’inconnue 𝑥: 457 × 𝑥 = 0. b) Résoudre l’équation suivante d’inconnue 𝑥: (−86) 𝑥 = 0. 3) 𝑡 et 𝑠 désignent des nombres quelconques tels que 𝑡 × 𝑠 = 0. Peut-­‐ on avoir : a) 𝑡 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑠 ≠ 0 ? b) 𝑡 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑠 = 0 ? c) 𝑡 = 0 𝑒𝑡 𝑠 ≠ 0 ? d) 𝑡 = 0 𝑒𝑡 𝑠 = 0 ? 4) Recopier et compléter les propriétés suivantes : « Si un produit a un facteur nul, alors ce produit est ………………………………………………… » « Si le produit de deux facteurs est nul, alors au moins un des ses …………………………….. » A C TIV ITE 3 On veut résoudre l’équation d’inconnue 𝑥 : 𝑥 − 5 7 + 𝑥 = 0. 1) Antoine a développé le premier membre de cette égalité. a) Quelle nouvelle equation obtient-­‐il alors ? b) Sait-­‐il résoudre l’équation obtenue ? Pourquoi ? 2) On dit que l’équation « 𝑥 − 5 7 + 𝑥 = 0 » est une équation produit nul. a) Expliquer pourquoi on l’appelle ainsi. b) Quels sont les facteurs du produit du premier membre de cette égalité ? c) Que peut-­‐ on dire des facteurs de cette équation produit nul ? d) Proposer deux valeurs de 𝑥 qui sont solutions de l’équation 𝑥 − 5 7 + 𝑥 = 0 . LEMAZURIER 3 Equation du premier degré à une inconnue – Equation produit nul E XERCI CE 1 Résoudre les équations d’inconnues 𝑥 suivantes : a) 5𝑥 + 8 = 25 b) 3𝑥 + 3 = (−27) c) 7𝑥 + 3 = 0 d) −2𝑥 + 1 = 5 e)
!
f)
!
!
!
𝑥 + 1 = 25 𝑥 + 4 = −5 g) 5𝑥 − 8 = 25 h) 12𝑥 − 3 = 24 i) 2𝑥 − 6 = −12 j)
−2𝑥 − 1 = 5 k) −12𝑥 − 6 = −144 l)
!
!
!
𝑥 − 4 = −5 m) ! 𝑥 − 6 = (−7) LEMAZURIER 4 Equation du premier degré à une inconnue – Equation produit nul E XERCI CE 2 Résoudre les équations d’inconnues 𝑥 suivantes : a)
𝑥 − 3 𝑥 + 4 = 0 b) 𝑥 2𝑥 + 6 = 0 c)
2𝑥 + 5 𝑥 − 7 = 0 d) 5𝑥 − 7 3 − 7𝑥 = 0 e)
3𝑥 + 64 4 − 5𝑥 = 0 f) 3 𝑥 − 2 = 0 g) 3𝑥 𝑥 − 2 = 0 h) (3 − 𝑥)(𝑥 − 2) = 0 i)
𝑥 − 5 𝑥 + 6 = 0 j)
2𝑥 + 7 9 − 𝑥 = 0 k) 4𝑥 − 6 9𝑥 + 5 = 0 l)
2𝑥 − 7 8𝑥 + 6 = 0 m) 2 𝑥 + 5 2𝑥 − 6 = 0 n) 5𝑥 3𝑥 + 4 = 0 o) 5𝑥 + 3 2𝑥 − 1 4𝑥 + 1 = 0 p) 𝑥 − 8 7𝑥 − 7
q) (3𝑥 − 2)! = 0 r) (−7𝑥 + 21)! = 0 s) 9𝑥 ! − 16 = 0 !
2𝑥 − ! = 0 LEMAZURIER 5 Equation du premier degré à une inconnue – Equation produit nul E XERCI CE 3 On donne 𝐺 = (𝑥 − 5)! − 𝑥 − 5 7 − 2𝑥 1)
2)
3)
4)
Développer et réduire G. Factoriser G. Calculer G pour 𝑥 = −3 . Résoudre l’équation d’inconnue 𝑥, 𝑥 − 5 3𝑥 − 12 = 0. E XERCI CE 4 On considère l’expression suivante : 𝐸 = 9𝑥 ! − 25 + 3𝑥 − 5 2𝑥 + 15 . 1) Développer et réduire E. 2) On veut factoriser E. Pour cela : a) Factoriser 9𝑥 ! − 25. b) En déduire la forme factorisée de E. 3) Résoudre l’équation d’inconnue 𝑥, 3𝑥 − 5 5𝑥 + 20 = 0. E XERCI CE 5 -­‐D’ A PR ES BR EVET 2 00 6 -­‐ On donne 𝐻 = (2𝑥 − 1)! + 2𝑥 − 1 3𝑥 + 5 . 1) Développer et réduire H. 2) Calculer H pour 𝑥 =
!!
!
. 3) Factoriser H. 4) Résoudre l’équation d’inconnue 𝑥, 𝐻 = 0. E XERCI CE 5 -­‐D’ A PR ES BR EVET 2 00 4 -­‐ On donne 𝐴 = 4𝑥 + 5 𝑥 − 2 − 𝑥 𝑥 + 4 et 𝐵 = 3𝑥 − 10 𝑥 + 1 . 1) Démontrer que A = B. 2) En déduire les solutions de l’équation d’inconnue 𝑥, 𝐴 = 0.