Exemple

MATHÉMATIQUES
L1 Second Semestre
Armand Taranco
BIBLIOGRAPHIE
•Dupont : Algèbre pour les sciences économiques, Flash U,
A. Colin.
•Bernard Guerrien, Isabelle This : Les mathématiques de la
microéconomie, Economica, édition de poche.
•Lecoutre : Mathématiques pour sciences économiques.
Exercices corrigés avec rappels de cours, Masson.
ALGEBRE LINEAIRE
•
•
•
•
•
•
Espaces vectoriels
Applications linéaires
Matrices
Déterminants
Systèmes linéaires
Inversion des matrices
ESPACES VECTORIELS
• Définition d’un espace vectoriel
E est un espace vectoriel réel (e.v.r.) s'il est muni de deux
lois de composition :
• Une loi de composition interne, appelée addition des
vecteurs, qui fait de E un groupe commutatif :
EV1 : l'addition est associative : x + (y + z) = (x + y) + z
EV2 : l'addition est commutative : x + y = y + x.
EV3 : l'addition possède un élément neutre, noté 0E :
x + 0E = x
EV4 : tout élément x de E possède un symétrique pour
l'addition, noté – x : x + (–x) = 0E
ESPACES VECTORIELS
• Une loi de composition externe, appelée multiplication
par les réels, possédant, les propriétés suivantes :
EV5 : la multiplication par les réels est distributive par
rapport à l'addition des nombres réels :
(l + µ).x = l.x + µ.x
EV6 : la multiplication par les réels est distributive par
rapport à l'addition des vecteurs (éléments de E) :
l.(x + y) = l.x + l.y
EV7 : la multiplication par les réels est associative :
(l.µ).x = l.(µ.x)
EV8 : la multiplication par le réel 1 est neutre :
1.x = x
ESPACES VECTORIELS
Exemples
- R, muni de l’addition est un e.v.r.
- Rn = { (x1,…,xn) / x1 R,…, xn R }, muni de la somme :
(x1,…,xn) + (y1,…,yn) = (x1 + y1,…,xn + yn)
et de la multiplication par les réels :
l.(x1,…,xn) = (l.x1,…, l.xn)
- A (D, R), l’ensemble des applications de D dans R
muni des deux lois :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) pour tout x dans D
(l.f)(x) = l.f(x) pour tout x dans D
ESPACES VECTORIELS
• Sous espace vectoriel
Une partie F d’un e.v.r. E est un sous espace vectoriel
de E si et seulement si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
1) Pour tout v et tout w dans F, v + w est dans F
2) Pour tout v dans F et tout l dans R, l.v est dans F
On dit aussi que F est une partie stable pour l’addition
des vecteurs et la multiplication par les réels.
ESPACES VECTORIELS
• Propriété 1
Une partie F d’un e.v.r. E est un sous espace vectoriel
de E si et seulement si F muni de l’addition de E et de la
multiplication par les réels est un e.v.r..
• Propriété 2
Une partie F d’un e.v.r. E est un sous espace vectoriel
de E si et seulement si :
pour tout u et tout v dans F, pour tout l et tout m dans R
l.u + m.v est dans F.
ESPACES VECTORIELS
Remarques
Pour montrer qu’une partie F d’un e.v.r. E est un sous
espace vectoriel de E il faut :
- Vérifier d’abord que F est une partie non vide de E
- Utiliser ensuite la définition ou la propriété 2.
• Combinaison linéaire
Etant donné p vecteurs v1,…,vp d’un e.v.r. E, une
combinaison linéaire des p vecteurs v1,…,vp est un
vecteur u de E s’écrivant :
u = l1.v1 +…+lp.vp, li appartenant à R pour tout 1≤ i ≤ p
ESPACES VECTORIELS
• Sous espace vectoriel engendré par {u1, …, up }
Etant donné p vecteurs u1,…,up d’un e.v.r. E,
p


F  v  E / v   l i u i , l i R
i 1


est un sous espace vectoriel de E appelé sous espace
vectoriel engendré par { u1, …, up }.
Notation : F = < u1, …, up >
ESPACES VECTORIELS
Démonstration
• F n’est pas une partie vide car 0E F :
0E = 0. u1 +…+ 0. up
• F est un sous espace vectoriel de E :
- Si v et w appartiennent à F alors
v = l1.u1 +…+lp.up et w = m1.u1 +…+mp.up
v + w = (l1+ m1).u1 +…+ (lp+ mp).up
Par conséquent v + w  F
- Si v  F et m  R, alors
m.v = m(l1.u1 +…+lp.up)
m.v = ml1.u1 +…+mlp.up
Par conséquent m.v  F
ESPACES VECTORIELS
Exemple
F = < (1,1), (2,2)> est un sous espace vectoriel de R2,
mais F ≠ R2.
Par exemple, le vecteur (3,4) n’est pas dans F.
F = { u = l.(1,1) + m.(2,2) / lR, mR }
ESPACES VECTORIELS
• Parties génératrices
Etant donné p vecteurs u1,…,up d’un e.v.r. E,
{ u1,…,up } est une partie génératrice de E si et seulement si :
E = < u1, …, up >
Remarque :
{u1,…,up } est une partie génératrice de E si et seulement si :
Pour tout v de E, on peut trouver l1,…, lp dans R tel que :
v = l1.u1 +…+lp.up
ESPACES VECTORIELS
Exercice
Montrer que {(1,0), (0,1)} est une partie génératrice de
R2.
Il faut montrer que pour chaque vecteur u de R2, on peut
trouver
l et m tel que l’on ait : u = l. (1,0) + m. (0,1).
u s’écrit : u = (x,y).
(x,y) = l. (1,0) + m. (0,1)
(x,y) = (l,0) + (0,m)
(x,y) = (l, m)
On choisit l = x et m = y.
ESPACES VECTORIELS
• Propriété
Toute partie de E contenant une partie génératrice de E
est aussi une partie génératrice de E.
• Dimension d’un espace vectoriel
Un e.v.r. est dit de dimension finie s’il existe une partie
génératrice de E contenant un nombre fini de vecteurs.
Exemple
E = R2 est un e.v.r. de dimension finie car :
R2 = < (1,0), (0,1)>
ESPACES VECTORIELS
• Parties libres
Etant donné p vecteurs u1,…,up d’un e.v.r. E,
{ u1,…,up } est une partie libre de E si et seulement si :
p
l u
i 1
i
i
 0E  l i  0 pour tout 1  i  p
On dit alors que les vecteurs u1,…,up sont linéairement
indépendants.
Propriété
Toute partie extraite d’une partie libre de E est une partie
libre de E.
ESPACES VECTORIELS
Exemple
{(1,0), (0,1)} est une partie libre de R2.
En effet, si
2
 l i ui  0R
2
i 1
alors
l1.(1,0) + l2.(0,1) = (0,0)
(l1, l2) = (0,0)
D’où :
l1 = 0 et l2 = 0
ESPACES VECTORIELS
• Exercice
Montrer que {(1,1), (2,2)} n’est pas une partie libre de R2.
En effet,
l1.(1,1) + l2.(2,2) = (0,0)
entraîne :
l1 + 2l2 = 0
Par conséquent, on n’a pas nécessairement
l1 = 0 et l2 = 0
ESPACES VECTORIELS
• Partie liée
Une partie { u1,…,up } d’un espace vectoriel qui n’est pas
libre est dite liée.
On dit alors que les vecteurs { u1,…,up } sont linéairement
dépendants.
Exemple
{(1,0,0), (1,1,1), (-1,-2,-2)} est une partie liée.
ESPACES VECTORIELS
Cela signifie qu’il existe des réels l1, l2, l3 non tous nuls
tel que l’on ait :
l1.(1,0,0) + l2.(1,1,1) + l3.(-1,-2,-2) = (0,0,0)
(l1 + l2 - l3, l2 -2 l3, l2 -2 l3) = (0,0,0)
D’où le système :
l1 + l2 - l3 = 0
l2 - 2 l3 = 0
l2 = 2 l3
l1 = - l3
On peut choisir l1 = -1, l2 = 2, l3 = 1
D’où : -(1,0,0) + 2(1,1,1) + (-1,-2,-2) = (0,0,0)
ESPACES VECTORIELS
• Bases
Etant donné un e.v.r. de dimension finie n, une base de E
est un ensemble constitué de n vecteurs de E, { e1,…,en }
tel que tout vecteur u de E s’écrive d’une façon unique
sous la forme :
n
u   l i ei
i 1
Les li sont les composantes du vecteur u relativement à la
base { e1,…,en }.
ESPACES VECTORIELS
Exemple
{(1,0), (0,1)} est une base de R2.
En effet, si u = (x,y) est un vecteur quelconque de R2, il
existe l1 et l2 tel que l’on ait :
(x,y) = l1.(1,0) + l2.(0,1)
(x,y) = x.(1,0) + y.(0,1)
D’où l1 = x et l2 = y.
ESPACES VECTORIELS
Propriété caractéristique
{ e1,…,en } est une base de E si et seulement si { e1,…,en } est
une partie génératrice libre de E.
démonstration :
- Supposons que { e1,…,en } soit une base de E. C’est donc
une partie génératrice de E. Montrons qu’elle est libre.
n
l
i 1
i
e i  0 E  0.e1  ...  0.e n
La décomposition étant unique, les li sont tous nuls.
ESPACES VECTORIELS
• Réciproquement, supposons que { e1,…,en } soit une partie
génératrice libre de E.
n
u   l i ei
i 1
n
Soit
u   m i ei
une autre décomposition de u.
i 1
n
l
i 1
n
i
ei   m i ei
i 1

n
 (l
i 1
i
 m i e i  0 E
Comme { e1,…,en } est une partie libre, li = mi pour 1≤i≤n
u s’écrit donc d’une façon unique :
n
u   l i ei
i 1
et { e1,…,en } est une base de E.
ESPACES VECTORIELS
• Comment montrer qu’une partie { e1,…,en } d’un
espace vectoriel E est une base ?
1) On ne connaît pas la dimension de E. On utilise alors
soit la définition soit la propriété caractéristique.
2) On connaît la dimension n de E. On montre alors que
{ e1,…,en } est une partie libre.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Définition
E et F deux espaces vectoriels réels
f:E→F
u → f(u)
f est linéaire si et seulement si les deux
conditions suivantes sont vérifiées :
f(u + v) = f(u) + f(v) pour tout u  E et tout v  E
f(l.u) =lf(u) pour tout u
 E et tout l R
APPLICATIONS LINEAIRES
• Exemples
- E = R, F = R
f(x) = ax
- E = R2, F = R
f : R2 → F
(x,y) → f(x,y)
f(x,y) = ax + by
- E = R2, F = R2
f(x,y) = (2x + 3y , x – y)
APPLICATIONS LINEAIRES
• Propriété caractéristique
f : E → F est linéaire si et seulement si :
pour tout l R, tout m R, tout u  E, tout v  E
f(l.u + m.v) = lf(u) + mf(v)
• Propriété
Si f : E → F est linéaire alors f(0E) = 0F
APPLICATIONS LINEAIRES
• Caractérisation d’une application linéaire
Théorème : soit { e1,…,en } une base d’un e.v.r. E et
{ v1,…,vn } n vecteurs d’un e.v.r. F.
Alors, il existe une application linéaire unique f : E → F
vérifiant :
f(ei) = vi
pour i =1,…,n
f est entièrement déterminée par les images
des éléments d’une base de E.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Démonstration :
Soit u  E, alors u s’écrit d’une façon unique :
n
u   l i ei
i 1
Soit f une application linéaire de E dans F :
f(u) = f(l1e1 +…+lnen) = l1f(e1) +…+lnf(en)
f(u) = l1v1 +…+lnvn
Si l’on prend comme définition den f :
f(u) = l1v1 +…+lnvn , pour u   l i e i
i 1
f est linéaire et vérifie :
f(ei) = vi pour i =1,…,n
APPLICATIONS LINEAIRES
• Exemple
Déterminer l’application linéaire f : R2 → R vérifiant :
f(1,0) = 3 et f(0,1) = 2
Comme les vecteurs e1 = (1,0) et e2 = (0,1) forment une
base de R2, le théorème précédent montre qu’une telle
application existe et est unique.
Pour (x,y)  R2, on a :
(x,y) = x.(1,0) + y.(0,1)
f(x,y) = 3x + 2y
APPLICATIONS LINEAIRES
• Composition des applications linéaires
f : E → F, g : F → G deux applications linéaires
alors h = gof : E → G est une application linéaire.
démonstration :
h(l.u + m.v) = g(f(l.u + m.v))
h(l.u + m.v) = g(lf(u) + mf(v))
h(l.u + m.v) = lgof(u) + mgof(v)
pour tout l, m dans R et tout u, v dans E.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Noyau d’une application linéaire
Définition : soit f : E → F une application linéaire.
Le noyau de f, noté Kerf, est défini par :
Kerf = {u  E / f(u) =0F}
0F
APPLICATIONS LINEAIRES
Propriété
Si f : E → F est une application linéaire, alors Kerf est un
s.e.v. de E.
Démonstration
Kerf n’est pas vide car 0E  Kerf.
Soit u et v deux vecteurs quelconques de Kerf et l, m
deux réels quelconques.
f(lu + mv) = lf(u) + mf(v) (f est linéaire)
f(lu + mv) = l0F + m0F (u et v sont dans Kerf)
f(lu + mv) = 0F
Par conséquent, lu + mv est dans Kerf.
Kerf est donc un s.e.v. de E.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Exemple
Soit f : R2 → R2 définie par :
f(x,y) = (x+y,x+y)
(f est linéaire, le vérifier)
Kerf = {(x,y)  R2 / f(x,y) = 0R2}
Kerf = {(x,y)  R2 / f(x,y) = (0,0)}
Kerf = {(x,y)  R2 / x + y = 0}
Kerf = {(x,-x)  R2 / x R}
Kerf = {x.(1,-1), x R}
Kerf = < (1,-1) >
APPLICATIONS LINEAIRES
• Caractérisation des injections linéaires
Soit f : E → F une application linéaire. Alors f est
injective si et seulement :
Kerf = {0E}
démonstration : supposons f injective.
Soit u  Kerf, alors f(u) = 0F.
Mais f est injective, d’où u = 0E
Donc Kerf = {0E}.
APPLICATIONS LINEAIRES
Réciproquement, supposons Kerf = {0E}.
Si f(u) = f(v) alors f(u) – f(v) = 0F.
Comme f est linéaire, f(u) – f(v) =f(u – v) = 0F.
Par conséquent, u – v  Kerf.
Mais Kerf = {0E}, donc u – v = 0E et u = v.
f est donc injective.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Image d’une application linéaire
Définition : soit f : E → F une application linéaire.
L’image de f, notée Imf, est l’ensemble f(E) :
Imf = {v F / v = f(u), u E}
APPLICATIONS LINEAIRES
• Propriété
Si f : E → F est une application linéaire, alors Imf est un
s.e.v. de F.
Démonstration
Imf n’est pas vide car 0F  Imf.
Soit v1 et v2 deux vecteurs quelconques de Imf et l1, l2
deux réels quelconques.
Alors il existe deux vecteurs u1 et u2 de E tel que l’on ait :
v1 = f(u1) et v2 = f(u2).
l1.v1 + l2.v2 = l1.f(u1) + l2.f(u2) = f(l1.u1 + l2.u2)
Donc (l1.v1 + l2.v2)  Imf
APPLICATIONS LINEAIRES
• Caractérisation des surjections linéaires
Soit f : E → F une application linéaire. Alors f est
surjective si et seulement :
Imf = F
démonstration :
On a toujours : Imf ⊂ F.
f est surjective si et seulement si :
Pour tout v  F il existe u  E tel que f(u) = v.
Donc, v  Imf et F ⊂ Imf.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Caractérisation des bijections linéaires
Soit f : E → F une application linéaire. Alors f est
bijective si et seulement :
Kerf = {0E} et Imf = F
• Théorème
Soit f : E → F une application linéaire bijective. Alors f-1
est une application linéaire de F dans E.
APPLICATIONS LINEAIRES
• Exemple
Soit f : R2 → R2 définie par :
f(x,y) = (x+y,x+y)
Imf = {f(x,y) / (x,y)  R2}
Imf = {(x+y,x+y) / (x,y)  R2}
Imf = {(x+y).(1,1) / (x,y)  R2}
Imf = {l.(1,1) / l  R}
Imf = <(1,1)>
Kerf = <(1,-1)>
APPLICATIONS LINEAIRES
• Rang d’une application linéaire
Définition : le rang d’une application linéaire f : E → F
est la dimension de l’espace vectoriel Imf.
rg(f) = dim(Imf)
Remarque : étant donné une base { e1,…,en } de E, le
rang de f est égal au nombre maximum de vecteurs
linéairement indépendants de {f(e1),…,f(en)}.
Théorème noyau / image : soit E et F deux espaces
vectoriels de dimension finie et f : E → F une application
linéaire. Alors on a :
dimE = dim(Kerf) + dim(Imf)
APPLICATIONS LINEAIRES
•
•
Conséquences pratiques
soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et
f : E → F une application linéaire.
– f est injective si et seulement si rg(f) = dimE.
– f est surjective si et seulement si rg(f) = dimF.
– f est bijective si et seulement si rg(f) = dimE = dimF.
Exemple
Soit f : R2 → R2 définie par :
f(x,y) = (x+y,x+y)
Imf = <(1,1)> → dimF = 1 = rg(f)
Kerf = <(1,-1)> → dim(Kerf) = 1
dim(R2) = 1 + 1 =2
MATRICES
• Définition
Une matrice M à n lignes et p colonnes est un tableau de
nombres réels comportant n lignes et p colonnes.
M=
a11
.
.
a12
.
.
…
.
aij
.
an1
.
an2
.
…
M = [aij]1≤i≤n, 1≤j≤p
a1p
.
.
.
anp
jème colonne
ième ligne
MATRICES
L’ensemble des matrices à n lignes et p
colonnes se note M (n,p).
Exemples
A
B





3 2,4
7





2
0 
2 lignes, 3 colonnes



5,3
3,1 2



1,5 6
B est une matrice carrée.
2 lignes, 2 colonnes
MATRICES
• Matrice identité
1 0
0 1 


1

0





0

1


d’ordre 2
d’ordre n (n lignes, n colonnes)
MATRICES
• Matrice diagonale
3,1 0 0 
 0 7,2 0 


 0
0 15
• Matrice triangulaire
5,3 4,3 10 8 
 0 3,2 0 7,5


0
0 12 1,4 


0 0 2,6
0
supérieure
9,2
 2,8

7

3
0 0
0 
7 0
0 
9 1
0 

0 5,2 7,4
inférieure
MATRICES
• Opérations sur les matrices
– Somme
A M (n,p), B M (n,p)
C=A+B
Cij = aij + bij
Exemple





1 2
A

3 6





2 6
B

4 8





3 8 
C  A B 

7 14
MATRICES
– Produit par un nombre réel
A M (n,p), l R
D = l.A
dij = laij
Exemple





1 2
A

3 6





1 2  5 10
5.A  5.




3 6 15 30
MATRICES
• Propriété de M (n,p)
M (n,p) muni de l’addition des matrices et du produit par
les nombres réels est un espace vectoriel de dimension
np. Une base de cet espace vectoriel est formée par les
matrices Iij, où Iij est la matrice ayant l’élément 1 à
l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne et ne
comportant que des zéros ailleurs.
MATRICES
Exemple
a
c

a
c

b
1 0 0 1 0 0
0 0 
 a
 b
 c
 d





d
0 0 0 0 1 0
0 1 
b
 aI11  bI12  cI21  d I22

d
MATRICES
• Produit de deux matrices
A M (n,p), B M (p,m)
C=AxB
CM (n,m)
C = [cij]1≤i≤n, 1≤j≤m
p
c ij   a ik b kj
k 1
MATRICES
Exemple
1 2 3
A

2
5
4


 2 1
B   7 5
 3 2
 1 2  2  7  3  3 1 1  2  5  3  2 
C  A B  

2

2

5

7

4

3
2

1

5

5

4

2


25 17 
C  A B  

51
35


MATRICES
• Propriétés
A x (B + C) = A x B + A x C
A x(B x C) = (A x B) x C
Remarques
1) En général, A x B ≠ B x A.
Il se peut même que B x A ne soit pas défini.
2) A x B = A x C ⇏ C = B
MATRICES
• Transposition
Soit M = [aij]. La transposée de M, notée tM, est la
matrice dont les éléments sont aji.
Exemple
1 2 3
M 

1
1
2


1 1 
t
M  2 1
3 2
MATRICES
Propriétés de la transposition
t(M+P) = tM + tP
t(AB) = tBtA
t(tM) = M
Définition
Une matrice M est symétrique si et seulement si M = tM.
Remarque
Une matrice symétrique est forcément carrée.
MATRICES
• Lien entre matrices et applications linéaires
– A toute matrice MM (n,p) on peut associer une
application linéaire :
f : Rp
Rn
X
Y = M.X
– A toute application linéaire f : Rp
Rn, on
peut associer une matrice qui dépend du choix de la
base { e1,…,ep } dans l’espace de départ et du choix
de la base { f1,…,fn } dans l’espace d’arrivée.
MATRICES
g(e 1 )  g(e p )
a11  a1p 


 
 
a n1  a np 


g(e 1 )  a11f1    a n1fn

g(e p )  a1p f1    a np fn
f1

fn
MATRICES
Exemple
f : R2 → R2
f(x,y) = (5x + 2y,8x +3y)
{(1,0), (0,1)}, la base canonique de R2 (espace de départ
et d’arrivée).
f(1,0) = (5,8)
f(0,1) = (2,3)
Matrice associée à f :
5 2
8 3


MATRICES
Exemple
f : R2 → R2
f(x,y) = (5x + 2y,8x +3y)
{(1,1), (1,0)} comme base de l’espace de départ
et {(1,0), (0,1)} comme base de l’espace d’arrivée.
f(1,1) = (7,11)
f(1,0) = (5,8)
Matrice associée à f :
 7 5
11 8


DETERMINANTS
Le déterminant d’une matrice n’est défini que pour une
matrice carrée.
• Déterminant d’ordre 2
a b
A

c
d


detA  ad  bc
Notations
detA
ou
a b
c d
DETERMINANTS
• Déterminant d’ordre 3
a b c 
A  a' b' c' 
a' ' b' ' c' '
Mineur Mij : déterminant de la sous matrice obtenue en
supprimant la ième ligne et la jème colonne
a b c 
a' b' c' 


a' ' b' ' c' '
M11
DETERMINANTS
a b c 
A  a' b' c' 
a' ' b' ' c' '
b c
M21 
b' ' c' '
b c
M31 
b' c'
DETERMINANTS
• Déterminant d’ordre 3
On peut développer un déterminant suivant une ligne ou
une colonne.
Suivant la première colonne :
detA = a M11 – a’M21 + a’’M31
Suivant la première ligne :
detA = a M11 – bM12 + cM13
Le signe que l’on met devant le mineur Mij est (-1)i+j.
DETERMINANTS
Exemple
2 - 1 3
A  1 2 0
5 0 1 
Suivant la deuxième ligne :
detA  
1 3
0
1
2
detA  1  2(2  15)
detA  25
2 3
5 1
0
2 1
5
0
DETERMINANTS
• Propriétés des déterminants d’ordre 2
λa λb
a b
l
c d
c d
λa λb
b
2 a
λ
λc λd
c d
c d
a b

a b
c d
a
b
la lb
0
DETERMINANTS
a
b
a b a b


c  c' d  d' c d c' d'
a
b
a b

c  la d  lb c d
DETERMINANTS
• Déterminant d’ordre n
a11  a1n 
A    a ij
 
a n1  a nn 
n
detA   ( 1)i j a ijMij
j1
n
detA   ( 1)i j a ijMij
i1
Mij est un mineur d’ordre (n - 1) obtenu en supprimant la
ième ligne et la jème colonne.
Remarque : pour simplifier les calculs, choisir une ligne
ou une colonne comportant le maximum de zéros.
DETERMINANTS
•
Propriétés
Soit A une matrice carrée d’ordre n
1) det(lA) = ln detA
2) det(tA) = detA
3) det(A.B) = detA .detB
4) det(An) = (detA)n
DETERMINANTS
•
Propriétés (suite)
5) Déterminant d’une matrice diagonale
 λ1
0 
  λ   λ
det 

1
n

 0
λn 
6) Déterminant d’une matrice triangulaire
 λ1

  λ   λ
det 

1
n

0

λn 
DETERMINANTS
•
Propriétés (suite)
7) Déterminant d’une matrice inversible
Soit A une matrice inversible, c’est-à-dire, une
1
matrice A telle qu’il existe une matrice A vérifiant :
A.A 1  A 1.A  In
1
Alors detA ≠0 et det(A ) 
detA
1
DETERMINANTS
•
Propriétés (suite)
8) Manipulation sur les lignes



det l



l1

li

ln






  l det 






l1

li

ln







DETERMINANTS
• Propriétés (suite)
8)Manipulation sur les lignes



det 




l1

li   l j l j
j i

ln






  det 







l1

li

ln







DETERMINANTS
• Vecteurs linéairement indépendants de Rn
Soit { u1,…,un } n vecteurs de Rn. Alors u1,…,un sont
linéairement indépendants si et seulement si le
déterminant de la matrice dont les colonnes sont formées
par ces vecteurs est différent de 0.
Exemple
1
0
Les vecteurs   et   sont linéairement indépendants
0
car :
1 0
det 
0

0 1 
1
DETERMINANTS
• Rang d’un système de vecteurs
Le rang du système de vecteurs {u1,…,un} est l’ordre du
plus grand sous déterminant non nul que l’on peut
extraire de la matrice dont les colonnes sont constituées
par ces vecteurs.
Exemple
 1
 
 0
u1   
2
 
 0
 
 1
 
 2
u2   
1
 
 1
 
0
 
 1
u3   
0
 
 1
 
DETERMINANTS
Matrice associée à {u1, u2, u3}
 1
 0

 2

 0
1
2
1
1
0
1
0

1
1 1 0
0 2 1  3  0
2 1 0
Rang {u1, u2, u3} = 3. Les vecteurs {u1, u2, u3} forme une
partie libre de R4.
SYSTEMES LINEAIRES
• Système linéaire
Y=AX
A : matrice à n lignes et p colonnes
X un vecteur de Rp, Y un vecteur de Rn.
Ce système s’écrit :
a11x1 +…+ a1pxp = y1
…
an1x1+…+ anpxp = yn
n équations, p inconnues.
Une solution de ce système est un p-uplet (x1,…,xp) qui
vérifie les n équations.
SYSTEMES LINEAIRES
• Système de Cramer
Y=AX
A : matrice carrée d’ordre n
Si detA ≠0, le système admet une solution unique. On dit
que c’est un système de Cramer.
On peut écrire la solution de cette équation sous la
forme de rapports de déterminants.
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
 x  y  2z  4
 x  y  z  11
2x  y  z  8
 -1 1 - 2


A   - 1 - 1 - 1
 2 1 - 1


C’est un système de Cramer car :
-1 1 - 2
det A  - 1 - 1 - 1  7  0
2 1 -1
SYSTEMES LINEAIRES
 x  y  2z   4
 x  y  z   11
2x  y  z 
8
La solution s’écrit :
-4
1 -2
- 11 - 1 - 1
8
1 - 1  21
x

3 y
-1 1 - 2
7
-1 -1 -1
2
1 -1
-1 - 4 - 2
- 1 - 11 - 1
2
8 - 1  35

5
-1 1 - 2
7
-1 -1 -1
2
1 -1
-1 1 - 4
- 1 - 1 - 11
2 1 - 8  21
z

3
-1 1 - 2
7
-1 -1 -1
2
1 -1
SYSTEMES LINEAIRES
Remarque
Cette méthode est peu utilisable pour résoudre
numériquement des systèmes réels (n élevé).
Elle a surtout un intérêt théorique.
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot de Gauss
Le principe de la méthode consiste à éliminer une ou
plusieurs variables par combinaisons linéaires entre les
équations du système pour le transformer en un système
triangulaire facile à résoudre.
• Cas p = n
Il y a autant d’équations que d’inconnues
Exemple :
2x  3y  2z  21
x  4y  z  1
- x  2y  z  17
SYSTEMES LINEAIRES
• Représentation du système linéaire par une matrice
2x  3y  2z  21
x  4y  z  1
- x  2y  z  17
 2

 1
 1

3
2 21

4  1 1
2
1 17 
SYSTEMES LINEAIRES
• Recherche dans la première colonne d’un nombre égal à
1 (appelé pivot)
 2

 1
 1

3
2 21

4  1 1
2
1 17 
SYSTEMES LINEAIRES
• Echanger la ligne du pivot avec la première ligne
2 3
1
1
2 21
4 1
2
1
1 17
SYSTEMES LINEAIRES
• Faire apparaître des zéros sous le pivot de la première
colonne
1
4 1
2 3
1
2
1
2 21
1 17
1
4 1
0  11
1
X
4 19
Multiplier par 2 la ligne du pivot
Soustraire le résultat de la deuxième ligne
2
SYSTEMES LINEAIRES
• Faire apparaître des zéros sous le pivot de la première
colonne
Multiplier la ligne
du pivot par (-1)
et soustraire de
la troisième ligne
4
 1

 0  11
 1
2

1 1

4 19 
1 17 
4
1

 0  11
0
6

 1 1

4 19 
0 18 
SYSTEMES LINEAIRES
• On ne modifie plus la première ligne
• On passe à la deuxième colonne
1
4 1
1
1
0  11
40 193
0
0
6
18
• On permute la deuxième et troisième ligne
• Il n’y a pas de 1 dans la deuxième colonne : on divise
par 6 la deuxième ligne
SYSTEMES LINEAIRES
• Faire apparaître un zéro sous le 1 de la deuxième
colonne
4
1

1
0
 0  11

1 1

0 3
4 19 
Pour cela, on multiplie la deuxième ligne (ligne du pivot)
par (-11) et on la retranche de la troisième.
1

0
0

4
1
0
1 1

0 3
4 52 
SYSTEMES LINEAIRES
• On ne modifie plus la deuxième ligne.
1

0
0

4
1
0
1 1

0 3
4 52 
• On fait apparaître un 1 dans la troisième colonne
(dernier pivot) à la troisième ligne.
1

0
0

4
1
0
1 1

0 3
1 13 
SYSTEMES LINEAIRES
• Retour au système d’équations
Le système décrit par la matrice :
1

0
0

4
1
0
1 1

0 3
1 13 
correspond au système triangulaire d’équations :
x  4y
y
z 1
 3
z  13
SYSTEMES LINEAIRES
• Solution du système triangulaire
x  4y
y
z = 13
y= 3
x= 2
z 1
 3
z  13
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
Etape 1 : construire le tableau :
 a11  a1n

 
a  a
in
 i1
 
a
 n1  ann
y1 

 
y i   Li

 
y n 
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
Etape 2
• Si a11  1, passer à l’étape 3. On appelle a11 le
pivot.
• Si a11  1, et
a11  0, diviser la ligne L1 par a11
et passer à l’étape 3.
• Si a11  0 , on choisit dans la première colonne de
A un élément ai1  0 . On échange ensuite la ligne
du pivot avec la première ligne.
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
Etape 3
Pour chaque i  {2,…,n} on remplace la ligne Li par
Li –ai1L1, on obtient la matrice :
~
1  a
1n


~
0  a
in


0  a
~
nn

~
y1 

 
~
yi 

 
~
yn 
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
On poursuit alors par itération sur les colonnes :
on retourne à l’étape 1, mais en considérant la deuxième
~
colonne, puis la troisième,…jusqu’au pivot a
n -1n -1.
Remarques
- Si au cours du processus on tombe sur une ligne ne
comportant que des zéros, on la supprime.
- S’il apparaît une ligne composée de zéros sauf pour la
dernière colonne, le système n’a pas de solution.
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
On peut transformer le système linéaire triangulaire
obtenu en un système linéaire diagonal et lire
directement la solution lorsqu’il y en a une.
Reprenons la matrice obtenue dans l’exemple
précédent.
1

0
0

4
1
0
1 1

0 3
1 13 
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
On part de la troisième colonne et on fait apparaître des
zéros au dessus de la dernière ligne par la même
méthode que précédemment.
1

0
0

4
1

0
0

4
1
0
1
0
1 1

0 3
1 13 
0 14 

0 3
1 13 
 L1  L 3
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p=n
On continue avec la deuxième colonne.
1

0
0

1

0
0

4
1
0
0
1
0
0 14 

0 3
1 13 
0 2

0 3
1 13 
 L1  4L 2
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p≠n
Soit r le rang de la matrice A. Supposons n<p et r=n.
Exemple
 x  y  2z  1
2x  y  z  2
 1 1  2 1


 2 1 1 2
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
 1 1  2 1


 2 1 1 2
 1 -1 2 1 


 2 1 1 2
 L1  (-1)
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
 1 -1 2 1 


 2 1 1 2
 1 - 1 2  1


0 3 - 3 4
 1 -1 2 1 


 0 1 - 1 4 / 3
 1 0 1 1/ 3 


 0 1 - 1 4 / 3
 L2 - 2L1
 L 2 /3
 L1  L 2
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
 1 0 1 1/ 3 


 0 1 - 1 4 / 3
On remarque que le rang de la nouvelle matrice A est 2
car :
1 0
1 0
0 1
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
 1 0 1 1/ 3 


 0 1 - 1 4 / 3
On obtient donc le système d’équations :
x
 z  1/ 3
y - z  4/3
qui a une infinité de solutions s’exprimant à l’aide de la
variable auxiliaire z :
x  1/3  z
y  4/3  z
SYSTEMES LINEAIRES
• Méthode du pivot : cas p≠n
Soit r le rang de la matrice A. Supposons r<n≤p .
Exemple
x  y  z  1
x  y  2z  0
2x
 3z  1
1

1
2

1
1
0
1 1

2 0
3 1 
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
1

1
2

1

0
0

1
1
0
1
2
2
1 1

2 0
3 1 
1

1  1
1  1
1
 L 2 - L1
 L 3 - 2L1
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
1

0
0

1

 2 1  1
 2 1  1
1
1
1
1


1 1/ 2 1/ 2
0
0  2

1

1


1
1
1 1


 0 1 1/ 2 1/ 2
0 0

0
0


1
1
 L 2 /(-2)
 L 3  2L 2
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
1 1

0 1
0 0

1

1/ 2 1/ 2
0
0 
1 1

0 1
1
1

1/ 2 1/ 2
1
 1 0 3 / 2 1/ 2


 0 1 1/ 2 1/ 2
Supprimer la ligne de
zéros
 L1 - L 2
SYSTEMES LINEAIRES
Exemple
On revient au système exprimé par le dernier tableau.
 1 0 3 / 2 1/ 2


 0 1 1/ 2 1/ 2
3
1
x
 z
x  1/2  3z/2
2
2
1
1
y  1/2  z/2
y - z
2
2
Le système possède une infinité de solutions s ’écrivant
à l’aide de la variable auxiliaire z.
INVERSION DES MATRICES
Méthode du pivot de Gauss
• Principe du calcul de l’inverse d’une matrice carrée
Soit A une matrice carrée telle que detA≠0. Alors
l’inverse de A, noté A-1 existe.
Supposons par exemple que A est une matrice carrée
d’ordre 3. On cherche une matrice A-1 :
 x1

-1
A   y1
z
 1
AA 1
x2
y2
z2
x3 

y3 
z 3 
1 0 0


 0 1 0
0 0 1


INVERSION DES MATRICES
Ce problème est équivalent à la résolution de trois
systèmes linéaires :
 x1   1 
   
A   y1    0 
 z  0
 1  
 x2   0 
   
A   y2    1 
 z   0
 2  
 x3   0 
   
A   y3    0 
 z  1
 3  
On va appliquer la méthode du pivot de Gauss pour
résoudre simultanément ces trois systèmes.
INVERSION DES MATRICES
Exemple
 1 2 1


A   1 1 1
 3 1 1


Tableau représentant les trois systèmes à résoudre :
 1 2 1 1 0 0


A   1 1 1 0 1 0
3 1 1 0 0 1


INVERSION DES MATRICES
Exemple
 1 2 1 1 0 0


A   1 1 1 0 1 0
3 1 1 0 0 1


 1 2 1 1 0 0


A  0 -1 0 1 1 0
0 - 5 - 2  3 0 1


INVERSION DES MATRICES
Exemple
 1 2 1 1 0 0


A  0 -1 0 1 1 0
0 - 5 - 2  3 0 1


1 2 1 1

A  0 1 0 1
0 - 5 - 2  3

0

1 0
0 1 
0
 L 2  (-1)
INVERSION DES MATRICES
Exemple
1 2 1 1

A  0 1 0 1
0 - 5 - 2  3

1

A  0
0

0

1 0
0 1 
0
0 0

1 0 1 1 0
0 - 2 2  5 1 
2
1 1
INVERSION DES MATRICES
Exemple
1

A  0
0

0 0

1 0 1 1 0
0 - 2 2  5 1 
2
1 1
0
0 
1 2 1 1


A  0 1 0 1 1
0 
 0 0 1 1 5 / 2 1/ 2


 L3 /(-2)
INVERSION DES MATRICES
Exemple
1 2 0 2

A  0 1 0 1
0 0 1 1

5/ 2
1 0 0 0

A  0 1 0 1
0 0 1 1

1/ 2
I3
1
5/ 2
1
5/ 2
1/ 2 

0 
 1 / 2 
1/ 2 

0 
 1 / 2 
Inverse de A
INVERSION DES MATRICES
Méthode de la comatrice
• Exemple
 1 2 1


A   1 1 1
 3 1 1


Cofacteur de 1: (1)
11
Comatrice : matrice des cofacteurs
 0 2 - 2


Co(A)    1 - 2 5 
 1 0 -1


1 1
0
1 1
INVERSION DES MATRICES
Méthode de la comatrice
• Exemple (suite)
Transposée de la comatrice :
 0 -1 1 


t
Co(A)   2 - 2 0 
 - 2 5 - 1


Déterminant de A : det(A) = 2
Inverse de A
A 1
 0  1/2 1/2 


1 t

Co(A)   1
1
0 
detA
  1 5/2  1/2 


CALCUL INTEGRAL
•
•
•
•
•
Introduction
Intégrale de Riemann
Propriétés
Primitives
Techniques d’intégration
CALCUL INTEGRAL
• Aire d’une partie de R2
CALCUL INTEGRAL
• Approximation d’une aire
Approximation par défaut
Approximation par excès
CALCUL INTEGRAL
• Aire d’une région sous le graphe d’une fonction continue
sur [a,b]
CALCUL INTEGRAL
• Intégrale d’une fonction continue sur [a,b]
Soit f une fonction continue sur [a,b]. On partage le
segment [a,b] en n sous intervalles de même longueur
Δx  (b  a)/n et l’on pose : x 0  a, x 1 ,..., x n  b
*
x
Pour 1 ≤ i ≤ n, soit i un point du segment [xi-1, xi].
On appelle intégrale définie de f sur [a,b] le nombre
défini par :
CALCUL INTEGRAL
• Approximation d’une intégrale par une somme de
Riemann
La somme
s’appelle une somme de
Riemann.
milieu de