1 Parité et périodicité 2 Fonctions sinus et cosinus

1 Parité et périodicité
Dans ce paragraphe, fdésigne une fonction définie sur un ensemble D(intervalle ou réunion d’intervalles) et C
f
son graphe dans un repère du plan.
Définitions
•fest dite paire lorsque, pour tout xappartenant à D,(−x)appartient à Det f(−x) = f(x).
•fest dite impaire lorsque, pour tout xappartenant à D,(−x)appartient à Det f(−x) = −f(x).
Exemples
Les fonctions x7→ x2et x7→ |x|sont paires et les fonctions x7→ 1
xet x7→ x3sont impaires.
Propositions
•Si fest paire et si le repère est orthogonal alors C
fadmet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
•Si fest impaire alors C
fadmet l’origine du repère pour centre de symétrie.
Définition
Soit Tun réel strictement positif.
fest dite périodique de période Tlorsque, pour tout xappartenant à D,(x+T)appartient à Det f(x+T) = f(x).
Proposition
Si fest périodique de période T(T∈R∗
+)alors C
fest invariante par translation de vecteur T#»
ıoù #» ıdésigne le
vecteur unité sur l’axe des abscisses.
Remarque
Montrer qu’une fonction est paire, impaire ou périodique permet de réduire l’ensemble sur lequel on l’étudie.
2 Fonctions sinus et cosinus
Définitions
•On appelle fonction sinus, et on note sin, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel sin(x).
•On appelle fonction cosinus, et on note cos, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel cos(x).
Propositions
•P1 : La fonction sinus est définie sur R,2π−périodique, impaire et n’admet de limite ni en −∞, ni en +∞.
•P2 : La fonction cosinus est définie sur R,2π−périodique, paire et n’admet de limite ni en −∞, ni en +∞.
•P3 : La fonction sinus est dérivable sur Ret (sin)′= cos.
•P4 : La fonction cosinus est dérivable sur Ret (cos)′=−sin.
Bilan (Étude des fonctions sinus et cosinus)
•Tableau de variations de cos sur [−π;π]:
x
Sgn.
−sin
Var.
cos
−π
0
−1
+
0
0
1
−
π
0
−1
•Tableau de variations de sin sur [−π;π]:
x
Sgn.
cos
Var.
sin
−π
0
−
−π/2
0
−1
+
π
/2
0
1
−
π
0
3π
−π0π2π
1
−1
S
C

1 Parité et périodicité
Dans ce paragraphe, fdésigne une fonction définie sur un ensemble D(intervalle ou réunion d’intervalles) et C
f
son graphe dans un repère du plan.
Définitions
•fest dite paire lorsque, pour tout xappartenant à D,(−x)appartient à Det f(−x) = f(x).
•fest dite impaire lorsque, pour tout xappartenant à D,(−x)appartient à Det f(−x) = −f(x).
Exemples
Les fonctions x7→ x2et x7→ |x|sont paires et les fonctions x7→ 1
xet x7→ x3sont impaires.
Propositions
•Si fest paire et si le repère est orthogonal alors C
fadmet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
•Si fest impaire alors C
fadmet l’origine du repère pour centre de symétrie.
Définition
Soit Tun réel strictement positif.
fest dite périodique de période Tlorsque, pour tout xappartenant à D,(x+T)appartient à Det f(x+T) = f(x).
Proposition
Si fest périodique de période T(T∈R∗
+)alors C
fest invariante par translation de vecteur T#»
ıoù #» ıdésigne le
vecteur unité sur l’axe des abscisses.
Remarque
Montrer qu’une fonction est paire, impaire ou périodique permet de réduire l’ensemble sur lequel on l’étudie.
2 Fonctions sinus et cosinus
Définitions
•On appelle fonction sinus, et on note sin, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel sin(x).
•On appelle fonction cosinus, et on note cos, la fonction qui, à tout réel x, associe le réel cos(x).
Propositions
•P1 : La fonction sinus est définie sur R,2π−périodique, impaire et n’admet de limite ni en −∞, ni en +∞.
•P2 : La fonction cosinus est définie sur R,2π−périodique, paire et n’admet de limite ni en −∞, ni en +∞.
•P3 : La fonction sinus est dérivable sur Ret (sin)′= cos.
•P4 : La fonction cosinus est dérivable sur Ret (cos)′=−sin.
Bilan (Étude des fonctions sinus et cosinus)
•Tableau de variations de cos sur [−π;π]:
x
Sgn.
−sin
Var.
cos
−π
0
−1
+
0
0
1
−
π
0
−1
•Tableau de variations de sin sur [−π;π]:
x
Sgn.
cos
Var.
sin
−π
0
−
−π/2
0
−1
+
π
/2
0
1
−
π
0
3π
−π0π2π
1
−1
S
C