Cadenas de Markov

Hexagone régulier
Soit ABCDEF un hexagone régulier de centre O dont
les côtés mesurent 3cm, G et H les projetés
orthogonaux de C et B sur le droite (DA). Le repère
O; i, j
est orthonormal.


Pour dessiner un hexagone régulier
dont les côtés mesurent 3 cm, il suffit
de dessiner un cercle de 3 cm de
rayon et de reporter six fois le rayon
sur le cercle.
1º Calculez le produit
DO  DG
 DO mesure du vecteur DO et DG mesure du vecteur DG 
3 9
DO DG  3  
2 2
2º a) Quelle est la nature du triangle DCO? Déterminez les
longueurs de ses côtés et les mesures de ses angles.
C’est un triangle équilatéral, ses côtés mesurent 3 cm. et ses angles 60o

b) Calculez DO  DC  cos ODC


DO  DC  cos ODC  3  3  cos 60  3  3 

1 9

2 2
3º a) Calculez les longueurs OG et GC; déduisez-en
les coordonnées du point C.
3
OG 
2
2
9
27
3
GC  32     9  
4
4
2
 3 27 
C    ,

2
4


b) Quelles sont les coordonnées du point D?
D   3,0
c) Determinez les coordonnées (xD, yD) du
vecteur DO
DO   3,0 
puis les coordonnées (xC , yC) du vecteur DC
 3 27 
 3
  3 27 
27
DC    ,
 0    ,
   3, 0      3,

2
4
2
4
2
4



 

d) Calculez le nombre
x D · xC + y D · y C.
3
27 9
xD  xC  yD  yC  3   0 

2
4 2
4º a) Calculez le produit
DA DH
DA  DH  6 
9
 27
2
b) Démontrez que le triangle DBA est rectangle.
Les six triangles ont les côtes égaux, on déduit que
leurs angles mesurent 60o
Ce qui donne:
Puisque le triangle DBC a deux côtes égaux, alors il
a deux angles égaux qui mesurent 30o
Ce qui donne: l’angle ABD mesure 90o .
Alors le triangle ABD est un triangle rectangle
Calculez
cos ADB
cos ADB  cos 30 
3
2
Calculez la longueur DB
DB  62  32  36  9  27
Calculez le nombre
DB  DA  cos ADB
DB  DA  cos ADB  27  6  cos 30 
27  6 
3
81 6  9
 6

 27
2
2
2
c) Déterminez les coordonnées des points B et A
 3 27 
B   ,

2
4


A   3,0
Calculez les coordonnées (xB , yB) du vecteur DB
 3 27 
3
  9 27 
27
DB   ,


3,
0


3,

0
 
 
   ,

2
4
2
4
2
4



 

et les coordonnées (xA , yA ) du vecteur
DA
DA   3, 0    3, 0    6, 0 
Calculez le nombre xB · xA + yB · yA
9
27
xB  xA  yB  y A   6 
 0  27
2
4
Obtenez des conclusions.
Conclusions:1
3 9
DO  DG  3  
2 2


1 9
DO  DC cos ODC  3  3  cos 60  3  3  
2 2
3
27
9
xD  xC  yD  yC  3  
0 
2
4
2
On en déduit que:


DO  DC  cos ODC  DO  DG  xD  xC  yD  yC
Conclusions: 2
9
DA  DH  6   27
2


DB  DA  cos ADB  27  6 
3
81 6  9
 6

 27
2
2
2
9
27
xB  xA  yB  y A   6 
 0  27
2
4
On en déduit que:


DA  DH  DB  DA  cos ADB  xB  xA  yB  y A
Le produit scalaire
Définition du produit scalaire
 Théorème et définition:
Soit deux vecteurs
vect  u   u et vect  w  w
de coordonnées respectives (x , y) et (x' , y' ) dans
un repère ORTHONORME.
. Le nombre x·x' + y·y' ne dépend pas de la base
orthonormée choisie.
On l'appelle produit scalaire des vecteurs
u et w
et on le note u  w
u  w  x  x ' y  y '
Dans l'applet ci-dessous , (A,D) et ( A, C) sont des
représentants respectifs de vect(u)  u et vect(w)  w.
B est le projeté orthogonal de D sur la droite
(AC), et v  AB
Compare le produit scalaire
au produit scalaire
u w  AD  AC
v w  AB AC
N'hésite pas à te placer dans diverses situations
en déplaçant les points D et C.
Tu viens de découvrir une propriété du
produit scalaire que nous
ne manquerons pas de démontrer.