cours trigonometrie

Chapitre 4 : Trigonométrie
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Chapitre 4 : Trigonométrie
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I. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
1. Le cercle trigonométrique
Définition
Le plan est muni d'un repère orthonormé
O,I,J
( )
.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse
des aiguilles d'une montre, appelé sens direct.
2. Principe de l'enroulement
Dans un repère orthonormé
( )
,,OI J
, on considère le cercle trigonométrique et une droite
IC
( )
tangente au cercle en I et orientée telle que
I;IC
( )
soit un repère de la droite.
Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la
droite orientée un unique point M du cercle.
La longueur de l’arc
IM
est ainsi égale à la longueur IN.
La position du point M est donc associée à l'abscisse x du point N sur la droite des réels.
Exercice 1
1. Placer sur le cercle trigonométrique le point M associé aux réels suivants :
a.
π
;
2
π
;
4
π
;
3
π
;!
6
π
.! ! b.
6
π
−
;
2
3
π
;
3
4
π
−
.

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Chapitre 4 : Trigonométrie
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Propriété
Tout point M du cercle associé au nombre x est également associé à tout nombre
x'
tel que
x'=x+k×2
π
, où k est un entier relatif.
Démonstration
Le périmètre du cercle de rayon 1 est :
p=2
π r=2 π
.
La longueur
2 π
correspond à un tour complet.
Exercice 2
1. Pour chacun des réels
9 π
4
et
−7
π
3
, indiquer un autre réel associé au même point sur le
cercle trigonométrique, et placer ce point.
2. a. Montrer que les réels
π
3
et
43 π
3
sont associés au même point sur le cercle
trigonométrique.
b. Faire de même pour
π
4
et
−39
π
4
.
2. Mesure principale
Un angle orienté admet une infinité de mesures exprimées en radians, de la forme
x+k×2
π
où
k∈!
.
Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle
−
π ; π
⎤
⎦⎤ ⎦
!: Elle s’appelle mesure principale
de l’angle.
Méthode : Déterminer la mesure principale d’un angle
Déterminer la mesure principale de l’angle
123 π
4
.
• On encadre la partie fractionnaire :
40 <123
4
<41
• On enlève à l’angle l’entier pair multiplier par
π
:
123 π
4
−40 π =3
π
4
• On conclut : La mesure principale de
123 π
4
!est
3 π
4
.
Exercice 3
Déterminer la mesure principale des angles
2015 π
3
,
−205
π
6
,
312 π
3
et
−819
π
3
.

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Chapitre 4 : Trigonométrie
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II. Cosinus et sinus d'un nombre réel
1. Définitions et propriétés
Définition
On considère un réel x quelconque et on appelle M le point du cercle trigonométrique associé
à x.
• L'abscisse du point M dans le repère orthonormé
O,I,J
( )
est le cosinus du réel x, noté
cos x
.
• L'ordonnée du point M dans le repère orthonormé
O,I,J
( )
est le sinus du réel x, noté
sin x
.
Dans le repère
O,I,J
( )
on a donc
Mcos x;sin x
( )
.
Propriétés
Propriété d'encadrement
Pour tout réel x, on a :
−1≤cos x≤1
et!
−1≤sin x≤1
.!
Relation fondamentale
Pour tout réel x, on a :
cos x
( )
2
+sin x
( )
2
=1
.!
Démonstration
Théorème de Pythagore dans le triangle OEM.
2. Lien avec la trigonométrie dans le rectangle
Si
0<x<
π
2
, alors
cos x>0
et
sin x>0
, donc on a
cos x=OE
et
sin x=OF
.
Or dans le triangle OEM, on a :
cos EOM =OE
OM
=OE
1
=OE =cos x
.

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Chapitre 4 : Trigonométrie
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De plus,
sin EOM =EM
OM
=EM
1
=EM =sin x
.
Donc
cos IOM =cos x
et
sin IOM =sin x
.!
!
3. Valeurs remarquables des cosinus et sinus
Angle
IOM
0°
30°
!
45°
!
60°
!
90°
!
x
0
6
π
!
4
π
!
3
π
!
2
π
!
cos IOM =cos x
1
3
2
2
2
!
1
2
0
sin IOM =sin x
0
1
2
2
2
!
3
2
1
Exercice 3
1. Dans chacun des cas suivants, déduire la valeur du sinus à partir de celle du cosinus et
inversement.
a.
cos x=5
9
,
x∈0;
π
⎡
⎣⎤ ⎦
. b.
sin x=1
4
,
x∈
π
2;
π
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
. c.
sin x=−2
3
,
x∈ −
π
2;0
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
.
2. x est un réel, tel que
sin x=−1
4
.
a. Placer sur le cercle trigonométrique les deux points
M1
et
M2
qui peuvent être associés au
réel x.
b. Calculer les abscisses des points
M1
et
M2
.
c. On sait, de plus, que
cos x>0
.
Quel est le point associé à x sur le cercle trigonométrique ?