Chapitre 4 : Trigonométrie I. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique 1. Le cercle trigonométrique Définition ( ) Le plan est muni d'un repère orthonormé O, I, J . Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct. 2. Principe de l'enroulement Dans un repère orthonormé ( O, I , J ), on considère le cercle trigonométrique et une droite IC tangente au cercle en I et orientée telle que I; IC soit un repère de la droite. ( ) ( ) Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la droite orientée un unique point M du cercle. IM est ainsi égale à la longueur IN. La longueur de l’arc Exercice 1 1. Placer sur le cercle trigonométrique le point M associé aux réels suivants : π π π π π 2π 3π a. π ; ; ; ; . b. − ; ; − . 2 4 3 6 6 3 4 2nde Chapitre 4 : Trigonométrie La position du point M est donc associée à l'abscisse x du point N sur la droite des réels. 1 Propriété Tout point M du cercle associé au nombre x est également associé à tout nombre x ' tel que x ' = x + k × 2π , où k est un entier relatif. Démonstration Le périmètre du cercle de rayon 1 est : p = 2π r = 2π . La longueur 2π correspond à un tour complet. Exercice 2 9π 7π et − , indiquer un autre réel associé au même point sur le 4 3 cercle trigonométrique, et placer ce point. π 43π 2. a. Montrer que les réels et sont associés au même point sur le cercle 3 3 trigonométrique. π 39π b. Faire de même pour et − . 4 4 1. Pour chacun des réels 2. Mesure principale Un angle orienté admet une infinité de mesures exprimées en radians, de la forme x + k × 2π où k ∈! . Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle ⎤⎦ −π ;π ⎤⎦ : Elle s’appelle mesure principale de l’angle. Méthode : Déterminer la mesure principale d’un angle 123π . 4 123 < 41 On encadre la partie fractionnaire : 40 < 4 Déterminer la mesure principale de l’angle • • 123π 3π − 40π = 4 4 123π 3π On conclut : La mesure principale de est . 4 4 On enlève à l’angle l’entier pair multiplier par π : Exercice 3 Déterminer la mesure principale des angles 2nde 2015π 205π 312π 819π , − , et − . 3 6 3 3 Chapitre 4 : Trigonométrie • 2 II. Cosinus et sinus d'un nombre réel 1. Définitions et propriétés Définition On considère un réel x quelconque et on appelle M le point du cercle trigonométrique associé à x. • L'abscisse du point M dans le repère orthonormé O, I, J est le cosinus du réel x, noté cos x . • L'ordonnée du point M dans le repère orthonormé O, I, J est le sinus du réel x, noté sin x . Dans le repère O, I, J on a donc M cos x;sin x . ( ) ( ( ) ( ) ) Propriétés Propriété d'encadrement Pour tout réel x, on a : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 . Relation fondamentale Pour tout réel x, on a : ( cos x ) + ( sin x ) = 1 . 2 2 Démonstration Théorème de Pythagore dans le triangle OEM. π , alors cos x > 0 et sin x > 0 , donc on a cos x = OE et sin x = OF . 2 Or dans le triangle OEM, on a : = OE = OE = OE = cos x . cos EOM OM 1 Si 0 < x < 2nde Chapitre 4 : Trigonométrie 2. Lien avec la trigonométrie dans le rectangle 3 EM EM = = EM = sin x . OM 1 = cos x et sin IOM = sin x . Donc cos IOM = De plus, sin EOM 3. Valeurs remarquables des cosinus et sinus Angle IOM 0° x 0 = cos x cos IOM 1 = sin x sin IOM 0 30° π 6 3 2 1 2 45° π 4 2 2 2 2 60° π 3 1 2 3 2 90° π 2 0 1 Exercice 3 1. Dans chacun des cas suivants, déduire la valeur du sinus à partir de celle du cosinus et inversement. ⎡π ⎤ ⎡ π ⎤ 5 1 2 a. cos x = , x ∈ ⎡⎣0;π ⎤⎦ . b. sin x = , x ∈ ⎢ ;π ⎥ . c. sin x = − , x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ . 9 4 3 ⎣2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 2nde Chapitre 4 : Trigonométrie 1 2. x est un réel, tel que sin x = − . 4 a. Placer sur le cercle trigonométrique les deux points M1 et M 2 qui peuvent être associés au réel x. b. Calculer les abscisses des points M1 et M 2 . c. On sait, de plus, que cos x > 0 . Quel est le point associé à x sur le cercle trigonométrique ? 4