Trigonométrie, cours pour la classe de seconde Trigonométrie, classe de seconde 1 Cercle trigonométrique Dénition : Soit (O;~i; ~j) un repère orthonormal du plan. On appelle cercle trigono- métrique tout cercle dont le rayon est égal à l'unité de longueur et de centre l'origine O du repère. Le sens de parcours du cercle trigonométrique appelé sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre Dénition : ~ OJ) ~ , on considère le cercle trigono(O; OI; métrique de centre O et la droite D tangente en I à la droite (OI). On ~ tel que IK = 1. considère sur cette droite un repère (I; IK) Á tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse x dans ~ de D. Par enroulement de la droite D autour du cercle le repère (I; IK) C , on obtient un point M unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc IM . Dans un repère orthonormal Exemple : x= π donne le point 2 M tel que \ = 90◦ . x = IOM pi donne le point 3 M tel que \ = 60◦ . IOM Remarque : x et y sont deux réels y = x + 2kπ avec k ∈ Z. donnant le même point http: // mathsfg. net. free. fr M 1 sur le cercle trigonométrique si et seulement si Trigonométrie, cours pour la classe de seconde 2 Cosinus et sinus d'un nombre réel 2.1 Dénitions ~ OJ) ~ , (O; OI; droite (OI). Dans un repère orthonormal droite D tangente en I à la on considère le cercle trigonométrique de centre O et la ~ de D. Par x dans un repère (I; IK) enroulement de la droite D autour du cercle C , on obtient un point M unique du cercle trigonométrique tel que la distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc IM . A tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse Dénition : Soit un cercle trigonométrique dans un repère considère un nombre réel x. • et on note on appelle cosinus de à • x x cos x, orthonormal. On l'abscisse du point M associé l'ordonnée du point M associé par le procédé décrit précédemment. On appelle sinus de à x (O;~i; ~j) x et on note sin x, par le procédé décrit. Remarque : x un réel et M le \). sin(x) = sin(IOM Soit et point qui lui est associé sur le cercle trigonométrique. Alors 2.2 Propriétés Valeurs remarquables : Angle en degrés réel associé 0 30 45 60 90 180 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π cosinus sinus 1 0 3 √2 2 2 1 2 1 √2 2 √2 3 2 0 −1 1 0 √ Propriétés : x, (cos (x))2 + (sin (x))2 = 1 ; −1 ≤ cos (x) ≤ 1 et −1 ≤ sin (x) ≤ 1 ; cos (−x) = cos (x) et sin (−x) = − sin (x) ; cos (x + 2π) = cos (x) et sin (x + 2π) = sin (x). Pour tout nombre • • • • http: // mathsfg. net. free. fr 2 \) cos(x) = cos(IOM