Trigonométrie, classe de seconde - MathsFG

Trigonométrie, cours pour la classe de seconde
Trigonométrie, classe de seconde
1
Cercle trigonométrique
Dénition :
Soit
(O;~i; ~j)
un repère orthonormal du plan. On appelle cercle trigono-
métrique tout cercle dont le rayon est égal à l'unité de longueur et de
centre l'origine O du repère. Le sens de parcours du cercle trigonométrique appelé sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre
Dénition :
~ OJ)
~ , on considère le cercle trigono(O; OI;
métrique de centre O et la droite D tangente en I à la droite (OI). On
~ tel que IK = 1.
considère sur cette droite un repère (I; IK)
Á tout nombre réel x on fait correspondre le point N d'abscisse x dans
~ de D. Par enroulement de la droite D autour du cercle
le repère (I; IK)
C , on obtient un point M unique du cercle trigonométrique tel que la
distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc IM .
Dans un repère orthonormal
Exemple :
x=
π
donne le point
2
M
tel que
\ = 90◦ . x =
IOM
pi
donne le point
3
M
tel que
\ = 60◦ .
IOM
Remarque :
x et y sont deux réels
y = x + 2kπ avec k ∈ Z.
donnant le même point
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M
1
sur le cercle trigonométrique si et seulement si
Trigonométrie, cours pour la classe de seconde
2
Cosinus et sinus d'un nombre réel
2.1 Dénitions
~ OJ)
~ ,
(O; OI;
droite (OI).
Dans un repère orthonormal
droite
D
tangente en
I
à la
on considère le cercle trigonométrique de centre O et la
~ de D. Par
x dans un repère (I; IK)
enroulement de la droite D autour du cercle C , on obtient un point M unique du cercle trigonométrique
tel que la distance à zéro de x soit égale à la longueur de l'arc IM .
A tout nombre réel
x
on fait correspondre le point
N
d'abscisse
Dénition :
Soit un cercle trigonométrique dans un repère
considère un nombre réel
x.
•
et on note
on appelle cosinus de
à
•
x
x
cos x,
orthonormal. On
l'abscisse du point
M
associé
l'ordonnée du point
M
associé
par le procédé décrit précédemment.
On appelle sinus de
à
x
(O;~i; ~j)
x
et on note
sin x,
par le procédé décrit.
Remarque :
x un réel et M le
\).
sin(x) = sin(IOM
Soit
et
point qui lui est associé sur le cercle trigonométrique. Alors
2.2 Propriétés
Valeurs remarquables :
Angle en degrés
réel associé
0
30
45
60
90
180
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
cosinus
sinus
1
0
3
√2
2
2
1
2
1
√2
2
√2
3
2
0
−1
1
0
√
Propriétés :
x,
(cos (x))2 + (sin (x))2 = 1 ;
−1 ≤ cos (x) ≤ 1 et −1 ≤ sin (x) ≤ 1 ;
cos (−x) = cos (x) et sin (−x) = − sin (x) ;
cos (x + 2π) = cos (x) et sin (x + 2π) = sin (x).
Pour tout nombre
•
•
•
•
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2
\)
cos(x) = cos(IOM